نسخة الفيديو النصية
باستخدام المحددات، هل تقع النقاط صفر، واحد؛ واثنان، نصف؛ وأربعة، صفر على استقامة واحدة؟
في هذا السؤال، علينا تحديد إذا ماكانت النقاط الثلاث المعطاة تقع على استقامة واحدة؟ هذا يعني هل تقع على الخط المستقيم نفسه؟ وهناك بعض الطرق المختلفة التي يمكننا بها فعل ذلك. على سبيل المثال، يمكننا إيجاد معادلة لخط مستقيم بين زوج من هذه النقاط ثم تحديد إذا ماكانت النقطة الثالثة تقع على هذا المستقيم. لكن المطلوب في السؤال هو أن نفعل ذلك باستخدام المحددات. ولنفعل ذلك، علينا أن نتذكر الحقيقة التالية بشأن المحددات. إذا كان لدينا ثلاث نقاط مختلفة: ﺱ واحد، ﺹ واحد؛ وﺱ اثنان، ﺹ اثنان؛ وﺱ ثلاثة، ﺹ ثلاثة، يمكننا تحديد إذا ما كانت هذه النقاط تقع على استقامة واحدة عن طريق حساب قيمة محدد المصفوفة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة: ﺱ واحد، ﺹ واحد، واحد، ﺱ اثنان، ﺹ اثنان، واحد، ﺱ ثلاثة، ﺹ ثلاثة، واحد.
إذا كانت قيمة هذا المحدد تساوي صفرًا، فهذا يعني أن النقاط الثلاث تقع على استقامة واحدة. وإذا كانت قيمة هذا المحدد لا تساوي صفرًا، فإن النقاط الثلاث لا تقع على استقامة واحدة. ومن الجدير بالملاحظة هنا أن هذه العبارة صحيحة في كلا الاتجاهين. أي إنه إذا كانت قيمة المحدد تساوي صفرًا، فستقع النقاط على استقامة واحدة. وبالمثل، إذا كانت النقاط تقع على استقامة واحدة، فإن قيمة المحدد ستساوي صفرًا، حيث نفترض أن لدينا ثلاث نقاط مختلفة. ولمعرفة سبب صحة ذلك، تذكر أن القيمة المطلقة لهذا المحدد تعطينا مساحة متوازي أضلاع، وهذه النقاط الثلاث هي الرءوس. والحالة الوحيدة التي تساوي فيها مساحة متوازي الأضلاع صفرًا هي عندما تقع رءوسه على استقامة واحدة. ومن ثم، يمكننا تحديد إذا ماكانت هذه النقاط الثلاث تقع على استقامة واحدة عن طريق التعويض بالنقاط الثلاث المعطاة لنا في السؤال في هذه المعادلة.
علينا تحديد إذا ماكانت قيمة محدد المصفوفة صفر، واحد، واحد، اثنان، نصف، واحد، أربعة، صفر، واحد تساوي صفرًا. ويمكننا إيجاد قيمة محدد هذه المصفوفة بأي طريقة نختارها. سنقوم بالفك باستخدام الصف الأول لأنه يحتوي على العدد صفر. وللفك باستخدام الصف الأول في هذه المصفوفة، علينا إيجاد كل المصفوفات الصغرى لهذا الصف. وتذكر أن إشارة حدود هذا المفكوك ستتغير حسب زوجية أو فردية مجموع رقم الصف ورقم عمود العنصر المستخدم لفك المحدد. في هذه الحالة، سيكون الحد الثاني سالبًا. ينتج عن هذا صفر في محدد المصفوفة نصف، واحد، صفر، واحد ناقص واحد في محدد المصفوفة اثنان، واحد، أربعة، واحد زائد واحد في محدد المصفوفة اثنان، نصف، أربعة، صفر.
والآن، لم يتبق لدينا سوى حساب قيمة هذا التعبير. نرى أن معامل الحد الأول يساوي صفرًا، ومن ثم فهو يساوي صفرًا. وتذكر أنه لإيجاد قيمة محدد مصفوفة من الرتبة اثنان في اثنين، علينا إيجاد الفرق بين حاصلي ضرب القطرين. في الحد الثاني، لدينا اثنان في واحد ناقص أربعة في واحد، وهو ما يساوي اثنين ناقص أربعة. وفي الحد الثالث، هذا يساوي اثنين في صفر ناقص أربعة في نصف، وهو ما يساوي صفرًا ناقص اثنين. وينتج عن هذا سالب واحد في اثنين ناقص أربعة زائد واحد في صفر ناقص اثنين. وإذا حسبنا قيمة هذا التعبير، فسنحصل على اثنين ناقص اثنين، وهو ما يساوي صفرًا. وبما أن قيمة هذا المحدد تساوي صفرًا، فإن النقاط الثلاث إما أنها ليست مختلفة وإما أنها تقع على استقامة واحدة. ويمكننا ملاحظة أنها نقاط مختلفة، لذا لا بد أنها تقع على استقامة واحدة.
ومن ثم، تمكنا باستخدام المحددات من توضيح أن النقاط صفر، واحد؛ واثنان، نصف؛ وأربعة، صفر تقع على استقامة واحدة.
