فيديو الدرس: الحد العام للمتتابعة الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نستخدم الحد العام أو الصيغة التكرارية لمتتابعة لإيجاد حدود في المتتابعة. لنبدأ بتذكر أن المتتابعة هي قائمة مكونة من أعداد مرتبة، كل منها يسمى حدًّا، على سبيل المثال؛ الأعداد الزوجية: اثنان، وأربعة، وستة، وثمانية، و١٠، وهكذا. عند التعامل مع المتتابعات، عادة ما يمكننا إيجاد الحد التالي من خلال تحديد قاعدة عامة أو نمط عام. وفي هذا الفيديو، سوف نتوسع في ذلك، وننظر في الحد العام وكيف يمكننا استخدامه لإيجاد أي حد في المتتابعة.

الحد العام للمتتابعة، الذي يسمى أحيانًا الحد النوني، ويكتب على الصورة ﺡﻥ، هو مقدار جبري يربط بين الحد والرقم الذي يمثل موقعه في المتتابعة. لنفترض أن الحد العام ﺡﻥ يساوي ثلاثة ﻥ زائد أربعة. إحدى طرق حساب الأعداد في هذه المتتابعة هي عمل جدول كما هو موضح. سنبدأ بحساب الحدود الثلاثة الأولى، حيث ﻥ يساوي واحدًا، واثنين، وثلاثة. عند ﻥ يساوي واحدًا، يكون لدينا ثلاثة مضروبًا في واحد زائد أربعة. وهذا يساوي سبعة، إذن الحد الأول في المتتابعة التي لدينا هو سبعة.

الحد الثاني يمكن حسابه بضرب اثنين في ثلاثة ثم إضافة أربعة. وهو ما يساوي ١٠. وباتباع الطريقة نفسها، نجد أن الحد الثالث هو ١٣. وهذا يعني أن ﺡ واحد يساوي سبعة، وﺡ اثنين يساوي ١٠، وﺡ ثلاثة يساوي ١٣. إذن المتتابعة التي حدها العام ﺡﻥ يساوي ثلاثة ﻥ زائد أربعة هي سبعة، ١٠، ١٣، وهكذا.

لنتناول الآن كيفية حساب الحد الثامن في هذه المتتابعة. بالتعويض بـ ﻥ يساوي ثمانية في المقدار الذي لدينا، نحصل على ثلاثة مضروبًا في ثمانية زائد أربعة. وهذا يساوي ٢٨. إذن، ﺡ ثمانية، وهو الحد الثامن في المتتابعة، يساوي ٢٨. ويمكن تلخيص هذه الطريقة كما يلي. إذا كان الحد العام للمتتابعة يتضمن مقدارًا بدلالة ﻥ، نعوض عن ﻥ برقم الحد لإيجاد حد معين في المتتابعة. على سبيل المثال، لإيجاد الحد العشرين، فإننا نعوض بـ ﻥ يساوي ٢٠ في المقدار الذي لدينا.

في المثال الأول، سنستخدم هذه الطريقة لإيجاد الحدود الخمسة الأولى في متتابعة.

أوجد الحدود الخمسة الأولى للمتتابعة التي حدها النوني ﻥ يعطى بالعلاقة ﺡﻥ يساوي ﻥ تربيع ناقص ١٤؛ حيث ﻥ أكبر من أو يساوي واحدًا.

لحساب الحدود الخمسة الأولى في المتتابعة، علينا التعويض بـ ﻥ يساوي واحدًا، واثنين، وثلاثة، وأربعة، وخمسة في المقدار الخاص بـ ﺡﻥ. ويكون الحد الأول عند ﻥ يساوي واحدًا. ونرمز إليه بـ ﺡ واحد، وهو يساوي واحدًا تربيع ناقص ١٤. نحن نعلم أن واحدًا تربيع يساوي واحدًا، وبطرح ١٤ منه نحصل على سالب ١٣. إذن، الحد الأول في المتتابعة التي لدينا هو سالب ١٣. لحساب الحد الثاني، نعوض بـ ﻥ يساوي اثنين. وهذا يساوي اثنين تربيع ناقص ١٤. بما أن اثنين تربيع يساوي أربعة، فذلك يساوي سالب ١٠.

يمكننا تكرار هذه العملية لحساب الحدود الثالث والرابع والخامس. فعند ﻥ يساوي ثلاثة، فإن ﺡ ثلاثة يساوي سالب خمسة. وعند ﻥ يساوي أربعة، فإن أربعة تربيع ناقص ١٤ يساوي اثنين. وأخيرًا، الحد الخامس ﺡ خمسة يساوي خمسة تربيع ناقص ١٤، وهو ما يساوي ١١. وعليه، فإن الحدود الخمسة الأولى للمتتابعة التي حدها النوني يعطى باستخدام ﺡﻥ يساوي ﻥ تربيع ناقص ١٤ هي: سالب ١٣، وسالب ١٠، وسالب خمسة، واثنان، و١١.

في المثال التالي، علينا حساب حد معين في المتتابعة.

أوجد الحد السابع للمتتابعة ﺡﻥ يساوي ﻥ تكعيب ناقص ١٤.

يرمز إلى الحد السابع لأي متتابعة حدها العام ﺡﻥ بـ ﺡ سبعة. ويمكننا حسابه بالتعويض بـ ﻥ يساوي سبعة في المقدار الذي يعبر عن الحد العام. ‏ﺡ سبعة يساوي سبعة تكعيب ناقص ١٤. نعلم أن سبعة مضروبًا في سبعة أو سبعة تربيع يساوي ٤٩. وهذا يعني أنه يمكننا حساب سبعة تكعيب بضرب ٤٩ في سبعة. وبما أن ٤٠ مضروبًا في سبعة يساوي ٢٨٠ وتسعة مضروبًا في سبعة يساوي ٦٣، يمكننا إيجاد مجموع هذين العددين لحساب ٤٩ مضروبًا في سبعة، وهو ما يساوي ٣٤٣. إذن الحد السابع من المتتابعة يساوي ٣٤٣ ناقص ١٤. وهذا يساوي ٣٢٩. ويمكننا استخدام هذه الطريقة لحساب أي حد في متتابعة، وذلك إذا كان لدينا مقدار يعبر عن الحد العام بدلالة ﻥ. فعلى سبيل المثال، لحساب الحد العشرين، نعوض بـ ﻥ يساوي ٢٠ في المقدار.

وقبل النظر في المثال التالي، سنتناول المقصود بوجود صيغة تكرارية للحد العام. يمكن تعريف المتتابعة باستخدام حد عام لها يعطى في صورة مقدار جبري بدلالة حدود أخرى من المتتابعة. وفي حالة وجود هذه العلاقة بين الحدود في المتتابعة كلها، فإنها تسمى علاقة تكرار. وتسمح لنا هذه العلاقة، في أبسط صورها، بحساب الحد التالي في متتابعة بمعلومية الحد السابق. لنتأمل الحد العام ذا الصيغة التكرارية ﺡﻥ يساوي اثنين مضروبًا في ﺡﻥ ناقص واحد زائد خمسة، حيث ﻥ أكبر من أو يساوي اثنين، وﺡ واحد يساوي أربعة.

نلاحظ أن المقدار هنا يحتوي على الحد ﺡﻥ ناقص واحد. وهو الحد الذي يسبق الحد ﺡﻥ مباشرة. ولحساب أي حد في هذه المتتابعة، نضرب الحد السابق له في اثنين ثم نضيف خمسة. مرة أخرى، يمكننا توضيح ذلك في جدول. نعلم أن ﺡ واحد يساوي أربعة. ومن ثم، عندما يكون ﻥ يساوي واحدًا، فإن ﺡﻥ يساوي أربعة. ولحساب الحد الثاني في المتتابعة، نضرب الحد الأول أربعة في اثنين ثم نضيف خمسة. وهذا يعطينا ١٣.

وعليه يمكننا تكرار هذه العملية لحساب الحد الثالث. فنضرب الحد الثاني في اثنين ونضيف خمسة. اثنان في ١٣ زائد خمسة يساوي ٣١. وأخيرًا، لحساب الحد الرابع، نضرب الحد الثالث في اثنين ونضيف خمسة مرة أخرى. وهذا يعطينا ٦٧. وسوف تستمر هذه المتتابعة إلى ما لا نهاية. إذن، الحدود الأربعة الأولى للمتتابعة التي حدها العام ﺡﻥ يساوي اثنين مضروبًا في ﺡﻥ ناقص واحد زائد خمسة هي أربعة، و١٣، و٣١، و٦٧. والآن نلخص كيف يمكننا استخدام علاقة التكرار أو الصيغة التكرارية.

إذا كان الحد العام للمتتابعة يحتوي على مقدار بدلالة ﺡﻥ ناقص واحد، فإننا نعوض بالحد السابق عن ﺡﻥ ناقص واحد لإيجاد أي حد. أما إذا كان الحد العام يحتوي على مقدار يعبر عن ﺡﻥ زائد واحد بدلالة ﺡﻥ، فإننا نعوض بالحد السابق عن ﺡﻥ لإيجاد قيمة ﺡﻥ زائد واحد. أحد أمثلة المتتابعة التي يمكن تعريفها باستخدام الصيغة التكرارية هو متتابعة فيبوناتشي. وهي تحتوي على الأعداد واحد، واحد، اثنين، ثلاثة، خمسة، ثمانية، ١٣، وهكذا. ولحساب الحد التالي في متتابعة فيبوناتشي، فإننا نجمع العددين السابقين. على سبيل المثال، واحد زائد واحد يساوي اثنين، وواحد زائد اثنين يساوي ثلاثة، واثنان زائد ثلاثة يساوي خمسة، وهكذا. إنها متتابعة مهمة للغاية ولها تطبيقات كثيرة في الطبيعة، وربما أردت إجراء مزيد من البحث عنها.

الآن سوف نتناول مثالًا محددًا يتضمن صيغة تكرارية.

أوجد الحدود الخمسة الأولى من المتتابعة ﺡﻥ، إذا علم أن ﺡﻥ زائد واحد يساوي سالب واحد أس ﻥ مقسومًا على تسعة مضروبًا في ﺡﻥ؛ حيث ﻥ أكبر من أو يساوي واحدًا وﺡ واحد يساوي سالب ١١.

في هذا السؤال، لدينا الحد الأول في المتتابعة، ﺡ واحد، وهو يساوي سالب ١١. ومطلوب منا إيجاد الحدود الخمسة الأولى. ومن ثم، علينا حساب الحدود الثاني والثالث والرابع والخامس في المتتابعة. ويرمز إليها بـ ﺡ اثنين، وﺡ ثلاثة، وﺡ أربعة، وﺡ خمسة.

والصيغة التي لدينا هي مثال للصيغة التكرارية، حيث ﺡﻥ زائد واحد معطى بدلالة ﺡﻥ. إذن يمكننا حساب أي حد في المتتابعة عن طريق التعويض بالحد السابق. وبالتالي فإن الحد الثاني ﺡ اثنين يساوي سالب واحد أس واحد مقسومًا على تسعة مضروبًا في ﺡ واحد. ونعلم أن ﺡ واحد يساوي سالب ١١. هذا المقدار يساوي سالب واحد على سالب ٩٩، ويبسط، بدوره، إلى واحد على ٩٩. هذا هو الحد الثاني في المتتابعة، ويمكننا استخدام تلك الطريقة لحساب الحد الثالث.

باستخدام الصيغة التكرارية التي لدينا مرة ثانية، نجد أن ﺡ ثلاثة يساوي سالب واحد تربيع على تسعة مضروبًا في ﺡ اثنين. ونعلم أن ﺡ اثنين يساوي واحدًا على ٩٩. في المقام، لدينا تسعة مضروبًا في واحد على ٩٩، وهو نفسه تسعة على ٩٩. بقسمة البسط والمقام على تسعة، يمكن تبسيط ذلك الكسر إلى واحد على ١١. وبما أن سالب واحد تربيع يساوي واحدًا، فإن ﺡ ثلاثة يساوي واحدًا مقسومًا على واحد على ١١. ونحن نعلم أن القسمة على كسر هي نفسها الضرب في مقلوب هذا الكسر. إذن واحد مقسومًا على واحد على ١١ هو نفسه واحد مضروبًا في ١١ على واحد. وهذا يساوي ١١. وعليه، فإن ﺡ ثلاثة، أي الحد الثالث في المتتابعة، هو ١١.

بعد ذلك، علينا حساب الحد الرابع ﺡ أربعة. وهو يساوي سالب واحد تكعيب على تسعة مضروبًا في ﺡ ثلاثة. وقد حسبنا، من فورنا، أن ﺡ ثلاثة يساوي ١١. فالحد الرابع للمتتابعة إذن يساوي سالب واحد على ٩٩، مع تذكر أن تكعيب عدد سالب يعطينا ناتجًا سالبًا. وأخيرًا، لدينا ﺡ خمسة يساوي سالب واحد أس أربعة مقسومًا على تسعة مضروبًا في ﺡ أربعة. يمكننا التعويض عن ﺡ أربعة بسالب واحد على ٩٩. وهذا، بدوره، يبسط إلى واحد على سالب واحد على ١١. وباستخدام طريقة مشابهة للطريقة التي استخدمناها في حساب ﺡ ثلاثة، نجد أن ﺡ خمسة يساوي سالب ١١. إذن، الحدود الخمسة الأولى في المتتابعة هي: سالب ١١، وواحد على ٩٩، و١١، وسالب واحد على ٩٩، وسالب ١١.

نلاحظ أن الحد الأول يساوي الحد الخامس. وهذا يعني أن لدينا متتابعة دورية تتكرر فيها الحدود الأربعة الأولى. ‏ﺡ واحد يساوي ﺡ خمسة، وهو يساوي ﺡ تسعة، وهكذا. وبالمثل، فإن الحدود الثاني والسادس والعاشر متساوية. وينطبق الأمر نفسه على الحدود الثالث والسابع والـ ١١، وكذلك على الحدود الرابع والثامن والـ ١٢.

في المثال الأخير، سنحدد أي المقادير يمثل المتتابعة المعطاة.

أي الاختيارات الآتية يمثل المقدار الذي يعبر عن الحد العام للمتتابعة: ٥٢، ٨٤، ١١٦، ١٤٨ ؟ هل هو (أ) ٥٢ زائد ٣٠ مضروبًا في ﻥ ناقص واحد؟ أم (ب) ٥٢ زائد ٣٢ مضروبًا في ﻥ ناقص واحد. أم (ج) ٥٢ زائد ٣٢ مضروبًا في ﻥ زائد واحد. أم (د) ٨٤ زائد ٣٢ مضروبًا في ﻥ ناقص واحد. أم (هـ) ٨٤ زائد ٣٠ مضروبًا في ﻥ زائد واحد.

نعلم من السؤال أن الحدود الأربعة الأولى في المتتابعة هي ٥٢، و٨٤، و١١٦، و١٤٨. وهي تناظر القيم الصحيحة لـ ﻥ، واحد، واثنين، وثلاثة، وأربعة. ولمعرفة أي من المقادير يمثل هذه المتتابعة، يمكننا التعويض بهذه القيم في كل مقدار تباعًا. هيا نبدأ بـ ﻥ يساوي واحدًا. في الخيار (أ)، لدينا ٥٢ زائد ٣٠ مضروبًا في واحد ناقص واحد. وبما أن واحدًا ناقص واحد يساوي صفرًا، فإن هذا المقدار يساوي ٥٢. وهذا يعني أن المقدار (أ) يحقق الحد الأول في المتتابعة. وهذا ينطبق أيضًا على الخيار (ب). ‏٥٢ زائد ٣٢ مضروبًا في واحد ناقص واحد يساوي ٥٢. أما الخيارات (ج)، و(د)، و(هـ)، فتعطي القيم ١١٦ و٨٤ و١٤٤ عند التعويض بـ ﻥ يساوي واحدًا. وهذا يعني أن هذه المقادير لا يساوي الحد الأول في متتابعاتها ٥٢. من ثم، يمكننا استبعاد هذه الخيارات.

الآن نعوض بـ ﻥ يساوي اثنين في المقدارين (أ) و(ب). في الخيار (أ)، لدينا ٥٢ زائد ٣٠ مضروبًا في اثنين ناقص واحد، وهو ما يساوي ٨٢. أما في الخيار (ب)، فنحصل على الإجابة ٨٤. وبما أن الحد الثاني في المتتابعة التي لدينا هو ٨٤، فيمكننا استبعاد الخيار (أ). ومع أن الخيار (ب) هو الإجابة الصحيحة كما يبدو، فإنه يجدر بنا التحقق من أن هذا هو المقدار الصحيح لـ ﻥ يساوي ثلاثة وﻥ يساوي أربعة. عند ﻥ يساوي ثلاثة، فإن المقدار ٥٢ زائد ٣٢ في ﻥ ناقص واحد يساوي ١١٦. وعند ﻥ يساوي أربعة، فإن المقدار يعطينا ١٤٨. وهذه النواتج تتفق مع الحدود الأربعة للمتتابعة التي لدينا، ومن ثم فإن الإجابة الصحيحة هي الخيار (ب).

سنلخص الآن بعض النقاط الرئيسية التي تناولناها في هذا الفيديو. الحد العام للمتتابعة هو مقدار يربط بين الحد والرقم الذي يمثل موقعه، أو بين الحد وبين الحد الذي يسبقه في المتتابعة. فإذا كان الحد العام يحتوي على مقدار بدلالة ﻥ، فإننا نعوض عن ﻥ برقم الحد. لكن إذا كان الحد العام يحتوي على مقدار بدلالة ﺡﻥ ناقص واحد، فإننا نعوض عن ﺡﻥ ناقص واحد بالحد السابق.