فيديو الدرس: دوائر التوازي الكهربية الفيزياء

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعرف على دوائر التوازي الكهربية. توصل مكونات هذه الدوائر على التوازي، على عكس دوائر التوالي، وهي النوع الرئيسي الآخر من الدوائر الكهربية. يوجد الكثير من الأمور المفيدة التي يمكننا معرفتها عن دوائر التوازي. وبينما نمضي قدمًا في هذا الدرس، سنكتشف تشابهًا مفيدًا بين دوائر التوازي الكهربية والسريان المتوازي للماء. دعونا نبدأ على الفور. بداية، سنعرف دائرة التوازي.

ربما تكون أفضل طريقة لفهم دوائر التوازي هي معرفة أن التيار في هذه الدوائر يتبع أكثر من مسار. وثمة طريقة أخرى لقول ذلك، وهي أن التيار يتفرع أو ينقسم عند نقطة ما في دائرة التوازي. على سبيل المثال، لنتأمل هذه الدائرة. إذا اتبعنا المسار الاصطلاحي للتيار، فسنجد أن هذا التيار يتحرك في اتجاه عقارب الساعة. ويلتف حول هذا الانحناء، ويمر خلال هذه المقاومة الأولى. ويصل بعد ذلك إلى نقطة التفرع هذه.

عند هذه النقطة، يحدث أمر مثير للاهتمام للتيار. كما نرى، يوجد مساران للوصول إلى هذا الجزء من الدائرة هنا، بعد الفرع الموصل على التوازي. أحد هذين المسارين يمر فيه التيار عبر هذا الفرع العلوي ذي المقاومة ‪𝑅‬‏ اثنين. والمسار الآخر يمر فيه التيار عبر الفرع السفلي. في أي اتجاه تعتقد أن التيار سيمر؟ بناء على نسبة ‪𝑅‬‏ اثنين إلى ‪𝑅‬‏ ثلاثة، يمر بعض من التيار عبر الفرع العلوي. ويمر باقي التيار عبر الفرع السفلي.

هذا أمر مثير للاهتمام حقًا؛ لأننا قد نعتقد أن التيار كله سيمر عبر الفرع الأقل مقاومة من بين الفرعين. وأنه لن يمر أي جزء من التيار عبر الفرع الآخر. لكن هذا ليس ما يحدث بالفعل. فحتى عندما تكون قيمة إحدى هاتين المقاومتين أكبر من الأخرى، يظل بعض التيار يسري عبر الفرع الذي له مقاومة أكبر. إذن، يمر تيار عبر الفرع العلوي. ويمر بعض التيار أيضًا عبر الفرع السفلي. وعندما يلتقي هذان الفرعان مرة أخرى بحيث يكون هناك مسار واحد فقط لتدفق التيار، يتجمع التيار مرة أخرى ويستمر في المرور عبر الدائرة.

توجد عدة أمور يمكننا ملاحظتها حول كيفية انتقال هذا التيار عبر الجزء المتفرع من دائرة التوازي. أولًا، دعونا نرمز لبعض القيم. لنفترض أن شدة التيار الكلية في الدائرة هي ‪𝐼‬‏. ولنقل أيضًا إنه عندما يتفرع التيار، سنطلق على شدة التيار المار عبر الفرع العلوي ‪𝐼𝑢‬‏ وشدة التيار المار عبر الفرع السفلي ‪𝐼𝑙‬‏. يمكن الربط بين شدة كل من هذه التيارات الثلاثة رياضيًا. فيمكننا القول إن شدة التيار الكلية ‪𝐼‬‏ تساوي مجموع شدة التيارين المارين عبر الفرعين العلوي والسفلي. يكون ذلك منطقيًا إذا فكرنا في تشابه المياه المتدفقة مع دوائر التوازي.

إذا كان لدينا مجرى مائي يتدفق ووصل إلى نقطة تفرع، فإننا نعلم أن إجمالي الماء الموجود في الفروع يجب أن يكون مساويًا لإجمالي الماء الذي كان موجودًا في المجرى في البداية. وهذا يعني أن الماء الموجود في الفروع يجب أن يأتي من مكان ما. وهو يأتي من المجرى الأصلي. وبالطريقة نفسها، يجب أن يكون مجموع شدة التيارين المتدفقين عبر الفرعين المختلفين لدائرة التوازي مساويًا للشدة الكلية للتيار الذي يمد هذين الفرعين بالتيارين. وبالمناسبة، هذا صحيح سواء كان لدينا فرعان أو ثلاثة أو أربعة فروع أو أي عدد من الفروع في دائرة التوازي.

ثمة أمر آخر يجب ملاحظته بشأن التيار في دوائر التوازي، وهو أنه عندما ينقسم هذا التيار عبر فروع الدائرة، كما ذكرنا، قد لا تكون قيم شدة التيار في الفروع متساوية. بعبارة أخرى، في حالتنا هذه ‪𝐼𝑢‬‏ قد لا تساوي ‪𝐼𝑙‬‏. فتعتمد قيمتا شدة التيارين على نسبة مقاومة الفرع الذي يمر خلاله كل تيار.

قد يكون تشبيه الماء المتدفق مفيدًا هنا. لنفترض أن أحد فرعي هذا المجرى المتدفق يحتوي على عوائق كثيرة؛ إذ يعترضه الكثير من العصي والصخور وأوراق الشجر. من ناحية أخرى، لنفترض أن الفرع الآخر به عوائق قليلة جدًا. ويمكن أن يتدفق الماء تقريبًا دون معاوقة.

أي من هذين الفرعين تعتقد أنه سيتدفق خلاله تيار أكبر: الفرع الذي به عوائق كثيرة أم ذلك الذي به عدد قليل منها؟ الفرع الذي به عوائق أقل قادر على أن يستوعب، بل ويستوعب بالفعل، تدفق تيار أكبر. فهذا الفرع السفلي، الذي يمكن أن يتدفق فيه الماء دون مواجهة العديد من العوائق، قد يمر به معظم الماء في المجرى، بينما الفرع العلوي قد يمر به القليل من الماء.

يحدث الأمر نفسه في الدوائر الكهربية. فإذا كان أحد الفروع الموصلة على التوازي مقاومته أكبر بكثير من الفروع الأخرى، فذلك يعني أن تيارًا أقل يمر عبر هذا الفرع مقارنة بالفروع الأخرى. فيتدفق فيه بعض التيار، لكن أقل بكثير من ذلك الذي يتدفق عبر الفروع ذات المقاومة الأقل بكثير.

جدير بالذكر هنا أننا وضعنا عشوائيًا خطًا تحت الفرع العلوي للإشارة إلى أن له مقاومة أكبر. لم نتأكد من صحة ذلك بعد. ولذا، سنترك هذه العلاقات عامة في الوقت الحاضر. ‏‏‪𝑅‬‏ اثنان قد تكون مساوية أو أكبر من أو أصغر من ‪𝑅‬‏ ثلاثة لتفي بأهدافنا هنا. لكن على أي حال، إذا كان لأحد هذين الفرعين في الدائرة الكهربية مقاومة أكبر من الآخر، فسيمر خلاله تيار أقل من الفرع الأقل مقاومة.

باختصار شديد، إذا كانت ‪𝑅‬‏ اثنان تساوي ‪𝑅‬‏ ثلاثة، أي إذا كانت مقاومتا الفرعين الموصلين على التوازي متماثلتين، فهذا يعني أن التيار سينقسم بالتساوي عبر هذين الفرعين. بعبارة أخرى، ‪𝐼𝑢‬‏ ستساوي ‪𝐼𝑙‬‏. كانت هذه بعض المعلومات البسيطة عن التيار في دوائر التوازي. والآن لننتقل إلى الحديث عن المقاومة في هذه الدوائر.

لقد تطرقنا بالفعل إلى ذلك من خلال تشبيه المياه المتدفقة. لكن في الحقيقة، عندما يتعلق الأمر بدوائر التوازي، يكون السؤال الملح حول المقاومة هو: ما مقاومة الفروع الموصلة على التوازي في الدائرة؟ بعبارة أخرى، إذا نظرنا إلى هذا الجزء من الدائرة ككل، فماذا ستكون المقاومة المكافئة أو الفعلية له؟ للإجابة عن هذا السؤال، توجد قاعدة لجمع المقاومات الموصلة على التوازي يمكننا تعلمها.

في دائرة التوازي الممثلة هنا، نلاحظ أن لدينا مقاومتين فقط موصلتين على التوازي. لكن بوجه عام، يمكن أن يكون لدينا أي عدد من المقاومات الموصلة على التوازي. فيمكن أن يكون لدينا عدد ‪𝑛‬‏ من المقاومات الموصلة على التوازي. وبالحفاظ على هذا العدد عامًا، يمكننا القول إن واحدًا على المقاومة الكلية لمجموعة من الفروع الموصلة على التوازي يساوي واحدًا على مقاومة الفرع الأول زائد واحد على مقاومة الفرع الثاني، وهكذا، حتى واحد على مقاومة الفرع ‪𝑛‬‏.

لاحظ أن هذه المعادلة، التي تستخدم مع المقاومات الموصلة على التوازي، لها صورة مختلفة تمامًا عن تلك الخاصة بالمقاومات الموصلة على التوالي. إذ لا يمكننا استخدام المعادلة نفسها لكلتيهما. فكما قلنا، هذه المعادلة الخاصة بالمقاومات الموصلة على التوازي تفترض أن عدد المقاومات، ‪𝑛‬‏، يمكن أن يكون أي عدد صحيح. لكننا نتعامل في كثير من الأحيان مع دائرة ذات فرعين موصلين على التوازي، لا أكثر ولا أقل. هذه الحالة التي تتضمن مقاومتين موصلتين على التوازي شائعة لدرجة تجعل من المفيد تبسيط هذه المعادلة العامة في حالة ‪𝑛‬‏ يساوي اثنين.

عند ‪𝑛‬‏ يساوي اثنين، يكون لدينا فرعان موصلان على التوازي. وواحد على المقاومة الكلية لهذين الفرعين يساوي واحدًا على مقاومة الفرع الأول زائد واحد على مقاومة الفرع الثاني. ولنفترض أننا، في الخطوة التالية، سنضرب كلا طرفي هذه المعادلة في ‪𝑅𝑡‬‏ في ‪𝑅‬‏ واحد في ‪𝑅‬‏ اثنين، أي المقاومات الثلاث المذكورة في المعادلة. إذا فعلنا ذلك وبعد حذف العوامل المشتركة الموجودة في البسط والمقام، فسنجد أن ‪𝑅‬‏ واحد في ‪𝑅‬‏ اثنين، وهما مقاومتا الفرعين الموصلين على التوازي، يساوي ‪𝑅𝑡‬‏ في ‪𝑅‬‏ اثنين زائد ‪𝑅𝑡‬‏ في ‪𝑅‬‏ واحد.

نلاحظ أنه في الطرف الأيمن يمكننا أخذ الحد ‪𝑅𝑡‬‏ عاملًا مشتركًا. وإذا فعلنا ذلك ثم قسمنا طرفي المعادلة على ‪𝑅‬‏ واحد زائد ‪𝑅‬‏ اثنين، فسيحذف هذا الحد الموجود في الطرف الأيمن. وإذا كتبنا بعد ذلك المعادلة الناتجة، فسنجد أن ‪𝑅𝑡‬‏، التي تمثل في هذه الحالة المقاومة المكافئة الكلية للفرعين الموصلين على التوازي، تساوي مقاومة الفرع الأول في مقاومة الفرع الثاني على مجموع مقاومتيهما. وبما أن الدوائر التي لها فرعان فقط موصلان على التوازي شائعة إلى حد ما، فيجدر بنا أخذ هذه العلاقة في الاعتبار، وإن كان يمكننا دائمًا كما نعلم استنباطها من المعادلة العامة لعدد ‪𝑛‬‏ من المقاومات.

بالنظر إلى هذه المعادلة، يمكننا أن نرى علاقة مثيرة للاهتمام بين المقاومة الكلية والمقاومتين الفرديتين ‪𝑅‬‏ واحد و‪𝑅‬‏ اثنين. لرؤية ذلك بمزيد من الوضوح، دعونا نعد إلى مثال الدائرة. سنطبق هنا قيم المقاومة الفعلية على المقاومتين ‪𝑅‬‏ ثلاثة و‪𝑅‬‏ اثنين. لنفترض أن ‪𝑅‬‏ اثنين، وهي مقاومة الفرع العلوي، تساوي اثنين أوم، و‪𝑅‬‏ ثلاثة، وهي مقاومة الفرع السفلي، تساوي أربعة أوم. ثمة سؤال يمكننا طرحه هنا. وهو ما قيمة المقاومة الكلية لهاتين المقاومتين الموصلتين على التوازي؟ بعبارة أخرى، ما قيمة ‪𝑅𝑡‬‏، أي المقاومة المكافئة؟

وفقًا للمعادلة الخاصة بالمقاومتين، المقاومة الكلية هنا تساوي حاصل ضربهما، أي اثنين أوم في أربعة أوم، مقسومًا على مجموعهما، أي اثنين أوم زائد أربعة أوم. وهو ما يمنحنا ثمانية أوم تربيع على ستة أوم. ويحذف عاملا أوم معًا. وبذلك تكون المقاومة المكافئة الكلية لهاتين المقاومتين الموصلتين على التوازي، في أبسط صورة، هي أربعة على ثلاثة أوم.

نلاحظ هنا شيئًا مثيرًا للاهتمام. وهو أن هذه القيمة الكلية أقل من أي قيمة من قيمتي المقاومتين، ‪𝑅‬‏ اثنين و‪𝑅‬‏ ثلاثة. إذن بتوصيل هاتين المقاومتين على التوازي، نكون قد قللنا من مقاومتهما الكلية. وفي الحقيقة، ينطبق هذا دائمًا على المقاومات الموصلة على التوازي. المقاومة الكلية أو الفعلية أو المكافئة لمجموعة من الفروع الموصلة على التوازي تكون دائمًا أقل من مقاومة أي فرع من الفروع. هذا مثير للاهتمام حقًا؛ لأنه يعني أنه يمكننا تقليل المقاومة الكلية عن طريق إضافة المزيد من المقاومات. فتقل قيمتها بالضرورة بزيادة المقاومات. حسنًا.

لقد تحدثنا حتى الآن عن شدة التيار والمقاومة في دوائر التوازي. لنتحدث الآن عن فرق الجهد. تكمن النقطة الجوهرية هنا في أن فرق الجهد عبر الفروع الموصلة على التوازي في الدائرة الكهربية يكون متساويًا. هذا يعني أنه في حالة هذه الدائرة إذا قسنا فرق الجهد عبر الفرع العلوي، فسنجد أنه يساوي فرق الجهد عبر الفرع السفلي. يوجد سبب وجيه لذلك. فبدلًا من التفكير في فرق الجهد بدلالة الجهد الكهربي، لنفكر فيه للحظات بدلالة طاقة وضع الجاذبية. لنفترض أن لدينا ارتفاعين، أحدهما أكبر من الآخر. سنرمز لهما بـ ‪ℎ‬‏ واحد و‪ℎ‬‏ اثنين.

لنتخيل أيضًا أن لدينا جسمًا يبدأ في التحرك من ‪ℎ‬‏ واحد. ويتبع مسارًا محددًا للوصول إلى ‪ℎ‬‏ اثنين. ويوجد جسم آخر يبدأ من ‪ℎ‬‏ واحد ويسلك مسارًا مختلفًا للوصول إلى ‪ℎ‬‏ اثنين، أي ينتهي عند النقطة نفسها. لنفترض كذلك أنه يوجد جسم ثالث يبدأ من ‪ℎ‬‏ واحد. ويسلك مسارًا غير مألوف تمامًا، لكنه في نهاية المطاف يصل إلى ‪ℎ‬‏ اثنين. نلاحظ أن هذه الأجسام الثلاثة تحركت جميعها عبر فرق الارتفاع نفسه، ومن ثم شهدت نفس التغير في طاقة وضع الجاذبية.

يمكننا التفكير في هذه المسارات المختلفة التي رسمناها على أنها فروع مختلفة موصلة على التوازي في دائرة كهربية. هذه المسارات مختلفة، لكن نظرًا لأن الاختلافات بين نقطتي بدايتها ونهايتها متساوية، فهذا يعني أن فرق طاقة وضع الجاذبية الكلي لها متساو. وينطبق الأمر نفسه في حالة الجهد الكهربي في دائرة التوازي.

لنفترض أننا سنقيس فرق الجهد الكهربي بين هذه النقطة وهذه النقطة في الدائرة، أي عبر الجزء الموصل على التوازي في الدائرة. أيًا كان المسار الذي يمكن أن يتبعه التيار الكهربي للانتقال من نقطة البداية إلى نقطة النهاية، نعلم أن فرق الجهد عبر هذه المسارات لا بد أن يكون متساويًا. وهذه المعلومة مفيدة جدًا عندما نحاول إيجاد قيم مختلفة في دوائر التوازي الكهربية.

إليكم مثالًا. لنفترض أن البطارية في هذه الحالة توفر فرق جهد كليًا يساوي ‪10‬‏ فولت. ولنفترض أيضًا أن المقاومة ‪𝑅‬‏ واحد تساوي خمسة أوم. بمعلومية كل ذلك، نريد معرفة شدة التيار المار عبر الفرع السفلي من الجزء الموصل على التوازي، ‪𝐼𝑙‬‏. هيا نوجد شدة هذا التيار باستخدام ما تعلمناه حتى الآن عن دوائر التوازي.

إليكم ما سنفعله كاستراتيجية عامة للحل. أولًا، سنعمل على إيجاد شدة التيار الكلية ‪𝐼‬‏ في الدائرة. وسنفعل ذلك بتطبيق قانون أوم على هذه الدائرة. بعد ذلك، باستخدام هذا القانون، سنحسب مقدار الانخفاض في الجهد عبر المقاومة ‪𝑅‬‏ واحد. وعندما نعرف ذلك، سنتمكن من إيجاد مقدار الانخفاض في الجهد عبر الجزء المتبقي من الدائرة. وعندما نوجد قيمة هذا المقدار، سنتمكن من استخدام قانون أوم مرة أخرى لإيجاد قيمة ‪𝐼𝑙‬‏، أي شدة التيار المار عبر الفرع السفلي.

فلنبدأ إذن. كما ذكرنا، سنبدأ باستخدام قانون أوم لإيجاد شدة التيار الكلية في الدائرة. لإيجاد قيمة هذه الشدة، سيكون علينا معرفة فرق الجهد الكلي وكذلك المقاومة الكلية. نعلم أن فرق الجهد الكلي يساوي ‪10‬‏ فولت. لكننا لا نعرف بعد المقاومة الكلية. لإيجاد هذه المقاومة، نجمع هاتين المقاومتين الموصلتين على التوازي، المقاومة اثنين أوم والمقاومة أربعة أوم، ثم نضيف هذه المقاومة المكافئة إلى ‪𝑅‬‏ واحد.

لجمع هاتين المقاومتين الموصلتين على التوازي، أربعة أوم واثنين أوم، يمكننا أن نتذكر قاعدة المقاومتين الموصلتين على التوازي، وهي أن مقاومتهما المكافئة تساوي حاصل ضربهما مقسومًا على مجموعهما. نتذكر هنا أننا في هذه الحالة قد أوجدنا بالفعل هذه المقاومة المكافئة. وهي أربعة أثلاث أوم. لإيجاد المقاومة الكلية للدائرة، نضيف هذه القيمة، أربعة أثلاث أوم، إلى خمسة أوم، وهي قيمة المقاومة ‪𝑅‬‏ واحد الموصلة على التوالي مع الجزء الموصل على التوازي في الدائرة.

عندما نجمع هاتين المقاومتين وفقًا لقاعدة جمع المقاومات الموصلة على التوالي، نجد أن الناتج يساوي ‪19‬‏ على ثلاثة أوم. وهذه هي المقاومة المكافئة الكلية لجميع المقاومات الثلاث في الدائرة. والآن، لإيجاد شدة التيار الكلية في الدائرة، سنقسم الجهد الكلي على المقاومة الكلية، وهو ما يساوي ‪10‬‏ فولت مقسومًا على ‪19‬‏ على ثلاثة أوم. وهذا يساوي ‪30‬‏ على ‪19‬‏ أمبير.

بذلك نكون قد عرفنا شدة التيار الكلية في الدائرة. لنحسب الآن فرق الجهد عبر المقاومة ‪𝑅‬‏ واحد. وفقًا لقانون أوم، يساوي ذلك شدة التيار المار عبر هذه المقاومة، وهي ‪30‬‏ على ‪19‬‏ أمبير، مضروبة في قيمة مقاومتها، وهي خمسة أوم. بكتابة ذلك في صورة كسر، نجد أنه يساوي ‪150‬‏ على ‪19‬‏ فولت. من الجدير بالملاحظة هنا أنه عند كتابة ذلك في صورة عدد عشري نجد أنه يساوي تقريبًا سبعة ونصف فولت. وهو ما يساوي معظم فرق الجهد الكلي الذي يبلغ ‪10‬‏ فولت.

الخطوة التالية هي إيجاد فرق الجهد عبر الجزء الموصل على التوازي في الدائرة. وسنفعل ذلك بطرح هذه القيمة، التي تساوي ‪150‬‏ على ‪19‬‏ فولت، من فرق الجهد الكلي الذي يساوي ‪10‬‏ فولت. سنسمي فرق الجهد هذا ‪𝑉𝑝‬‏. وهو يساوي ‪190‬‏ على ‪19‬‏ فولت، أي ‪10‬‏ فولت، ناقص ‪150‬‏ على ‪19‬‏ فولت. وناتج ذلك هو ‪40‬‏ على ‪19‬‏ فولت.

هذا يعني أن فرق الجهد عبر كل من فرعي دائرة التوازي يساوي ‪40‬‏ على ‪19‬‏ فولت. وباستخدام قانون أوم مرة أخرى، يمكننا القول إن التيار في الفرع السفلي يساوي فرق الجهد عبر هذا الفرع مقسومًا على مقاومته. وعندما نحسب هذا الكسر، نحصل على ‪10‬‏ على ‪19‬‏ أمبير. وهذا هو مقدار شدة التيار الذي يتدفق عبر الفرع السفلي لدائرة التوازي.

لنلخص الآن ما تعلمناه عن دوائر التوازي. بداية في هذا الدرس، رأينا أن دوائر التوازي تحتوي على أكثر من مسار يتبعه التيار. رأينا كذلك أن التيار ينقسم عبر المسارات المختلفة التي تتوفر له. وعرفنا أيضًا أنه بالنسبة لعدد ‪𝑛‬‏ من المقاومات الموصلة على التوازي، واحد على مقاومتها المكافئة الكلية يساوي واحدًا على المقاومة الأولى زائد واحد على المقاومة الثانية، وهكذا، حتى واحد على المقاومة ‪𝑛‬‏. ورأينا أيضًا أنه عندما يكون لدينا مقاومتان موصلتان على التوازي، تساوي مقاومتهما الكلية حاصل ضربهما مقسومًا على مجموعهما. وأخيرًا، رأينا أن فرق الجهد عبر الفروع الموصلة على التوازي في الدائرة يكون متساويًا.