فيديو السؤال: إيجاد سعة قوى الأعداد المركبة الرياضيات

إذا كان ﻉ = −٣٠ + ٣٠ﺕ، فاحسب سعة ﻉ^٥ الأساسية.

٠٦:٤١

‏نسخة الفيديو النصية

إذا كان ﻉ يساوي سالب ٣٠ زائد ٣٠ﺕ، فاحسب سعة ﻉ أس خمسة الأساسية.

في هذا السؤال، لدينا العدد المركب ﻉ مكتوبًا على الصورة الجبرية. أي الصورة ﺃ زائد ﺏﺕ؛ حيث ﺃ وﺏ عددان حقيقيان. علينا استخدام ذلك لإيجاد السعة الأساسية للعدد ﻉ أس خمسة. للإجابة عن هذا السؤال، دعونا نبدأ بتذكر المقصود بالسعة الأساسية للعدد المركب. السعة الأساسية للعدد المركب هي الزاوية التي تصنعها القطعة المستقيمة بين ﻉ ونقطة الأصل مع الجزء الموجب من المحور الحقيقي الموجب على مخطط أرجاند؛ حيث نحدد قياس هذه الزاوية بين سالب ‏𝜋‏ و‏𝜋‏ بالراديان، وسالب ١٨٠ و١٨٠ درجة بالدرجات. في هذا السؤال، سوف نستخدم الدرجات.

للإجابة عن هذا السؤال، علينا أولًا إيجاد سعة العدد المركب ﻉ أس خمسة. وبما أن علينا إيجاد عدد مركب مرفوعًا لأس صحيح، فإننا سنفعل ذلك بتذكر نظرية ديموافر. تنص هذه النظرية على أنه لأي عدد مركب مكتوب على الصورة المثلثية، أي ﻝ في 𝜃 جتا زائد ﺕ جا 𝜃؛ حيث ﻝ أكبر من أو يساوي صفرًا، و𝜃 أي عدد حقيقي، إذن لأي قيمة صحيحة ﻥ، فإن ﻝ في جتا 𝜃 زائد 𝜃 ﺕ جا الكل مرفوع للقوة النونية يساوي ﻝ مرفوعًا للقوة النونية في ﻥ𝜃 جتا زائد ﺕ جا ﻥ𝜃. بعبارة أخرى، عندما نرفع عددًا مركبًا لأس صحيح ﻥ، فإننا نرفع مقياسه إلى قيمة ﻥ تلك، ونضرب سعته في ﻥ.

لتطبيق ذلك من أجل إيجاد ﻉ أس خمسة، علينا كتابة ﻉ على الصورة المثلثية. ولإجراء ذلك، علينا إيجاد قيمتي ﻝ و𝜃 اللتين تمثلان مقياس وسعة ﻉ. هيا نبدأ بمقياس ﻉ. إنه المسافة بين ﻉ ونقطة الأصل على مخطط أرجاند. يمكننا إيجاد هذا بإيجاد الجذر التربيعي لمجموع مربعي الجزأين الحقيقي والتخيلي لـ ﻉ. وهو الجذر التربيعي لسالب ٣٠ تربيع زائد ٣٠ تربيع، وهو ما إذا حسبناه، نجده يساوي ٣٠ جذر اثنين.

مع ذلك، تجدر الإشارة إلى أنه ليس علينا إيجاد هذه القيمة. مقياس ﻉ يخبرنا بالمسافة بين ﻉ ونقطة الأصل في مخطط أرجاند. ويمكننا ملاحظة أن مقياس العدد المركب ﻉ لا يؤثر في سعته عند رفعه لأس صحيح. ومن ثم، مقياس ﻉ لا يؤثر في سعة ﻉ أس خمسة. وعلى وجه التحديد، هذا يعني أنه لا يؤثر في السعة الأساسية أيضًا. ومع ذلك، قد يكون من المفيد معرفة كيفية كتابة ﻉ على الصورة المثلثية على أي حال.

بعد ذلك، علينا إيجاد سعة ﻉ. وسنفعل ذلك بإيجاد الربع الذي يقع فيه ﻉ في مخطط أرجاند أولًا. بما أن الجزء الحقيقي للعدد ﻉ هو سالب ٣٠ والجزء التخيلي له هو ٣٠، فإن الإحداثي ﺱ له يساوي سالب ٣٠، والإحداثي ﺹ له يساوي ٣٠. هذا يعني وقوعه في الربع الثاني. يمكننا بعد ذلك إيجاد سعة ﻉ بتذكر النتيجة التالية. إذا كان ﺃ زائد ﺏﺕ عددًا مركبًا مكتوبًا على الصورة الجبرية، ويقع في الربع الثاني من مخطط أرجاند، فإن سعة ﺃ زائد ﺏﺕ تساوي الدالة العكسية لـ ظا ﺏ مقسومًا على ﺃ زائد ١٨٠ درجة. يتيح لنا هذا إيجاد سعة ﻉ. قيمة ﺏ، أي الجزء التخيلي للعدد ﻉ، تساوي ٣٠. وقيمة ﺃ، الجزء الحقيقي للعدد ﻉ، تساوي سالب ٣٠. إذن، سعة ﻉ هي الدالة العكسية لـ ظا ٣٠ مقسومًا على سالب ٣٠ زائد ١٨٠ درجة.

يمكننا إيجاد قيمة هذا. الدالة العكسية لـ ظا سالب واحد هي سالب ٤٥ درجة، وهذا يعطينا سعة ﻉ تساوي ١٣٥ درجة. يمكننا بعد ذلك استخدام هذا لكتابة ﻉ على الصورة المثلثية. ‏ﻉ يساوي ٣٠ جذر اثنين مضروبًا في جتا ١٣٥ درجة زائد ﺕ جا ١٣٥ درجة. والآن، يمكننا استخدام نظرية ديموافر لرفع طرفي المعادلة للقوة خمسة. بما أن العدد خمسة أس صحيح، فإنه عند رفع ﻉ للقوة خمسة، نرفع مقياسه للقوة خمسة ونضرب سعته في خمسة. ‏ﻉ أس خمسة يساوي ٣٠ جذر اثنين أس خمسة مضروبًا في جتا خمسة في ١٣٥ درجة زائد ﺕ جا خمسة في ١٣٥ درجة.

والآن، لا يعنينا إلا إيجاد السعة الأساسية للعدد ﻉ أس خمسة. ويمكننا فعل ذلك مباشرة من خلال سعته. أولًا، نبسط هذه السعة. خمسة مضروبًا في ١٣٥ درجة يساوي ٦٧٥ درجة. والآن السعة الأساسية لهذه القيمة تساوي الزاوية المكافئة بين سالب ١٨٠ درجة و١٨٠ درجة، بما في ذلك ١٨٠ درجة.

يمكننا إذن إيجاد السعة الأساسية لـ ﻉ أس خمسة بتذكر أن كلًّا من جيب التمام والجيب دالتان دوريتان طول دورتيهما ٣٦٠ درجة. بعبارة أخرى، يمكننا جمع المضاعفات الصحيحة لـ ٣٦٠ درجة وطرحها من السعة. فإذا طرحنا ٣٦٠ درجة من ٦٧٥ درجة، فإننا لا نغير القيمة. هذا يعطينا ٣١٥ درجة. لكن هذه السعة ليست في الفترة المعطاة. لذا نطرح ٣٦٠ درجة أخرى للحصول على سالب ٤٥ درجة، وهي تقع في تلك الفترة.

وبذلك، نكون قد تمكنا من توضيح أنه إذا كان ﻉ يساوي سالب ٣٠ زائد ٣٠ﺕ، فإن السعة الأساسية لـ ﻉ أس خمسة تساوي سالب ٤٥ درجة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.