فيديو السؤال: تحديد مجال خارج قسمة دالتين كسريتين الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

إذا كان ﻥ واحد ﺱ يساوي ﺱ زائد تسعة على ﺱ ناقص ستة، وﻥ اثنان ﺱ يساوي تسعة ﺱ زائد ٨١ على ﺱ ناقص ستة، وﻥﺱ يساوي ﻥ واحد ﺱ مقسومًا على ﻥ اثنين ﺱ، فحدد مجال ﻥﺱ.

تذكر أن مجال الدالة هو مجموعة القيم المدخلة الممكنة لهذه الدالة. ونجد أن ﻥﺱ هي خارج قسمة دالتين. إنها تساوي ﻥ واحد ﺱ مقسومًا على ﻥ اثنين ﺱ. يمكننا إذن كتابتها على صورة ﺱ زائد تسعة على ﺱ ناقص ستة على تسعة ﺱ زائد ٨١ على ﺱ ناقص ستة. الآن، قبل أن نتمكن من تحديد مجال الدالة، لنقم بإجراء بعض العمليات الجبرية على كل مقدار.

لنبدأ بجمع الحدود في الدالة الأولى. لفعل ذلك، نفكر في ﺱ بوصفه مساويًا لـ ﺱ على واحد. بعد ذلك، نسعى إلى إيجاد مقام مشترك. سيكون هذا المقام المشترك هو حاصل ضرب المقامين المعطيين. إذن فهو ﺱ ناقص ستة. للوصول إلى البسط في المقدار الجديد، نضرب ﺱ في ﺱ ناقص ستة، ثم نضيف تسعة أو تسعة في واحد. ومن ثم يمكننا إعادة كتابة ﻥ واحد ﺱ على الصورة ﺱ تربيع ناقص ستة ﺱ زائد تسعة على ﺱ ناقص ستة. يمكننا بعد ذلك تحليل البسط لنحصل على ﺱ ناقص ثلاثة تربيع.

هيا نكرر هذه العملية لإضافة تسعة ﺱ إلى ٨١ على ﺱ ناقص ستة. مرة أخرى، نحن نتعامل مع تسعة ﺱ على أنه تسعة ﺱ على واحد. والمقام المشترك يساوي واحدًا في ﺱ ناقص ستة، وهو ما يساوي ﺱ ناقص ستة. البسط إذن يساوي تسعة ﺱ في ﺱ ناقص ستة زائد ٨١ في واحد. وإذا وزعنا الأقواس، فسيصبح البسط تسعة ﺱ تربيع ناقص ٥٤ﺱ زائد ٨١. سنلاحظ بعد ذلك، أن كل حد في البسط يقبل القسمة على تسعة. لذا يمكننا إعادة كتابته على صورة تسعة في ﺱ تربيع ناقص ستة ﺱ زائد تسعة، وهو يشبه إلى حد ما ﻥ واحد ﺱ، ومن ثم نحصل على تسعة في ﺱ ناقص ثلاثة تربيع على ﺱ ناقص ستة.

إذن بالتعويض عن ﻥ واحد ﺱ وﻥ اثنين ﺱ في معادلة الدالة ﻥﺱ، نجد أنها تساوي ﺱ ناقص ثلاثة تربيع على ﺱ ناقص ستة مقسومًا على تسعة في ﺱ ناقص ثلاثة تربيع على ﺱ ناقص ستة.

لنفرغ بعض المساحة ونتذكر ما نعرفه عن قسمة الكسور. القسمة على كسر تكافئ الضرب في مقلوب ذلك الكسر. إذن يمكننا إعادة كتابة ﻥﺱ على الصورة ﺱ ناقص ثلاثة تربيع على ﺱ ناقص ستة في ﺱ ناقص ستة على تسعة في ﺱ ناقص ثلاثة تربيع. وإذا أردنا التبسيط، فسنجد الآن أنه يوجد عدد من العوامل المشتركة التي يمكننا حذفها. لكننا، نريد إيجاد مجال ﻥﺱ. وعلينا دائمًا فعل ذلك قبل التبسيط.

لذا بدلًا من ذلك، سنضرب الكسور عن طريق ضرب البسطين ثم ضرب المقامين. ونحصل على ﺱ ناقص ثلاثة تربيع في ﺱ ناقص ستة على تسعة في ﺱ ناقص ستة في ﺱ ناقص ثلاثة تربيع. نلاحظ أن لدينا دالة كسرية. تذكر أن الدالة الكسرية هنا هي خارج قسمة دالتين كثيرتي الحدود. وإذا وزعنا الأقواس في بسط الكسر ومقامه، فسنجد أن كلًّا منهما عبارة عن دالة كثيرة الحدود.

إذن ما الذي نعرفه عن مجال الدالة الكثيرة الحدود؟ مجال الدالة كثيرة الحدود هو مجموعة الأعداد الحقيقية. لكننا لا نريد القسمة على صفر. لذا فإننا نستبعد أي قيم ﺱ تجعل قيمة المقام تساوي صفرًا. إذن مجال ﻥﺱ هو مجموعة الأعداد الحقيقية ما عدا أي قيم ﺱ تحقق المعادلة تسعة في ﺱ ناقص ستة في ﺱ ناقص ثلاثة تربيع يساوي صفرًا.

لذا دعونا نوجد قيم ﺱ التي علينا استبعادها من المجال. نلاحظ أن العامل تسعة لا يحتوي على ﺱ. إذن كي يكون المقدار تسعة في ﺱ ناقص ستة في ﺱ ناقص ثلاثة تربيع يساوي صفرًا، فإن ﺱ ناقص ستة يجب أن يساوي صفرًا، أو إن ﺱ ناقص ثلاثة تربيع يجب أن يساوي صفرًا. بإضافة ستة إلى كلا طرفي المعادلة الأولى، نحصل على ﺱ يساوي ستة. بأخذ الجذر التربيعي ثم إضافة ثلاثة إلى كلا طرفي هذه المعادلة، نحصل على ﺱ يساوي ثلاثة. يعني ذلك أن علينا استبعاد القيمتين ثلاثة وستة من مجال الدالة ﻥﺱ. وهذا بدوره يعني أنه يمكننا كتابة مجال ﻥﺱ كما هو موضح. هو مجموعة الأعداد الحقيقية ناقص المجموعة التي تحتوي على العنصرين ثلاثة وستة.

وبالطبع، بمجرد تحديد المجال، إذا أردنا، يمكننا تبسيط الكسر. لا يطلب السؤال ذلك منا، لكن دعونا نذكر أنفسنا بكيفية فعل ذلك. نقسم كلًّا من البسط والمقام على ﺱ ناقص ستة. بما أننا استبعدنا ﺱ يساوي ستة من مجال الدالة، فلن نحسب الناتج صفرًا مقسومًا على صفر، فهو قيمة غير معرفة. إذن فهذه الخطوة صحيحة. ثم نقسم كلا الطرفين على ﺱ ناقص ثلاثة الكل تربيع. ونجد أن ﻥﺱ يمكن تبسيطه إلى واحد على تسعة. لاحظ أن واحدًا على تسعة ثابت؛ فهو لا يحتوي على ﺱ. ومن ثم، فإن مجال الدالة المعرفة فقط بواحد على تسعة هو مجموعة الأعداد الحقيقية. لهذا السبب من المهم تحديد المجال قبل تبسيط أي كسور.