نسخة الفيديو النصية
يمر ضوء طوله الموجي 597 نانومترًا عبر لوح فيه شقان ضيقان متوازيان، المسافة بينهما 7.64 ميكرومترات. يسقط الضوء المار من الشقين على شاشة توازي اللوح؛ حيث يلاحظ نمط من الهدب المضيئة والمظلمة. يمر الخط 𝐿 عموديًّا على سطح اللوح واتجاه الشقين قاطعًا الهدبة المضيئة المركزية للنمط على الشاشة. يتقاطع الخطان I، II مع الخط 𝐿 عند موضع اللوح. يقطع الخط I مركز الهدبة المظلمة الأقرب إلى الهدبة المضيئة المركزية، ويقطع الخط II مركز الهدبة المضيئة الأقرب إلى الهدبة المضيئة المركزية. يقع الخطان I، II على الجانب نفسه من الخط 𝐿. ما قياس الزاوية بين الخط I والخط II؟ قرب إجابتك لأقرب منزلة عشرية.
لقد رسمنا هذا الشكل استنادًا إلى المعلومات التي علمناها من السؤال. والآن دعونا نفرغ بعض المساحة بمسح جزء من السؤال. حسنًا لإيجاد الزاوية المحصورة بين الخط I والخط II، سنلقي نظرة على الخطوط I، II، L. يمر الخط L مباشرة عبر مركز الشقين وصولًا إلى المنطقة المضيئة المركزية على الشاشة. هذا يعني أنه عندما يمر الضوء عبر الشقين، فإنه يتداخل تداخلًا بناء عند هذه النقطة. يحدث التداخل البناء عندما يساوي فرق المسار بين موجتين 𝑛𝜆، حيث 𝑛 عدد صحيح، و𝜆 الطول الموجي للموجات.
في حالة هذه الهدبة المضيئة المركزية، لا يوجد فرق مسار بين الموجتين. تقطع الموجتان نفس المسافة، ما يعني أن فرق المسار بين الموجتين اللتين تشكلان الهدبة المضيئة المركزية يساوي صفرًا، وهو لا يزال يحقق معادلة التداخل البناء، وذلك لأن الصفر عدد صحيح. إذن قيمة 𝑛 للهدبة المضيئة المركزية تساوي صفرًا. والسبب وراء اهتمامنا بفرق المسار هو أنه يمكننا استخدام معادلة تربط المسافة بين الشقين بفرق المسار هذا. هذه المعادلة 𝑑 sin 𝜃 تساوي فرق المسار، تحتوي على زاوية وهي بالضبط ما علينا معرفته لإيجاد قياس الزاوية المحصورة بين الخط I والخط II. سنرى معًا الزاوية التي يرمز لها بـ 𝜃 لاحقًا.
أما الآن، فدعونا نركز على إيجاد فرق المسار بين الخط I والخط II. سننقل المعادلة مؤقتًا لأعلى هنا؛ لكيلا ننساها. ودعونا نلق نظرة على الخط الذي ينتهي عند المنطقة المضيئة الأخرى، وهو الخط II. ينتهي الخط II عند المنطقة المضيئة الأقرب إلى المنطقة المضيئة المركزية، أو تلك التي عندها الخط L. تحدث الهدب المضيئة عندما يكون هناك تداخل بناء، ولا يحدث التداخل البناء إلا عندما يساوي فرق المسار 𝑛𝜆، حيث 𝑛 عدد صحيح. إذن بما أن 𝑛 يساوي صفرًا في الهدبة المضيئة المركزية، يجب أن يكون للهدبة المضيئة التالية العليا 𝑛 أكبر بواحد بالضبط، إذن 𝑛 هنا يساوي واحدًا. هذا يعني أن فرق المسار للهدبة المضيئة عند نهاية الخط II، وهو تداخل بناء، يساوي واحد 𝜆 أو 𝜆 فقط.
والآن دعونا نلق نظرة على الخط I الذي ينتهي عند الهدبة المظلمة الأولى. الهدب المظلمة هي المسافات المظلمة الواقعة بين الهدب المضيئة، وتحدث عندما يكون هناك تداخل هدام. يحدث التداخل الهدام عندما يكون فرق المسار بين موجتين هو حاصل ضرب 𝑛 زائد نصف و𝜆، حيث 𝑛 عدد صحيح و𝜆 الطول الموجي للموجتين، إلا أن 𝑛 هنا يشير إلى الهدب المظلمة بدلًا من الهدب المضيئة. فعندما يساوي 𝑛 صفرًا، تصبح لدينا الهدبة المظلمة الأولى على الشاشة، تمامًا كما هو الحال في التداخل البناء، يشير 𝑛 يساوي صفرًا إلى الهدبة المضيئة الأولى على الشاشة. وبما أن الخط I هو الهدبة المظلمة الأولى من الهدبة المضيئة المركزية، فإن 𝑛 له يساوي صفرًا. هذا يعني أن فرق المسار هو صفر زائد نصف في 𝜆، وهو ما يساوي نصف 𝜆 أو 𝜆 على اثنين.
بعد أن حصلنا على فرقي المسار للخط I والخط II، دعونا نكتشف من أين تأتي 𝜃 بالضبط من خلال إلقاء نظرة فاحصة على هذين الشقين. عندما نكبر الصورة بما يكفي لرؤية 𝑑، وهي كما نتذكر بمقياس الميكرومتر، فإن الزاوية التي تصنعها موجتا الضوء أثناء مرورهما عبر الشقين متشابهة للغاية، ويمكننا رؤيتها من خلال رسم خطين عموديين على الشقين. تعد الاختلافات في الزاويتين بين هاتين الموجتين طفيفة جدًّا لدرجة أنه يمكننا عدهما متماثلتين في القياس، على الرغم من معرفة أنهما يتقاربان في النهاية على الشاشة المقابلة.
ومن ثم فإن هذين الخطين يحصران زاويتين متماثلتين. ولكن من أين تأتي 𝜃؟ يتضح لنا أن 𝜃 تأتي من زاوية بالقرب من 𝑑. إذا رسمنا خطًّا مستقيمًا من الشق الأعلى إلى موجة الضوء الأولى بحيث يصنع زاوية 90 درجة مع موجة الضوء، فستكون هذه الزاوية هنا هي 𝜃. تعبر قاعدة المثلث التي تتمثل هنا عن الفرق في المسافة التي تقطعها موجتا الضوء هاتان، أي إن طول قاعدة هذا المثلث هو فرق المسار بين هاتين الموجتين. ومن ثم يبدو أن لدينا كل ما نحتاج إليه لإيجاد 𝜃. لدينا 𝑑 وفرق المسار.
ولكن هذه الزاوية 𝜃 تبدو غير مألوفة إلى حد ما، وذلك لأنها ليست في الاتجاه الذي نتوقعه لقياس الزاويتين المحصورتين بين الخط I والخط II. علينا إيجاد قياس إحدى هاتين الزاويتين، وهما في الأساس كما نتذكر متماثلتان في القياس، ما يعني أنه إذا كان هناك خط قادم من المركز بالضبط، مثل الخط L، يمكننا التعامل مع موجتي الضوء هاتين على أنهما موجة ضوء واحدة فقط قادمة من المركز. ويمكننا قياس هذه الزاوية التي ستتماثل في القياس مع الزاويتين اللتين فوقها وتحتها. هذا الخط إذن هو الخط I أو II؛ لأنه ينتقل إلى إحدى الهدبتين مباشرة. ومن ثم ليس علينا سوى إيجاد الزاوية المحصورة بين الخط L والخط I أو II التي تتماثل في القياس مع زاوية المثلث العلوي أو زاوية المثلث السفلي. يمكننا إذن إيجاد هذه الزاوية هنا بوصفها جزءًا من المثلث الأصغر.
دعونا نسم هذه الزاوية 𝜃𝐴. بالنظر إلى هذا المثلث الصغير، نلاحظ أن هناك زاويتين أخريين، الزاوية القائمة وزاوية أخرى صغيرة هنا، والتي يمكننا تسميتها 𝜃𝐵. ويمكننا ملاحظة أن 𝜃𝐵 هي أيضًا زاوية موجودة في هذا المثلث الأكبر. وبملاحظة أن هذا المثلث الأكبر يحتوي على زاوية قائمة هنا، يمكننا ملاحظة أن المثلث الأكبر يتكون من ثلاث زوايا؛ 𝜃 و𝜃𝐵 وهذه الزاوية القائمة. وبالمثل يتكون المثلث الأصغر من الزوايا 𝜃𝐴، و𝜃𝐵، والزاوية القائمة. هذان المثلثان يبدوان هكذا جنبًا إلى جنب، كلاهما يحتويان على زاوية قائمة، والزاوية 𝜃𝐵، ثم الزاوية 𝜃 أو 𝜃𝐴. وبما أنهما مثلثان، فلا بد أن يكون لهما نفس عدد الدرجات بداخلهما، ما يعني أن 𝜃 يجب أن تساوي 𝜃𝐴.
هذا يعني أن الزاوية المحصورة بين الخط L والخط I أو II ستكون الزاوية 𝜃 التي تتغير بناء على إذا ما كنا ننظر إلى أشعة الخط I أو الخط II أو أي خط آخر نريد رسمه. إذن علينا إيجاد قياس 𝜃 في هذه المعادلة من أجل إيجاد الزاوية بين الخط I والخط II. سنبدأ بإيجاد قياس الزاوية المحصورة بين الخط L والخط I، وسنرمز لها برقم 1 أسفل 𝜃. فرق المسار للخط I يساوي 𝜆 على اثنين. علينا بعد ذلك عزل sin 𝜃 واحد في طرف بمفرده، وذلك بقسمة الطرفين على 𝑑، ما يؤدي إلى حذف قيمتي 𝑑 في الجانب الأيسر من المعادلة. وفي الطرف الأيمن يوجد 𝑑 في المقام فقط.
يمكننا بعد ذلك أخذ الدالة العكسية للجيب للطرفين، الأمر الذي يؤدي إلى حذف الجيب الأصلي من الطرف الأيسر، ويتبقى فقط 𝜃 واحد. قيمة 𝜆 هي 597 نانومترًا، أو يمكن كتابتها بشكل مختلف قليلًا، وهو 597 في 10 أس سالب تسعة متر. و𝑑، هي المسافة بين الشقين، تساوي 7.64 ميكرومترات، أي 7.64 في 10 أس سالب ستة متر بالصيغة العلمية. بالتعويض بهاتين القيمتين في المعادلة واستخدام الآلة الحاسبة، نجد أن قيمة 𝜃 واحد، وهي الزاوية بين الخط L والخط I، تساوي 2.239 درجة تقريبًا.
سنوجد الآن قياس 𝜃 اثنين، وهي الزاوية المحصورة بين الخط II والخط L. لذلك سنستخدم فرق المسار 𝜆. تبسط المعادلة بنفس الطريقة. نقسم الطرفين أولًا على 𝑑. ثم بأخذ الدالة العكسية للجيب للطرفين، يتبقى 𝜃 اثنان. الطول الموجي يساوي 597 في 10 أس سالب تسعة متر، والمسافة بين الشقين تساوي 7.64 في 10 أس سالب ستة متر. عندما نكتب هاتين القيمتين على الآلة الحاسبة، نحصل على 4.482 درجات.
آخر ما علينا فعله هو إيجاد الزاوية بين الخط I والخط II. هذا يعني أنه علينا فقط إيجاد الفرق بين هاتين الزاويتين. إذن 𝜃 اثنان ناقص 𝜃 واحد يساوي 4.482 درجات ناقص 2.239 درجة، وهو ما يساوي 2.24 درجة تقريبًا، وعند تقريبها لأقرب منزلة عشرية تساوي 2.2 درجة. إذن الزاوية المحصورة بين الخط I والخط II تساوي 2.2 درجة، لأقرب منزلة عشرية.
