نسخة الفيديو النصية
في هذا الدرس، سوف نتعلم كيف نستخدم نظرية القيمة المتوسطة للتكامل لإيجاد القيمة المتوسطة للدالة. في هذه المرحلة، لا بد أنك أصبحت متمكنًا من إيجاد التكامل المحدد لمجموعة متنوعة من الدوال، وبالأخص الدوال كثيرة الحدود.
في هذا الفيديو، سنتناول هذه الأفكار ونتوسع فيها حتى نتمكن من إيجاد القيمة المتوسطة لدالة معرفة على فترة مغلقة. سنبدأ بتذكر نظرية القيمة المتوسطة للتكامل. تنص النظرية على أنه إذا كانت 𝑓 دالة متصلة على الفترة المغلقة من 𝑎 إلى 𝑏، فإنه يوجد عدد 𝑐 ينتمي إلى هذه الفترة، بحيث يكون التكامل بين 𝑎 و𝑏 للدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 بالنسبة لـ 𝑥 مساويًا لقيمة الدالة 𝑓 لـ 𝑐 مضروبة في 𝑏 ناقص 𝑎. وفي هذه النظرية، قيمة 𝑓 لـ 𝑐 هي القيمة المتوسطة للدالة 𝑓 في الفترة المغلقة من 𝑎 إلى 𝑏. ولكن ما الذي يعنيه هذا فعليًا؟
تضمن لنا النظرية أن الدالة المتصلة سيكون فيها على الأقل نقطة واحدة، تتساوى فيها القيمة الفعلية للدالة مع القيمة المتوسطة للدالة على هذه الفترة المغلقة. يمكننا إعادة ترتيب هذه المعادلة لنجعل 𝑓 لـ 𝑐 في طرف وحده. وبالتالي نحصل على صيغة القيمة المتوسطة للدالة. إذا كانت الدالة 𝑓 قابلة للتكامل في الفترة المغلقة من 𝑎 إلى 𝑏، فإن القيمة المتوسطة للدالة في هذه الفترة المغلقة تساوي واحدًا على 𝑏 ناقص 𝑎 في قيمة التكامل بين 𝑎 و𝑏 للدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 بالنسبة لـ 𝑥. سنلقي الآن نظرة على تطبيق هذه الصيغة من خلال عدة أمثلة.
حدد القيمة المتوسطة للدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 تساوي ثلاثة 𝑥 تربيع ناقص اثنين 𝑥 في الفترة المغلقة من سالب ثلاثة إلى خمسة.
تذكر أن صيغة إيجاد القيمة المتوسطة للدالة 𝑓 في الفترة المغلقة من 𝑎 إلى 𝑏 هي واحد على 𝑏 ناقص 𝑎 في التكامل بين 𝑎 و𝑏 للدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 بالنسبة لـ 𝑥. في هذه الحالة فإن الدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 تساوي ثلاثة 𝑥 تربيع ناقص اثنين 𝑥. والفترة المغلقة هي من سالب ثلاثة إلى خمسة. إذن، 𝑎 يساوي سالب ثلاثة و𝑏 يساوي سالب خمسة. واحد على 𝑏 ناقص 𝑎 يساوي واحدًا على خمسة ناقص سالب ثلاثة. وهذا مضروب في التكامل بين ثلاثة وخمسة لثلاثة 𝑥 تربيع ناقص اثنين 𝑥 بالنسبة لـ 𝑥. خمسة ناقص سالب ثلاثة يساوي ثمانية. وعلينا الآن إيجاد قيمة هذا التكامل المحدد.
نتذكر هنا أن التكامل غير المحدد للحد العام للدالة كثيرة الحدود 𝑎𝑥 أس 𝑛 يساوي 𝑎𝑥 أس 𝑛 زائد واحد على 𝑛 زائد واحد زائد 𝑐، حيث 𝑎 و𝑐 ثابتان، و𝑛 لا يساوي سالب واحد. نتذكر أيضًا أنه يمكننا حساب تكامل مجموع حدود الدالة كثيرة الحدود بحساب تكامل كل حد على حدة. وبالتالي فإن تكامل ثلاثة 𝑥 تربيع يساوي ثلاثة 𝑥 تكعيب على ثلاثة. وتكامل سالب اثنين 𝑥 يساوي سالب اثنين 𝑥 تربيع على اثنين. وسنوجد قيمة هذا التكامل بين سالب ثلاثة وخمسة.
ويمكن تبسيطه ليصبح 𝑥 تكعيب ناقص 𝑥 تربيع. هيا نعوض بحدي الفترة. علينا إيجاد قيمة ثمن خمسة تكعيب ناقص خمسة تربيع ناقص سالب ثلاثة تكعيب ناقص سالب ثلاثة تربيع. وهذا يساوي ثمنًا في 100 ناقص سالب 36، وهو ما يساوي 17. إذن القيمة المتوسطة للدالة ثلاثة 𝑥 تربيع ناقص اثنين 𝑥 في الفترة المغلقة من سالب ثلاثة إلى خمسة تساوي 17.
بعد أن تكونت لدينا فكرة عن استخدام صيغة القيمة المتوسطة للدالة، سنرى مثالًا يتضمن المزيد من الخطوات لحساب قيمة التكامل.
أوجد القيمة المتوسطة للدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 تساوي 𝑥 تربيع على 𝑥 تكعيب ناقص خمسة الكل تربيع في الفترة المغلقة من سالب واحد إلى واحد.
تذكر أن صيغة إيجاد القيمة المتوسطة للدالة في الفترة المغلقة من 𝑎 إلى 𝑏 نعبر عنها بالصيغة واحد على 𝑏 ناقص 𝑎 في تكامل الدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 بالنسبة لـ 𝑥 بين 𝑎 و𝑏. وفي هذه الحالة فإن الدالة تساوي 𝑥 تربيع على 𝑥 تكعيب ناقص خمسة الكل تربيع. والفترة المغلقة هي من سالب واحد إلى واحد. إذن 𝑎 يساوي سالب واحد و𝑏 يساوي واحدًا. وهذا يعني أن القيمة المتوسطة للدالة هي واحد على واحد ناقص سالب واحد مضروبًا في تكامل 𝑥 تربيع على 𝑥 تكعيب ناقص خمسة الكل تربيع بالنسبة لـ 𝑥 بين سالب واحد وواحد.
واحد ناقص سالب واحد يساوي اثنين. لكن كيف نوجد قيمة هذا التكامل المحدد؟ حسنًا، علينا ملاحظة أن البسط عامل من عوامل مشتقة جزء من المقام. مشتقة 𝑥 تكعيب ناقص خمسة تساوي ثلاثة 𝑥 تربيع. هذا يعني أنه يمكننا استخدام التكامل بالتعويض. نفترض أن 𝑢 يساوي 𝑥 تكعيب ناقص خمسة، وعليه فإن d𝑢 على d𝑥 يساوي ثلاثة 𝑥 تربيع. نحن نعرف أن d𝑢 على d𝑥 ليس كسرًا. ولكن لغرض التكامل بالتعويض، نتعامل معه على أنه كسر، بحيث نحصل على ثلث d𝑢 يساوي 𝑥 تربيع d𝑥.
نحن الآن في مرحلة التعويض عن الأجزاء المختلفة للتكامل. نعوض عن 𝑥 تربيع d𝑥 بثلث d𝑢. ونعوض عن 𝑥 تكعيب ناقص خمسة بـ 𝑢. لنجد أن القيمة المتوسطة للدالة تساوي نصفًا في تكامل ثلث في واحد على 𝑢 تربيع بالنسبة إلى 𝑢. لكن ماذا عن هذين الحدين؟
سنستخدم تعريف 𝑢. قلنا: إن 𝑢 يساوي 𝑥 تكعيب ناقص خمسة. إذن فبالنسبة للحد الأعلى، إذا كان 𝑥 يساوي واحدًا، فإن 𝑢 يساوي واحدًا تكعيب ناقص خمسة، أي سالب أربعة. وإذا كان 𝑥 يساوي سالب واحد، فإن 𝑢 يساوي سالب واحد تكعيب ناقص خمسة، أي سالب ستة. يمكننا إخراج الثابت ثلث خارج علامة التكامل وكتابة واحد على 𝑢 تربيع على هيئة 𝑢 أس سالب اثنين. ونحن نعرف أن تكامل 𝑢 أس سالب اثنين يساوي 𝑢 أس سالب واحد على سالب واحد، أو سالب 𝑢 أس سالب واحد، وهو ما يمكن كتابته على هيئة سالب واحد على 𝑢.
نعوض بعد ذلك بسالب أربعة وسالب ستة. وبذلك نحصل على سدس سالب واحد على سالب أربعة ناقص سالب واحد على سالب ستة. حسنًا، سالب واحد على سالب أربعة يساوي ربعًا. وسالب واحد على سالب ستة يساوي سدسًا. نطرح هذين الكسرين بإيجاد مقام مشترك. ونجد أن القيمة المتوسطة للدالة هي سدس في واحد على 12، أي واحد على 72.
في المثال التالي، سنتعرف على كيفية استخدام معكوس صيغة القيمة المتوسطة للدالة ليساعدنا في حساب القيم المجهولة.
القيمة المتوسطة للدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 تساوي سالب ستة 𝑥 تربيع زائد ستة 𝑥 ناقص واحد في الفترة المغلقة من صفر إلى 𝑏 هي صفر. أوجد كل قيم 𝑏 الممكنة.
تذكر أن صيغة القيمة المتوسطة للدالة 𝑓 في الفترة المغلقة من 𝑎 إلى 𝑏 هي واحد على 𝑏 ناقص 𝑎 في التكامل بين 𝑎 و𝑏 للدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 بالنسبة لـ 𝑥. الدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 تساوي سالب ستة 𝑥 تربيع زائد ستة 𝑥 ناقص واحد. و𝑎 يساوي صفرًا، ولا نعرف قيمة 𝑏. إذن، نبدأ بالتعويض بما نعرفه عن القيمة المتوسطة للدالة في هذه الصيغة.
نحصل على واحد على 𝑏 ناقص صفر، وهو ما يساوي واحدًا على 𝑏 بالتأكيد. ونضرب في التكامل المحدد لسالب ستة 𝑥 تربيع زائد ستة 𝑥 ناقص واحد بين صفر و𝑏. ولكننا نعرف بالفعل أن القيمة المتوسطة للدالة تساوي صفرًا. وعليه، يمكننا مساواة هذا المقدار بالصفر.
لنوجد إذن قيمة التكامل. تكامل سالب ستة 𝑥 تربيع يساوي سالب ستة 𝑥 تكعيب على ثلاثة. وتكامل ستة 𝑥 يساوي ستة 𝑥 تربيع على اثنين. وتكامل سالب واحد هو سالب 𝑥. والآن نعوض بكل من 𝑏 وصفر في هذا المقدار. نجد أن الصفر يساوي واحدًا على 𝑏 في سالب اثنين 𝑏 تكعيب زائد ثلاثة 𝑏 تربيع ناقص 𝑏. ثم نقسم البسط والمقام على 𝑏. فنحصل على سالب اثنين 𝑏 تربيع زائد ثلاثة 𝑏 ناقص واحد يساوي صفرًا. أصبح لدينا الآن معادلة تربيعية.
لنضرب الطرفين في سالب واحد. ثم نحلل المقدار اثنين 𝑏 تربيع ناقص ثلاثة 𝑏 زائد واحد. عندما نفعل ذلك، نجد أن اثنين 𝑏 ناقص واحد في 𝑏 ناقص واحد يجب أن يساوي صفرًا. وحتى تكون هذه العبارة صحيحة، فإما أن يكون اثنان 𝑏 ناقص واحد مساويًا لصفر أو 𝑏 ناقص واحد مساويًا لصفر. نوجد قيمة 𝑏. ونجد أن 𝑏 يساوي نصفًا أو واحدًا.
أوجد جميع قيم 𝑐 التي تجعل قيمة الدالة 𝑓 لـ 𝑐 تساوي القيمة المتوسطة للدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 تساوي 𝑥 ناقص اثنين الكل تربيع في الفترة المغلقة من سالب واحد إلى خمسة.
نبدأ بتذكر صيغة القيمة المتوسطة للدالة في الفترة المغلقة من 𝑎 إلى 𝑏. وهي واحد على 𝑏 ناقص 𝑎 في تكامل الدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 بالنسبة لـ 𝑥 بين 𝑎 و𝑏. الدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 هنا تساوي 𝑥 ناقص اثنين الكل تربيع. والفترة المغلقة هي من سالب واحد إلى خمسة. و𝑎 يساوي سالب واحد و𝑏 يساوي خمسة.
إذن، القيمة المتوسطة لهذه الدالة في هذه الفترة المغلقة هي واحد على خمسة ناقص سالب واحد في التكامل بين سالب واحد وخمسة لـ 𝑥 ناقص اثنين الكل تربيع بالنسبة لـ 𝑥. وهناك طريقتان يمكننا بهما إيجاد قيمة هذا التكامل المحدد. يمكننا البدء بفك القوس. وبدلًا من ذلك، نلاحظ أنه إذا افترضنا أن 𝑢 يساوي 𝑥 ناقص اثنين، فسنحصل على d𝑢 على d𝑥 يساوي واحدًا، وهو ما يعني أنه يمكننا القول: إن d𝑢 يجب أن يساوي d𝑥.
يمكننا إذن استخدام التكامل بالتعويض. نعوض عن 𝑥 ناقص اثنين بـ 𝑢 وعن d𝑥 بـ d𝑢. لكن ما زال علينا التعامل مع حدي الفترة. لذا سنستخدم تعريف 𝑢. نجد أنه إذا كان 𝑥 يساوي خمسة، فإن 𝑢 يساوي خمسة ناقص اثنين، أي ثلاثة بالطبع. ونجد أيضًا أنه إذا كان 𝑥 يساوي سالب واحد، فإن 𝑢 يساوي سالب واحد ناقص اثنين، أي سالب ثلاثة. القيمة المتوسطة للدالة هي سدس التكامل بين سالب ثلاثة وثلاثة لـ 𝑢 تربيع بالنسبة لـ 𝑢. تكامل 𝑢 تربيع يساوي 𝑢 تكعيب على ثلاثة. وعند التعويض بحدي الفترة في المقدار، يصبح لدينا سدس ثلاثة تكعيب على ثلاثة ناقص سالب ثلاثة تكعيب على ثلاثة، وهو ما يساوي ثلاثة.
لم ننته تمامًا بعد. نريد إيجاد قيم 𝑐 التي تجعل قيمة الدالة 𝑓 لـ 𝑐 مساوية للقيمة المتوسطة للدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 في هذه الفترة المغلقة، أي بعبارة أخرى، عندما تكون قيمة 𝑓 لـ 𝑐 مساوية لثلاثة. حسنًا، قيمة الدالة 𝑓 لـ 𝑐 تساوي 𝑐 ناقص اثنين الكل تربيع. نريد أن نعرف متى يكون 𝑐 ناقص اثنين الكل تربيع مساويًا لثلاثة. لذا نحل المعادلة لإيجاد قيمة 𝑐. نوجد الجذر التربيعي لطرفي المعادلة، ولا ننسى أن نكتب الجذرين التربيعيين الموجب والسالب للعدد لثلاثة. والآن، نضيف اثنين إلى كلا الطرفين. نحصل إذن على قيمتين لـ 𝑐 هما اثنان زائد جذر ثلاثة واثنان ناقص جذر ثلاثة.
في المثال الأخير، سنفكر في التفسير الهندسي لهذه الصيغة بالنظر إلى التمثيلات البيانية للدوال.
ما القيمة المتوسطة لهذه الدالة في الفترة المغلقة من سالب خمسة إلى أربعة؟
نبدأ بتذكر صيغة إيجاد القيمة المتوسطة للدالة في الفترة المغلقة 𝑎 إلى 𝑏. إنها واحد على 𝑏 ناقص 𝑎 في تكامل الدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 بين 𝑎 و𝑏. في هذه المسألة، حدا الفترة هما أربعة وسالب خمسة. يصبح لدينا واحد على أربعة ناقص سالب خمسة في هذا التكامل المحدد. هذا التمثيل البياني يوضح دالة متعددة التعريف تتكون من عدد من الدوال المختلفة.
بدلًا من إيجاد قيمة الدالة عند كل نقطة، سنتذكر المفهوم الأساسي لتكامل الدالة. وهو يمكننا من إيجاد المساحة الكلية بين منحنى الدالة والمحور 𝑥. يمكننا إذن إيجاد المساحة بين منحنى هذه الدالة والمحور 𝑥 بتقسيم الفترة إلى فترات جزئية، ونتذكر أنه عند حساب المساحة أسفل المحور 𝑥، فسنتعامل مع قيمة سالبة.
سنبدأ بإيجاد مساحة هذا المثلث. صيغة مساحة المثلث هي نصف في طول القاعدة في الارتفاع. إذن، مساحة هذا المثلث تساوي نصفًا في واحد في أربعة، أي وحدتين مربعتين. بما أن المثلث يقع أسفل المحور 𝑥، سنعبر عن هذه القيمة بسالب اثنين في التكامل. يقع المثلث التالي أعلى المحور 𝑥. ومساحته هي نصف في اثنين في واحد، أي وحدة مربعة واحدة. إذن علينا إضافة واحد.
الشكل التالي هو شبه منحرف، لكن كان من الممكن تقسيمه إلى مثلث ومربع. مساحته هي نصف في أربعة زائد ثلاثة في ثلاثة، أي 10.5 وحدات مربعة. إذن علينا إضافة 10.5. بعد ذلك نجد شبه منحرف آخر، ومساحته نصف في ثلاثة زائد اثنين في واحد، أي 2.5 وحدة مربعة. ولدينا شبه منحرف أخير مساحته نصف في أربعة زائد اثنين في واحد، أي ثلاث وحدات مربعة. إذن نوجد مجموع هذه القيم، وهو يساوي قيمة التكامل بين سالب خمسة وأربعة للدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 بالنسبة لـ 𝑥. وبالتالي فإن القيمة المتوسطة للدالة هي تسع في 15، أي خمسة أثلاث.
في هذا الفيديو، تعلمنا أنه يمكننا إيجاد القيمة المتوسطة للدالة 𝑓 في الفترة المغلقة من 𝑎 إلى 𝑏 إذا كانت الدالة 𝑓 قابلة للتكامل، وذلك باستخدام الصيغة واحد على 𝑏 ناقص 𝑎 في قيمة التكامل بين 𝑎 و𝑏 للدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 بالنسبة لـ 𝑥. ورأينا أن هذه العملية يمكن تطبيقها على دوال أكثر تعقيدًا، مثل تلك التي تحتاج إلى استخدام التكامل بالتعويض. وأخيرًا، رأينا أنه بمعلومية التمثيل البياني للدالة، يصبح من الأسهل أحيانًا إيجاد المساحة بين منحنى الدالة والمحور 𝑥 بدلًا من محاولة إيجاد قيمة التكامل.
مصر
المملكة العربية السعودية
الولايات المتحدة
