فيديو السؤال: جمع متجهين من خلال جمع مركباتهما الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

إذا كان ﺃ يساوي المتجه تسعة، سالب ١٢، ﺏ يساوي المتجه ١٣، سالب واحد، فأوجد المتجه ﺃ زائد المتجه ﺏ.

في هذا السؤال، لدينا متجهان كل منهما معطى بدلالة مركبتيه وهما: المتجه ﺃ والمتجه ﺏ. علينا إيجاد مجموع هذين المتجهين. ولكي نفعل ذلك، توجد عدة طرق. أسهل طريقة هي تذكر ما نعنيه بجمع المتجهات. إذا كان لدينا متجهان لهما البعد نفسه، وطلب منا جمعهما معًا، فيمكننا فعل ذلك من خلال جمع مركباتهما. على سبيل المثال، المتجه ﻉﺱ،‏ ﻉ زائد المتجه ﻕﺱ،‏ ﻕﺹ يساوي المتجه ﻉﺱ زائد ﻕﺱ،‏ ﻉﺹ زائد ﻕﺹ. كل ما علينا فعله هو جمع كل مركبتين متناظرتين معًا للحصول على متجه جديد.

في هذا السؤال بما أن المتجهين ﺃ وﺏ ثنائيا الأبعاد، ونحن نعرف ذلك لأن كل متجه له مركبتان، فإنه يمكننا جمعهما معًا باستخدام هذه الطريقة. لذا كل ما علينا فعله هو جمع كل مركبتين متناظرتين معًا. نجمع أول مركبتين معًا لنحصل على تسعة زائد ١٣. بعد ذلك نجمع ثاني مركبتين معًا لنحصل على سالب ١٢ زائد سالب واحد. نوجد قيمة كل من هذين المقدارين. تسعة زائد ١٣ يساوي ٢٢، وسالب ١٢ زائد سالب واحد يساوي سالب ١٣. هذا يعطينا الإجابة النهائية، وهي المتجه ٢٢، سالب ١٣.

لكن هذه ليست الطريقة الوحيدة للإجابة عن هذا السؤال، حيث يمكننا إيجاد الحل بيانيًّا. لكن سيتطلب الأمر بذل المزيد من الجهد. لفعل ذلك علينا أولًا تذكر أنه عندما يكون لدينا متجه ثنائي الأبعاد، فإنه يمكننا رسمه بجعل المركبة الأولى هي المركبة الأفقية للمتجه، والمركبة الثانية هي المركبة الرأسية للمتجه. إذن، في هذه الحالة، ستكون للمتجه ﺃ مركبة أفقية قيمتها تسعة ومركبة رأسية قيمتها سالب ١٢. ومن ثم، بالنسبة للمتجه ﺃ، يجب أن يكون التغير في ﺱ يساوي تسعة، ويجب أن يكون التغير في ﺹ يساوي سالب ١٢.

إحدى طرق تصور ذلك هي أن نبدأ من نقطة بداية المتجه ﺃ وننتهي عند نقطة نهاية المتجه ﺃ. لذا علينا زيادة الإحداثي الأفقي بمقدار تسعة وتقليل الإحداثي الرأسي بمقدار ١٢. بعد ذلك، سيتعين علينا استخدام الطريقة نفسها مع المتجه ﺏ. لكن علينا ملاحظة أمر ما أولًا. نحن نريد إيجاد المتجه ﺃ زائد المتجه ﺏ. وبما أنه عند جمع المتجهين معًا، نتحرك على طول كل منهما، لذا فإن المتجه ﺏ سيبدأ من نقطة نهاية المتجه ﺃ. وبوضع ذلك في الاعتبار، يجب أن تكون للمتجه ﺏ مركبة أفقية قيمتها ١٣ ومركبة رأسية قيمتها سالب واحد.

سنبدأ من نقطة نهاية المتجه ﺃ. هذا يعطينا الشكل الموضح للمتجه ﺏ. المتجه ﺏ له مركبة أفقية قيمتها ١٣ ومركبة رأسية قيمتها سالب واحد. نحن الآن مستعدون لإيجاد المتجه ﺃ زائد المتجه ﺏ. أصبح من السهل الآن إيجاد ذلك بيانيًّا؛ لأننا قد حددنا المتجهين ﺃ وﺏ بهذه الطريقة. إذن، سيبدأ المتجه ﺃ زائد ﺏ من نقطة بداية المتجه ﺃ وسينتهي عند نقطة نهاية المتجه ﺏ. يمكننا أن نلاحظ في الشكل أن المركبة الأفقية لمجموع المتجه ﺃ والمتجه ﺏ تساوي تسعة زائد ١٣. أما المركبة الرأسية فستساوي سالب ١٢ زائد سالب واحد، وهو ما يعطينا الإجابة نفسها.

إذن، استطعنا توضيح أنه إذا كان ﺃ يساوي المتجه تسعة، سالب ١٢، ﺏ يساوي المتجه ١٣، سالب واحد، فإن المتجه ﺃ زائد المتجه ﺏ يساوي المتجه ٢٢، سالب ١٣.