نسخة الفيديو النصية
في هذا الدرس، سوف نتعلم كيف نوجد مركبات المتجهات. سنبدأ بكيفية إيجاد مركبتي المتجه الممثل بيانيًا وتمثيل هاتين المركبتين بصيغة متجهات الوحدة. سنتحدث أيضًا عن كيفية إيجاد مركبتي المتجه باستخدام حساب المثلثات.
قبل أن نبدأ بتعلم كيفية إيجاد المركبات، لننعش ذاكرتنا بشأن ما يعنيه المتجه وكيفية تمثيله في الصورة البيانية، بالإضافة إلى كيفية استخدام صيغة متجهات الوحدة. علينا أن نتذكر أن المتجه هو كمية لها مقدار واتجاه. كما نحتاج إلى تذكر أن متجه الوحدة هو متجه طوله يساوي وحدة واحدة. لنرسم مثالًا يتضمن متجهين، ﺃ وﺏ. ونجعل للمتجه ﺃ مقدارًا يساوي ثلاث وحدات، ويشير هذا المتجه على طول المحور الأفقي إلى يمين الشاشة.
لاحظ أنه عندما نسمي المتجه ﺃ، نضع نصف سهم فوق الحرف. هذا اصطلاح شائع لإظهار أنه متجه. وفي الكتب، من الشائع أن يكتب المتغير بخط عريض. سنرى هذا الشكل عندما نتناول أمثلة على المسائل في نهاية الدرس. إذا كنا بصدد التعبير عن المتجه ﺃ بصيغة متجهات الوحدة، فسيكون ﺃ يساوي ثلاثة ﺱ. وﺱ هو متجه الوحدة في الاتجاه الأفقي. والقبعة المرسومة فوق حرف ﺱ تشير إلى أنه متجه وحدة. وفي الكتب، يمكن كتابة ﺱ بخط عريض لإظهار أنه متجه وحدة.
يمكننا أن نرسم بعد ذلك المتجه ﺏ بحيث يكون له مقدار الثلاث وحدات نفسه، لكنه يشير رأسيًا إلى أعلى الشاشة. مرة أخرى، عندما نسمي متجهًا، نضع نصف سهم فوق الحرف. ويكون التعبير عن المتجه ﺏ بصيغة متجهات الوحدة هو ﺏ يساوي ثلاثة ص. ووضع قبعة صغيرة فوق حرف ص يدل على أنه متجه الوحدة في الاتجاه الرأسي. والآن، بعد أن تناولنا ملخصًا سريعًا عن المتجهات وكيفية تمثيلها بيانيًا وكيفية كتابة التعبير عنها بصيغة متجهات الوحدة، دعونا ننتقل إلى كيفية تحليل المتجه إلى مركبتيه.
يمكن أن يحلل المتجه إلى جزئين يسميان مركبتين. يمثل مقدار المركبة ﺱ بالرمز ﺃﺱ، ويمثل مقدار المركبة ص بالرمز ﺃص. تدل المركبة ﺱ على مقدار المتجه الذي يشير في الاتجاه الأفقي، وتدل المركبة ص على مقدار المتجه الذي يشير في الاتجاه الرأسي. رسمنا المتجه ﺃ في نظام الإحداثيات كما يظهر في الشبكة البيانية. بالنظر إلى الشبكة، دعونا نحدد ما تمثله المركبة ﺱ والمركبة ص للمتجه.
من الشبكة، يمكننا ملاحظة أن المركبة ﺱ للمتجه ﺃ تساوي وحدة، وحدتين، ثلاثًا، أربعًا، خمس وحدات. إذن، فإن مقدار ﺃﺱ يساوي خمسة. والمركبة ص للمتجه ﺃ تساوي وحدة، وحدتين. إذن، يمكننا قول إن مقدار ﺃص يساوي اثنين. وبصيغة متجهات الوحدة، يكون مقدار المركبة ﺱ هو ما يضرب في الرمز ﺱ قبعة، ومقدار المركبة ص هو ما يضرب في الرمز ص قبعة. إذا كتبنا المتجه ﺃ بصيغة متجهات الوحدة، فسنقول إنه يساوي خمسة ﺱ زائد اثنين ص؛ حيث خمسة ﺱ هو المركبة ﺱ للمتجه ﺃ، واثنان ص هو المركبة ص للمتجه ﺃ.
دعونا نلق نظرة على متجه آخر، وهو المتجه ﺏ. سنحلل المتجه ﺏ إلى مركبتيه ﺱ وص ثم نعبر عنه بصيغة متجهات الوحدة. للمتجه ﺏ مقدار يبلغ وحدتين إلى يسار الشاشة. وبالتالي، فإن مقدار المركبة ﺱ للمتجه ﺏ، أي ﺏﺱ، يساوي سالب اثنين. للمتجه ﺏ أيضًا مقدار يبلغ ثلاث وحدات على طول المحور الرأسي إلى أسفل الشاشة. إذن، فإن مقدار المركبة ص للمتجه ﺏ، أي ﺏص، يساوي سالب ثلاثة. إذا كتبنا المتجه ﺏ بصيغة متجهات الوحدة، فسنكتب المتجه ﺏ يساوي سالب اثنين ﺱ ناقص ثلاثة ص، حيث سالب اثنين ﺱ هو المركبة ﺱ للمتجه ﺏ، وسالب ثلاثة ص هو المركبة ص للمتجه ﺏ.
توجد طريقة أخرى لتحليل المتجه إلى مركبتيه، وهي استخدام حساب المثلثات. قبل أن نطبق حساب المثلثات على المتجهات، لننعش ذاكرتنا حول كيفية استخدام جيب الزاوية، وجيب التمام، وظل الزاوية للمثلث القائم الزاوية. عندما تكون لدينا زاوية قائمة، يمكننا استخدام حساب المثلثات لإيجاد ضلع مجهول بمعلومية قياس زاوية واحدة وطول أحد الأضلاع. إذا أسمينا هذه الزاوية 𝜃، فالضلع الملامس للزاوية أو المجاور لها يسمى الضلع المجاور. أما الضلع المقابل للزاوية، فيسمى الضلع المقابل، والضلع المقابل للزاوية التي قياسها ٩٠ درجة يسمى الوتر.
يعد كل من جا 𝜃 وجتا 𝜃 وظا 𝜃 النسب بين أضلاع المثلثات المشابهة لذلك الموجود أمامنا. جا 𝜃 يساوي النسبة بين الضلع المقابل للزاوية ووتر المثلث. وجتا 𝜃 يساوي النسبة بين الضلع المجاور للزاوية ووتر المثلث. وظا 𝜃 يساوي النسبة بين الضلع المقابل للزاوية والضلع المجاور لها في المثلث. تربط هذه النسب بين زاوية محددة في المثلث وأضلاع المثلث المختلفة. تربط نسبة الجيب بين الزاوية والضلع المقابل لها والوتر، وتربط نسبة جيب التمام بين الزاوية والضلع المجاور لها والوتر، وتربط نسبة الظل بين الزاوية والضلع المقابل لها والمجاور لها.
لنطبق الآن بعضًا من قوانين حساب المثلثات على المتجهات. إذا أردنا تحليل المتجه، الذي يبلغ طوله ثماني وحدات ويميل بزاوية ٣٥ درجة فوق المحور الأفقي، إلى مركبتيه، فمن أين سنبدأ؟ يمكننا أن نبدأ برسم المركبتين بحيث تكون المركبة ﺱ على طول المحور الأفقي والمركبة ص على طول المحور الرأسي، وتكونان زاوية قائمة. أسمينا المركبة ﺱ باسم ﻡﺱ، والمركبة ص باسم ﻡص.
لإيجاد المركبة ﺱ للمتجه ﻡ، نحتاج إلى تحديد مكان ﻡﺱ في المثلث. يمكننا أن نرى أن ﻡﺱ يقع بجوار الزاوية التي قياسها ٣٥ درجة، أي إنه الضلع المجاور. وقد أعطينا وتر المثلث الذي يساوي ثمانية، وزاوية محددة تساوي ٣٥ درجة، وأصبحنا نعرف الآن أن علينا إيجاد المركبة ﺱ أو الضلع المجاور للزاوية المحددة في المثلث. أي من الدوال المثلثية الثلاث علينا استخدامها: جيب الزاوية أو جيب التمام أو ظل الزاوية؟ يجب أن نستخدم هنا دالة جيب التمام لأن جتا 𝜃 يساوي الضلع المجاور مقسومًا على الوتر.
علينا هنا عزل الضلع المجاور للزاوية في طرف وحده لأنه ما نحاول إيجاده. نضرب طرفي المعادلة في وتر المثلث. فيحذف وتر المثلث من الطرف الأيسر من المعادلة. ويصبح لدينا في الطرف الأيمن وتر المثلث مضروبًا في جتا 𝜃. عندما نعوض بقيم المتغيرات في المعادلة، نعوض عن وتر المثلث بثمانية، وجتا ٣٥ درجة عن الزاوية 𝜃، وﻡﺱ عن الضلع المجاور حيث إننا نريد إيجاد المركبة ﺱ للمتجه. وعند ضرب ثمانية في جتا ٣٥ درجة، نجد أن المركبة ﺱ تساوي ٦٫٥٥.
علينا أن نتأكد من أن وحدة الزاوية على الآلة الحاسبة هي الدرجة وليست الراديان، حيث إن جتا ٣٥ راديان لا يساوي جتا ٣٥ درجة. نقرب الإجابة لأقرب رقمين معنويين لأن الزاوية أعطيت لنا مقربة لأقرب رقمين معنويين. فنتوصل إلى أن المركبة ﺱ للمتجه تساوي ٦٫٦.
بالانتقال إلى المركبة ص للمتجه التي تقع على الجانب المقابل للزاوية، ما الدالة المثلثية التي سنستخدمها إذا أعطينا قيمة وتر المثلث والزاوية أيضًا؟ علينا هنا استخدام دالة جيب الزاوية لأن جا 𝜃 يساوي الضلع المقابل للزاوية مقسومًا على الوتر. ولكي نعزل الضلع المقابل، نضرب مرة أخرى كلا الطرفين في وتر المثلث. فيحذف وتر المثلث من الطرف الأيسر، ويتبقى في الطرف الأيمن وتر المثلث مضروبًا في جا 𝜃. وبالتعويض بالقيم في المعادلة، سيساوي وتر المثلث ثمانية، و جا 𝜃 سيساوي جا ٣٥ درجة، وستمثل المركبة ص، أي ﻡص، الضلع المقابل للزاوية.
وبضرب ثمانية في جا ٣٥ درجة، يكون مقدار المركبة ص الذي نحصل عليه هو ٤٫٥٩. مرة أخرى، علينا أن نقرب المركبة لأقرب رقمين معنويين لمطابقة المسألة. ٤٫٥٩ تصبح ٤٫٦. إذن، المركبة ص للمتجه تساوي ٤٫٦. يمكن أن تزيد صعوبة المسائل حسب المحور الذي ترسم الزاوية بجواره، لذا علينا الانتباه جيدًا لهذا الأمر. إذا كانت الزاوية قياسها ٣٥ درجة مع الاتجاه الرأسي بدلًا من الاتجاه الأفقي، فماذا سيحدث للمركبتين؟
في هذه الحالة، ستكون المركبة ﺱ للمتجه هي الضلع المقابل للزاوية. فنكتب ﻡﺱ تساوي جا 𝜃 مضروبًا في وتر المثلث، مثلما فعلنا مع المركبة ص في الأعلى. ومرة أخرى، نضرب جا ٣٥ في ثمانية. وستساوي المركبة ﺱ مقربة لأقرب رقمين معنويين ٤٫٦، مثلما فعلنا مع المركبة ص في الأعلى. المركبة ص للمتجه هي الضلع المجاور للزاوية. لذا، نستخدم جيب تمام الزاوية ونضربه في وتر المثلث لإيجاد المركبة ص، مثلما فعلنا مع المركبة ﺱ في الأعلى. نضرب جتا ٣٥ درجة في ثمانية، فنحصل على المركبة ص للمتجه التي ستساوي ٦٫٦ عند تقريبها إلى أقرب رقمين معنويين، مثلما حدث مع المركبة ﺱ في الأعلى.
لنتدرب الآن على مثالين لإيجاد مركبات المتجهات، أحدهما نوجد فيه المركبتين بيانيًا بصيغة متجهات الوحدة والآخر باستخدام حساب المثلثات.
اكتب ﺃ في الصورة المركبة.
يوضح الشكل المتجه ﺃ مرسومًا على شبكة بيانية. ويطلب منا السؤال كتابة المتجه ﺃ في صورته المركبة. يكتب المتجه في الصورة المركبة كالتالي: ﺃﺱ ﺱ زائد ﺃص ص، حيث يكون ﺃﺱ مقدار المركبة ﺱ للمتجه، وﺃص مقدار المركبة ص له. ويمثل كل من ﺱ وص متجهي الوحدة، حيث يكون ﺱ في اتجاه المحور الأفقي، وص في اتجاه المحور الرأسي. ونظرًا لأننا سنكتب الحل بخط اليد، نضع نصف سهم فوق الحرف ﺃ لنوضح أنه متجه. أما في الكتب، فقد نراه مكتوبًا بخط عريض. وفوق ﺱ وص، نرى رمزي القبعة للإشارة إلى أن هذين متجها وحدة. وفي الكتب، يمكن أن نرى هذين المتجهين أيضًا بخط عريض.
لإيجاد الصورة المركبة للمتجه ﺃ، نحتاج إلى تحديد مقدار مركبة المتجه ﺃ في الاتجاه الأفقي ومقدار مركبته في الاتجاه الرأسي. بالنظر إلى الشبكة البيانية، يمكننا أن نرى أن المتجه ﺃ يتجه بمقدار وحدة واحدة، وحدتين، ثلاث وحدات في اتجاه يسار الشاشة. وهذا يعتبر سالب ثلاثة. يمكننا إذن القول إن للمركبة ﺱ مقدارًا يساوي سالب ثلاثة. بالنظر إلى الشبكة مرة أخرى، يمكننا أن نرى أن للمركبة ص أو الاتجاه الرأسي مقدارًا يبلغ وحدة واحدة، وحدتين ويشير إلى أعلى الشاشة، ما يعني أنه يساوي موجب اثنين. يمكننا إذن القول إن للمركبة ص مقدارًا يساوي اثنين. وطبقًا للشكل، المتجه ﺃ في الصورة المركبة يساوي سالب ثلاثة ﺱ زائد اثنين ص.
في المثال التالي، سنستخدم حساب المثلثات لإيجاد مركبتي المتجه.
يوضح الشكل المتجه ﺃ الذي مقداره ٢٢. قياس الزاوية المحصورة بين المتجه والمحور ﺱ يساوي ٣٦ درجة. أوجد المركبة الأفقية للمتجه. قرب إجابتك لأقرب رقمين معنويين.
في هذه المسألة، مطلوب منا إيجاد المركبة ﺱ للمتجه، أو ﺃﺱ. طبقًا للمركبتين المرسومتين في الشكل، يمكننا أن نرى أن المثلث قائم الزاوية. ولذا، يمكننا استخدام حساب المثلثات لإيجاد الضلع غير المعلوم. نتذكر هنا أنه يمكننا استخدام النسب المثلثية، التي سنعيد التذكير بها مرة أخرى. جيب الزاوية يساوي الضلع المقابل مقسومًا على الوتر. وجيب تمام الزاوية يساوي الضلع المجاور مقسومًا على الوتر. وظل الزاوية يساوي الضلع المقابل على الضلع المجاور.
بالنظر مجددًا إلى الشكل، نرى أننا نحاول إيجاد المركبة ﺱ للمتجه، وأننا قد أعطينا الزاوية 𝜃 وطول وتر المثلث. أي من الدوال المثلثية سنختار في هذه الحالة: جيب الزاوية، أو جيب التمام، أو ظل الزاوية؟ أفضل دالة مثلثية يمكننا اختيارها هنا هي جيب التمام، وذلك لأن مركبة المتجه هي الضلع المجاور للزاوية. والآن، نحتاج إلى عزل الضلع المجاور للزاوية في المثلث، لأنه ما نحاول إيجاده. لفعل ذلك، نضرب الطرفين في وتر المثلث. فيحذف وتر المثلث من الطرف الأيسر، ويتبقى في الطرف الأيمن وتر المثلث مضروبًا في جتا 𝜃.
يمكننا الآن التعويض عن المتغيرات في المعادلة بالقيم المذكورة في المسألة. لوتر المثلث مقدار يساوي ٢٢، والزاوية 𝜃 تساوي ٣٦ درجة، وﺃﺱ يمثل المركبة الأفقية للمتجه. عند ضرب ٢٢ في جتا ٣٦ درجة، نحصل على ١٧٫٨. وفي المسألة، طلب منا تقريب إجابتنا لأقرب رقمين معنويين. إذا ألقينا نظرة على إجابتنا الآن، فسنجد أنها مقربة لأقرب ثلاثة أرقام معنوية. لذا، يمكننا أن نقرب ١٧٫٨ لأعلى ليصبح ١٨. إذن، المركبة الأفقية للمتجه، الذي له مقدار يساوي ٢٢ ويصنع مع المحور ﺱ زاوية قياسها ٣٦ درجة، تساوي ١٨.
النقاط الأساسية في الدرس
لإيجاد المركبتين ﺱ وص لمتجه ممثل بيانيًا على شبكة، نعد الوحدات التي يمتد فيها المتجه على طول المحورين ﺱ وص. وبصيغة متجهات الوحدة، يمكن تمثيل المتجه على صورة ﺃ يساوي ﺃﺱ ﺱ زائد ﺃص ص. ويمكن استخدام حساب المثلثات لتحديد مركبة غير معروفة للمتجه.
