نسخة الفيديو النصية
المنحنى الموضح هو ﺹ يساوي واحدًا مقسومًا على ﺱ. ما هي مساحة المنطقة المظللة؟ أعط إجابة دقيقة.
لدينا في هذا السؤال التمثيل البياني للمنحنى ﺹ يساوي واحدًا على ﺱ. وتوجد منطقة مظللة في هذا التمثيل البياني. وعلينا تحديد مساحة المنطقة المظللة وكتابة إجابة دقيقة. في البداية، دعونا نحدد هذه المنطقة المطلوبة. يمكننا أن نلاحظ أنها محددة بالمستقيم ﺱ يساوي واحدًا، والمستقيم ﺱ يساوي ثلثًا. ويمكننا أن نلاحظ أيضًا أن هذه المنطقة محددة من الأسفل بالمحور ﺱ. بعبارة أخرى، تقع هذه المنطقة بأكملها أعلى المحور ﺱ. وأخيرًا، هذه المنطقة يحدها من أعلى المنحنى ﺹ يساوي واحدًا على ﺱ.
لإيجاد مساحة المنطقة أسفل هذا المنحنى، علينا تذكر ما نعنيه بالتكامل المحدد. نحن نعلم أنه إذا كانت الدالة دﺱ دالة متصلة لقيم ﺱ بين ﺃ وﺏ، فإن المساحة المحددة بالمنحنى ﺹ يساوي دﺱ والمستقيمين ﺱ يساوي ﺃ وﺱ يساوي ﺏ تعطى من خلال التكامل المحدد من ﺃ إلى ﺏ لـ دﺱ بالنسبة إلى ﺱ، إذا كانت د ﺱ أكبر من أو تساوي صفرًا لقيم ﺱ الأكبر من أو تساوي ﺃ والأقل من أو تساوي ﺏ. بعبارة أخرى، يمكننا إيجاد مساحات المناطق التي يحدها منحنى من الأعلى باستخدام التكامل.
وفي الواقع، يمكننا ملاحظة أن هذه الحالة تنطبق هنا. أولًا، الدالة دﺱ تساوي واحدًا على ﺱ. ويمكننا أن نرى أن المنطقة المظللة محددة بالمستقيمين ﺱ يساوي واحدًا وﺱ يساوي ثلثًا. إذن سنجعل ﺏ يساوي واحدًا وﺃ يساوي ثلثًا. وبالطبع، نحن نعلم بالفعل أن هذه المنطقة محددة بالمحور ﺱ. وأخيرًا، لاستخدام التكامل، يجب أن تكون الدالة متصلة على هذه الفترة. ولحسن الحظ، واحد على ﺱ يمثل دالة كسرية؛ لذا فهي متصلة عند كل النقاط باستثناء النقطة التي يكون عندها المقام يساوي صفرًا. وعليه، فإن نقطة عدم اتصالها الوحيدة هي عند ﺱ يساوي صفرًا. ويعني هذا تحديدًا أنها متصلة على هذه الفترة.
ومن ثم، يمكننا إيجاد مساحة المنطقة المعطاة لنا في الشكل من خلال حساب التكامل المحدد من ثلث إلى واحد لواحد على ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. لإيجاد قيمة هذا التكامل، علينا تذكر أن تكامل دالة المقلوب بالنسبة إلى ﺱ يساوي اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لـ ﺱ زائد ثابت التكامل ﺙ. وبالطبع، نحن في هذه الحالة نحسب تكاملًا محددًا. ومن ثم، لا نحتاج بالفعل إلى ثابت التكامل هنا. لذا سنحذفه من خطوات الحل. وبناء عليه، لدينا الآن اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لـ ﺱ عند حدي التكامل ﺱ يساوي ثلثًا وﺱ يساوي واحدًا.
والآن، كل ما علينا فعله هو إيجاد قيمة ذلك عند حدي التكامل. وبذلك، نحصل على اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لواحد ناقص اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لثلث. يمكننا تبسيط ذلك بالطبع. في البداية، القيمة المطلقة لواحد تساوي واحدًا. لكن اللوغاريتم الطبيعي لواحد يساوي صفرًا. وبالطبع القيمة المطلقة لثلث تساوي ثلثًا. إذن، هذا يساوي سالب اللوغاريتم الطبيعي لثلث. ومن الممكن أن نترك الناتج بهذا الشكل. لكن هناك خطوة أخيرة يمكننا القيام بها للتبسيط.
علينا تذكر قاعدة القوة للوغاريتمات. هذه القاعدة تنص على أنه لأي لوغاريتم طبيعي، فإن ﺃ في اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺏ يساوي اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺏ أس ﺃ. إذن عندما نفعل ذلك، بدلًا من ضرب اللوغاريتم الطبيعي بالكامل في سالب واحد، يمكننا رفع ثلث للقوة سالب واحد. وباستخدام قاعدة القوة للوغاريتمات، يصبح لدينا الآن اللوغاريتم الطبيعي لثلث أس سالب واحد. بعبارة أخرى، علينا إيجاد مقلوب ثلث. ومقلوب ثلث يساوي ثلاثة. إذن، يمكننا تبسيط ذلك ليصبح لدينا اللوغاريتم الطبيعي لثلاثة.
إذن، باستخدام التكامل، نكون قد تمكنا من حساب مساحة المنطقة المعطاة لنا في السؤال. وهي المنطقة التي يحدها المنحنى ﺹ يساوي واحدًا على ﺱ، والمحور ﺱ، والمستقيمان ﺱ يساوي واحدًا وﺱ يساوي ثلثًا. ومن ذلك، وجدنا أن هذه المساحة تساوي اللوغاريتم الطبيعي لثلاثة.
