فيديو السؤال: تحول الطاقة الميكانيكية الفيزياء

نسخة الفيديو النصية

تتدحرج كرة سرعتها الابتدائية 20 مترًا لكل ثانية على طول سطح منحن، كما هو موضح في الشكل. كتلة الكرة 100 جرام. افترض أن تحويلات الطاقة الوحيدة التي تحدث هي التي تحدث بين طاقة الحركة وطاقة وضع الجاذبية للكرة، واحسب ارتفاع الكرة عند مواضع مختلفة، لأقرب متر. أوجد ‪ℎ‬‏ واحد. أوجد ‪ℎ‬‏ اثنين. أوجد ‪ℎ‬‏ ثلاثة. أوجد ‪ℎ‬‏ أربعة.

في هذا السؤال، لدينا كرة تتدحرج صعودًا وهبوطًا على سطح منحن. أخبرنا أيضًا أنه في أثناء حركة الكرة لأعلى ولأسفل على هذا المنحنى، فإنها تكتسب طاقة وضع الجاذبية وطاقة حركة أو تفقدهما، إذ يتحول أحد شكلي الطاقة إلى الآخر أو العكس. نحن بحاجة إلى استخدام سرعات الكرة المعطاة عند نقاط مختلفة على طول المنحنى لحساب الارتفاعات ‪ℎ‬‏ واحد، و‪ℎ‬‏ اثنين، و‪ℎ‬‏ ثلاثة، و‪ℎ‬‏ أربعة.

حسنًا، أول شيء يمكننا فعله هو حساب الطاقة الكلية للكرة. وأسهل طريقة للقيام بذلك هي حساب طاقة حركة الكرة هنا. لأنه يمكننا القول إنه عندما تكون الكرة عند هذا الارتفاع، فإن طاقة وضع الجاذبية تساوي صفرًا. لذلك، الشكل الوحيد للطاقة الذي تمتلكه الكرة هو طاقة الحركة. إذن عمومًا، الطاقة الكلية للكرة، التي سنسميها ‪𝐸‬‏ الكلية، تساوي طاقة الحركة ‪𝐸‬‏ الحركة بالإضافة إلى طاقة وضع الجاذبية ‪𝐸‬‏ الجاذبية.

ومع ذلك، في هذه المرحلة، لا توجد طاقة وضع جاذبية لأنه كما قلنا سابقًا، هذه هي النقطة التي نقول عندها إن طاقة وضع الجاذبية تساوي صفرًا. وعند أي ارتفاع فوق هذه النقطة ستكون لدى الكرة طاقة وضع الجاذبية، لكن ليس هنا. إذن، بالنسبة إلى هذا الموضع الذي سنطلق عليه الموضع صفر، الطاقة الكلية تساوي طاقة الحركة في الموضع صفر، التي سنطلق عليها ‪𝐸‬‏ الحركة صفر. وبالطبع، لدينا زائد صفر هنا لأن ‪𝐸‬‏ الجاذبية صفر — وهي طاقة وضع الجاذبية في هذا الموضع — تساوي صفرًا كما رأينا بالفعل.

إذن، دعونا نحسب طاقة الحركة في الموضع صفر. يمكننا أن نتذكر أن طاقة الحركة لجسم ما تعطى بضرب نصف في كتلة ذلك الجسم ‪𝑚‬‏ في مربع سرعة ذلك الجسم ‪𝑣‬‏. لحسن حظنا، نعلم بالفعل كتلة الكرة وسرعة الكرة في الموضع صفر. فنحن نعلم أن كتلة الكرة 100 جرام، ونعلم أن السرعة عند الموضع صفر، التي سنسميها ‪𝑣‬‏ صفر، تساوي 20 مترًا لكل ثانية. هذا لأن الشكل التوضيحي أخبرنا بذلك، 20 مترًا لكل ثانية.

ومع ذلك، لن نتعامل مع كتلتنا بالجرام. فلنحول كتلتنا إلى وحدة الكتلة الأساسية، وهي الكيلوجرام. للقيام بذلك، يمكننا أن نتذكر أن الكيلوجرام الواحد يساوي 1000 جرام. وبقسمة كلا طرفي هذه المعادلة على 1000، فسنلاحظ أن 1000 ستحذف على الطرف الأيمن، ليتبقى لنا واحد من الألف من الكيلوجرام يساوي جرامًا واحدًا.

ومع ذلك، فإن كتلة الكرة تساوي 100 جرام. لذا يمكننا ضرب طرفي المعادلة في 100. على الجانب الأيمن من المعادلة، نحصل على 100 جرام، وعلى الجانب الأيسر، نحصل على 0.1 كيلوجرام. إذن، نعلم الآن أن كتلة الكرة هي 0.1 كيلوجرام. ومن ثم، يمكننا كتابتها هنا في صورة 0.1 كيلوجرام.

حسنًا، دعونا الآن نحسب طاقة حركة الكرة في الموضع صفر. سنقول إن ‪𝐸‬‏ الحركة، وهي طاقة الحركة في الموضع صفر، تساوي نصفًا مضروبًا في كتلة الكرة مضروبة في مربع السرعة عند الموضع صفر. يمكننا التعويض الآن بكل القيم، حيث الكتلة تساوي 0.1 كيلوجرام، والسرعة 20 مترًا لكل ثانية. إذن، بحساب هذا، نجد أن طاقة حركة الكرة تساوي 20 جول.

ونظرًا لأننا نستخدم الوحدة الأساسية للكتلة وهي الكيلوجرام، وللسرعة وهي المتر لكل ثانية، فإننا نعلم أن ما حسبناه من طاقة الحركة سيعبر عنه بوحدته الأساسية، وهي الجول. وهكذا، فإن طاقة الحركة للكرة في أسفل المنحدر تساوي 20 جول.

إذن، لماذا يهمنا كل ذلك؟ حسنًا، كما قلنا سابقًا، طاقة الحركة هذه تساوي أيضًا الطاقة الكلية للكرة؛ لأن الكرة، كما تتذكر، ليس لها طاقة وضع جاذبية عند هذه النقطة. لذا فإن طاقتها الكلية ستساوي فقط قيمة طاقة الحركة. إذن، الطاقة الكلية للكرة تساوي 20 جول.

الآن، يمكننا استخدام قانون حفظ الطاقة. ما يخبرنا به القانون هو أن الطاقة الكلية للكرة تظل ثابتة. وهذا يعني أنه رغم وجود تحويلات بين طاقة وضع الجاذبية وطاقة الحركة للكرة في أثناء انتقالها على طول المنحنى، فإن الطاقة الكلية ستظل 20 جول. أي إنها ستبقى كما هي.

إذن، الطاقة الكلية هنا في الموضع الأول تساوي 20 جول أيضًا. والطاقة الكلية هنا تساوي 20 جول. والطاقة الكلية في الموضع الثالث هنا هي 20 جول، وكذلك بالنسبة إلى الموضع الرابع. بعبارة أخرى، الطاقة الكلية للكرة لا تتغير. إنها تظل ثابتة. فهي محفوظة. وبالنسبة إلى المواضع الأول والثاني والثالث والرابع، لم يعد بإمكاننا القول إن طاقة وضع الجاذبية تساوي صفرًا، لأنها ليست صفرًا في هذه المواضع. إذن، نرى أنها في هذه المواضع تمتلك قدرًا من طاقة وضع الجاذبية.

بعبارة أخرى، يجري تحويل بعض طاقة الحركة التي كانت للكرة في الموضع صفر إلى طاقة وضع الجاذبية في أثناء تحرك الكرة على طول المنحنى. ومع ذلك، فإن إجمالي الطاقة كما رأينا بالفعل سيظل 20 جول. دعونا إذن نحسب طاقة وضع الجاذبية في كل موضع من هذه المواضع. لأن هذا سيمكننا من معرفة ارتفاع الكرة في هذه المواضع.

دعونا نتذكر أننا نحصل على طاقة وضع الجاذبية ‪𝐸‬‏ الجاذبية من ضرب كتلة الجسم في شدة مجال جاذبية الأرض، مضروبة في ارتفاع الجسم فوق الموضع الذي نحدد أن طاقة وضع الجاذبية عنده تساوي صفرًا. وكما قلنا سابقًا، فقد ذكر أن هذا هو الارتفاع الذي تساوي فيه طاقة وضع الجاذبية للكرة صفرًا. إذن، عند أي ارتفاع فوق هذه النقطة، لن تساوي طاقة وضع الجاذبية صفرًا. ويقاس الارتفاع نسبة إلى ارتفاع الكرة في هذا الموضع؛ الموضع صفر.

حسنًا، دعونا ننظر أولًا إلى الموضع الأول. نعلم أن الطاقة الكلية للكرة تساوي طاقة الحركة للكرة زائد طاقة وضع الجاذبية. إذن في الموضع الأول، يمكننا القول إن الطاقة الكلية للكرة تساوي طاقة الحركة في الموضع الأول، التي نحصل عليها من ضرب نصف في كتلة الكرة مضروبة في مربع سرعة الكرة في الموضع واحد؛ زائد طاقة وضع الجاذبية، التي نحصل عليها بضرب كتلة الكرة في شدة مجال الجاذبية الأرضية مضروبة في الارتفاع في الموضع الأول، وهو ‪ℎ‬‏ واحد.

إذن، هذه صيغة الطاقة الكلية للكرة. لكن تذكر أننا نعلم بالفعل أن الطاقة الكلية يجب أن تظل كما هي طوال حركة الكرة. إذن، يجب أن تساوي الطاقة الكلية 20 جول. بالإضافة إلى ذلك، نعلم بالفعل كتلة الكرة وسرعة الكرة في الموضع الأول. فقد أعطينا هذه المعلومة. إنها 12 مترًا لكل ثانية.

إذن، الشيء الوحيد الذي لا نعرفه في هذه المعادلة هو ارتفاع الكرة ‪ℎ‬‏ واحد. وهذا يعني أن بإمكاننا إعادة ترتيب هذه المعادلة لحساب قيمة ‪ℎ‬‏ واحد. للقيام بذلك، يمكننا أولًا طرح نصف ‪𝑚𝑣‬‏ تربيع من كلا طرفي المعادلة، بحيث نحذف هذا المقدار من الطرف الأيمن. وما يتبقى لنا هو ‪𝐸‬‏ الكلية، أي الطاقة الكلية، ناقص نصف ‪𝑚𝑣‬‏ تربيع، يساوي ‪𝑚𝑔ℎ‬‏ واحد. بعد ذلك، نقسم كلا طرفي المعادلة على ‪𝑚𝑔‬‏ بحيث نحذفه من الطرف الأيمن للمعادلة. بهذه الطريقة يتبقى لنا ‪ℎ‬‏ واحد فقط على الجانب الأيمن.

وعند هذه المرحلة يمكننا التعويض في كل القيم. كما قلنا سابقًا، فإننا نعرف قيمة ‪𝐸‬‏ الكلية، ونعرف قيمة ‪𝑚‬‏، ونعرف قيمة ‪𝑣‬‏ واحد، ونعرف قيمة ‪𝑚‬‏ مرة أخرى، كما نعرف قيمة ‪𝑔‬‏. تذكر أن ‪𝑔‬‏ هي شدة مجال الجاذبية الأرضية وتساوي 9.8 أمتار لكل ثانية تربيع. دعونا إذن نحسب قيمة الارتفاع الأول ‪ℎ‬‏ واحد.

‏‪ℎ‬‏ واحد يساوي الطاقة الكلية ‪𝐸‬‏ الكلية التي تساوي 20 جول ناقص نصف مضروبًا في الكتلة التي تساوي 0.1 كيلوجرام مضروبًا في ‪𝑣‬‏ واحد تربيع. وفي هذه الحالة ‪𝑣‬‏ واحد يساوي 12 مترًا لكل ثانية. وهكذا فإننا نربع هذه القيمة ثم نقسم هذا كله على الكتلة التي تساوي 0.1 كيلوجرام مضروبة في شدة مجال الجاذبية التي تساوي 9.8 أمتار لكل ثانية تربيع. وهكذا سيعطينا هذا التعبير قيمة ‪ℎ‬‏ واحد. وعندما نحسب ذلك، نجد أن ‪ℎ‬‏ واحد سيساوي تقريبًا 13.06...مترًا. لكن تذكر أن المطلوب منا تقديم الإجابة لأقرب متر. لذا فسوف نقرب هذه القيمة إلى 13 مترًا. ومن ثم، لدينا الآن قيمة ‪ℎ‬‏ واحد. يمكننا القول إن ‪ℎ‬‏ واحد يساوي 13 مترًا.

ولحسن حظنا، يمكننا استخدام نفس التحليل الذي أجريناه للتو لحساب قيم ‪ℎ‬‏ اثنين و‪ℎ‬‏ ثلاثة و‪ℎ‬‏ أربعة؛ لأن نفس المنطق ينطبق عليها. الشيء الوحيد الذي يتعين علينا تغييره في هذه المعادلة هو السرعة في الموضع الأول، التي ستصبح الآن السرعة في الموضع الثاني أو الثالث أو الرابع اعتمادًا على الموضع الذي ننظر إليه. وبهذه الطريقة، سنجد تعبيرًا لقيمة كل من ‪ℎ‬‏ اثنين أو ‪ℎ‬‏ ثلاثة أو ‪ℎ‬‏ أربعة اعتمادًا على الموضع الذي ننظر إليه. والسبب في ذلك هو أن قيمة الطاقة الكلية لا تزال ثابتة — تذكر مبدأ حفظ الطاقة — وكذلك باقي القيم، بغض النظر عن السرعة في ذلك الموضع وارتفاع ذلك الموضع.

باستخدام هذه المعادلة، دعونا الآن نحسب قيمة ‪ℎ‬‏ اثنين. نقول هذه المرة إن قيمة ‪ℎ‬‏ اثنين تساوي الطاقة الكلية ‪𝐸‬‏ الكلية التي تساوي 20 جول ناقص نصف مضروبًا في كتلة الكرة التي تظل كما هي مضروبة في ‪𝑣‬‏ تربيع. السرعة هنا تساوي 5.6 أمتار لكل ثانية. لذلك نأخذ هذه القيمة ونقوم بتربيعها، ونحن نعلم أن هذه السرعة تساوي 5.6 لأن الرسم التوضيحي يخبرنا بذلك مجددًا.

في الموضع الثاني، تبلغ السرعة 5.6 أمتار لكل ثانية. ومرة أخرى، نقسم هذا على 0.1 مضروبًا في 9.8، لأن هذه هي الكتلة مضروبة في شدة مجال الجاذبية الأرضية. وباستخدام هذه المعادلة، نجد أن قيمة ‪ℎ‬‏ اثنين تساوي 18.808 مترًا. ولكن، علينا مرة أخرى التقريب إلى أقرب متر. وهكذا نرى أن هذا العدد — الذي يأتي بعد العلامة العشرية — هو ثمانية. أي إن القيمة هنا أكبر من خمسة. إذن سنقرب قيمة العدد الموجود قبل العلامة العشرية إلى الأعلى أي إلى تسعة. وهكذا فإن قيمة ‪ℎ‬‏ اثنين لأقرب متر ستساوي 19 مترًا. وبذلك نكون قد أجبنا عن الجزء الثاني من السؤال.

بتطبيق نفس المنطق بعد ذلك على الموضع ‪ℎ‬‏ ثلاثة، استعضنا عن ‪𝑣‬‏ اثنين بـ ‪𝑣‬‏ ثلاثة الآن وعن ‪ℎ‬‏ اثنين بـ ‪ℎ‬‏ ثلاثة. نلاحظ أن ‪ℎ‬‏ ثلاثة يساوي 20 جول ناقص نصف مضروبًا في 0.1 مضروبًا في 1.5 تربيع؛ لأن السرعة هنا تساوي 1.5 متر لكل ثانية. نجد أن ‪ℎ‬‏ ثلاثة يساوي 20.29 مترًا. لكن، علينا مرة أخرى أن نقرب لأقرب متر، وهذه القيمة أقل من خمسة لأنها اثنان. ولذلك ستظل قيمة العدد الموجود قبل العلامة العشرية كما هي. وهكذا يمكننا القول إن قيمة ‪ℎ‬‏ ثلاثة تساوي 20 مترًا مقربة لأقرب متر.

حسنًا، لننتقل إلى ‪ℎ‬‏ أربعة، ونلاحظ أن ‪ℎ‬‏ أربعة يساوي 20 ناقص نصف مضروبًا في 0.1 مضروبًا في 3.1 تربيع؛ لأن السرعة هنا 3.1 أمتار لكل ثانية. ومرة أخرى نقسم ذلك على 0.1 مضروبًا في 9.8. عندما نحسب ذلك، نجد أن قيمة ‪ℎ‬‏ أربعة تساوي 19.91 مترًا. ومجددًا، نقوم بالتقريب. هذه القيمة تسعة. أي إنها أكبر من خمسة. لذا فسوف نقربها إلى أقرب صفر. ولكن تذكر أنها لا تقرب بالفعل إلى صفر. ولكنها تقرب إلى عشرة. إذن، سننقل الواحد إلى خانة العشرات، مما يعني أن 19.91 تقرب إلى 20 مترًا. وهكذا نجد أن قيمة ‪ℎ‬‏ أربعة تساوي أيضًا 20 مترًا مقربة لأقرب متر.

لكن هذا لا يعني أن ‪ℎ‬‏ ثلاثة و‪ℎ‬‏ أربعة متساويان تمامًا، لأنه في هذه الحالة لا يمكن أن تتحرك الكرة بسرعتين مختلفتين عند الارتفاعين ‪ℎ‬‏ ثلاثة و‪ℎ‬‏ أربعة. ومع ذلك، فإنهما متساويان عند تقريبهما لأقرب متر. بمعنى آخر، فإن كليهما يقرب إلى 20 مترًا.

عند هذه النقطة نكون قد حصلنا على إجاباتنا النهائية. ‏‪ℎ‬‏ واحد يساوي 13 مترًا، ‪ℎ‬‏ اثنان يساوي 19 مترًا، ‪ℎ‬‏ ثلاثة يساوي 20 مترًا، و‪ℎ‬‏ أربعة يساوي 20 مترًا لأقرب متر.