فيديو السؤال: إيجاد مدور مجموع مدور مصفوفتين الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أكمل ما يأتي. إذا كانت ﺃ وﺏ مصفوفتين من نفس الرتبة، فإن مدور مدور ﺃ زائد مدور ﺏ يساوي فراغ.

دعونا نبدأ بتحديد المصفوفتين ﺃ وﺏ. بما أن كل عنصر في المصفوفتين سيظل ثابتًا، فإنه يمكننا أن نرمز لهذه العناصر باستخدام ترميز الدليل. إذن، ﺃﺹﻉ يمكن أن يمثل أي عنصر في المصفوفة ﺃ؛ حيث ﺹ سيمثل صف العنصر، وﻉ سيمثل عمود العنصر. والآن، يمكننا القول إن ﺃ يساوي مصفوفة العناصر ﺃﺹﻉ. دعونا نتناول مثالًا على كيفية تطبيق ذلك. لنفترض أن المصفوفة ﺃ مصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين، وأن عناصرها: اثنان، صفر، خمسة، سالب واحد. دعونا نقسم هذه المصفوفة إلى صفين وعمودين. من الشبكة الموجودة التي لدينا، نلاحظ أن العنصر الموجود في الصف الأول والعمود الأول في المصفوفة هو اثنان. وبتمثيل ذلك باستخدام ترميز الدليل، هذا يعني أنه يمكننا القول إن ﺃ واحد واحد يساوي اثنين.

والآن إذا نظرنا إلى الصف الأول والعمود الثاني، فسنجد أن العنصر هو صفر. إذن، ﺃ واحد اثنان يساوي صفرًا. والآن، عندما ننظر إلى الصف الثاني، نلاحظ أن في العمود الأول لدينا خمسة ولدينا سالب واحد في العمود الثاني، وهو ما يعطينا أن: ﺃ اثنين واحد يساوي خمسة، وﺃ اثنين اثنين يساوي سالب واحد. يمكننا الآن استخدام ترميز الدليل هذا لترميز مصفوفة من أي رتبة. إذن، على الرغم من أننا لا نعرف رتبة المصفوفة ﺃ، فلا يزال بإمكاننا القول إنها تساوي ﺃﺹﻉ. وبالمثل، يمكننا القول إن المصفوفة ﺏ تساوي مصفوفة العناصر ﺏﺹﻉ.

والآن، علينا إيجاد مدور المصفوفة ﺃ ومدور المصفوفة ﺏ. نعلم أنه عند إيجاد مدور مصفوفة ما، فإننا نأخذ صفوف المصفوفة الأصلية ونحولها إلى أعمدة مدور المصفوفة. توجد طريقة أخرى يمكننا استخدامها؛ وهي أخذ أعمدة المصفوفة الأصلية، وتحويلها إلى صفوف مدور المصفوفة. ومن ثم، فإن ما نفعله هو تبديل صفوف المصفوفة وأعمدتها. في ترميز الدليل، بما أن ﺹ يمثل صف العنصر وﻉ يمثل عموده، فإن كل ما علينا فعله هو التبديل بين ﺹ وﻉ. إذن، مدور المصفوفة ﺃ يساوي العناصر ﺃﻉﺹ ومدور المصفوفة ﺏ يساوي العناصر ﺏﻉﺹ.

دعونا ننظر سريعًا إلى ما سيحدث لرتبة المصفوفتين. نعلم من السؤال أن ﺃ وﺏ مصفوفتان من الرتبة نفسها. يمكننا القول إذن إن كلًّا من ﺃ وﺏ مصفوفة من الرتبة ﻡ في ﻥ؛ حيث ﻡ وﻥ عددان صحيحان موجبان. والآن، عند إيجاد مدور المصفوفة، فإن رتبة المصفوفة ستكون معكوسة. ومن ثم، فإن مدور المصفوفة ﺃ ومدور المصفوفة ﺏ سيكونان من الرتبة ﻥ في ﻡ. إذن، مرة أخرى، ستكونان مصفوفتين من نفس الرتبة. وهذا أمر جيد بما أننا سنجمعهما معًا. لكي نجمع المصفوفتين، لا بد من أن تكونا من نفس الرتبة.

والآن عندما نجمع مصفوفتين معًا، ما علينا فعله هو جمع كل عنصرين متناظرين معًا. هذا يعني أنه لإيجاد العنصر الموجود في الصف الأول والعمود الأول لمجموع مدور المصفوفة ﺃ ومدور المصفوفة ﺏ، علينا جمع العنصرين ﺃ واحد واحد وﺏ واحد واحد. بالمثل، للعنصر الموجود في الصف الأول والعمود الثاني من المجموع، علينا جمع ﺃ اثنين واحد، وﺏ اثنين واحد. هذه صيغة كاملة لما يجب أن يبدو عليه مجموع مدور المصفوفة ﺃ ومدور المصفوفة ﺏ. كما يمكننا أن نلاحظ، ما نفعله هو أننا نجمع كل عنصرين متناظرين في المصفوفتين.

ثمة أمر جدير بالملاحظة وهو أن دليلي كل زوجين من العناصر، التي نجمعها معًا لتكوين العناصر الجديدة، يتطابقان معًا داخل كل عنصر. ومن ثم، يمكننا استخدام ترميز الدليل للعناصر لنقول إن مدور المصفوفة ﺃ زائد مدور المصفوفة ﺏ يساوي ﺃﻉﺹ زائد ﺏﻉﺹ.

والآن، يمكننا تبسيط ذلك أكثر. بما أن لدينا دليلين متطابقين لكل عنصر ويظل كل عنصر ثابتًا، فإنه يمكننا إعادة تسمية دليل كل عنصر من هذه العناصر باستخدام ﺟ. على سبيل المثال، يمكننا جعل ﺃ واحد واحد زائد ﺏ واحد واحد يساوي ﺟ واحد واحد، وﺃ اثنين واحد زائد ﺏ اثنين واحد يساوي ﺟ واحد اثنين. ويمكننا أيضًا جعل ﺃ واحد اثنين زائد ﺏ واحد اثنين يساوي ﺟ اثنين واحد. وإذا كررنا الأمر مع كل عنصر في المصفوفة، فسنتمكن من إعادة كتابة ﺃﻉﺹ زائد ﺏﻉﺹ على الصورة: ﺟﻉﺹ. وبذلك نحصل على هذه الصورة المبسطة للمجموع.

بعد ذلك، نلاحظ أن السؤال يطلب منا إيجاد مدور مدور المصفوفة ﺃ زائد مدور المصفوفة ﺏ. علينا الآن إيجاد مدور المجموع. كما نذكر، عند إيجاد مدور المصفوفة المعطاة عناصرها بترميز الدليل، فإننا ببساطة نبدل ترتيب دليل كل عنصر من العناصر. يمكننا القول إذن إن مدور مدور المصفوفة ﺃ زائد مدور المصفوفة ﺏ يساوي مصفوفة العناصر ﺟﺹﻉ. والآن، يمكننا أن نربط ما توصلنا إليه الآن بما بدأنا به. لنر ما سيحدث عندما نجمع المصفوفتين ﺃ وﺏ معًا. مثلما فعلنا عندما جمعنا مدور كل من المصفوفتين ﺃ وﺏ، فإننا ببساطة نضيف كل عنصر من ﺃ إلى العنصر المناظر له من ﺏ. ويمكننا القول إن ﺃ زائد ﺏ يساوي مصفوفة العناصر ﺃﺹﻉ زائد ﺏﺹﻉ.

والآن، وبناء على ما سبق، لدينا ﺃﻉﺹ زائد ﺏﻉﺹ يساوي ﺟﻉﺹ. وتنطبق العبارة أيضًا إذا بدلنا دليل كل عنصر من العناصر، ليصبح لدينا: ﺃﺹﻉ زائد ﺏﺹﻉ يساوي ﺟﺹﻉ. ومن ثم، يمكننا إعادة كتابة العناصر في المجموع على صورة: ﺟﺹﻉ. يمكننا أن نلاحظ الآن أن المصفوفة ﺃ زائد ﺏ تتطابق مع مصفوفة مدور مدور المصفوفة ﺃ زائد مدور المصفوفة ﺏ. وهذا يقودنا مباشرة إلى الحل، وهو أن مدور مدور المصفوفة ﺃ زائد مدور المصفوفة ﺏ يساوي ﺃ زائد ﺏ.