نسخة الفيديو النصية
يوضح الشكل مانومترًا متصلًا من طرفيه المتقابلين بمستودعي غاز. ضغطا مستودعي الغاز هما 𝑃 واحد يساوي 123.3 كيلو باسكال، و𝑃 اثنان يساوي 110.1 كيلو باسكال. يحتوي الأنبوب الذي هو على شكل حرف U على زيت كثافته 1080 كيلوجرامًا لكل متر مكعب. ما المسافة الرأسية ℎ بين قمتي عمودي الزيت؟ قرب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.
في الشكل الذي لدينا، يمكننا أن نرى هذه المسافة ℎ؛ وهي المسافة الرأسية بين قمة عمود الزيت في جانب وقمة هذا العمود في الجانب الآخر. يرجع سبب هذا الفرق في الارتفاع بين العمودين إلى فرق الضغط بين 𝑃 اثنين و𝑃 واحد. عند النظر إلى هذا النظام بالكامل، نعرف أنه في حالة اتزان. هذا يعني، على سبيل المثال، أن الضغط 𝑃 اثنين الناتج عن ضغط مستودع الغاز المؤثر على الزيت لأسفل من أعلى عمود الزيت الموجود على اليسار يتساوى في المقدار مع ضغط عمود الزيت المؤثر على هذا الغاز أيضًا.
على النحو نفسه، عند السطح الفاصل في الطرف الآخر من المانومتر، يؤثر الضغط 𝑃 واحد على الزيت لأسفل، ويؤثر الزيت على الغاز بضغط مساو ومضاد. ونظرًا لوضع المانومتر على هذا النحو، فإن الحدين بين الزيت وغاز المستودعين ثابتان؛ فهما لا يتحركان لأن النظام بالكامل في حالة اتزان.
لكي نبدأ بإيجاد المسافة الرأسية ℎ، دعونا نفرغ بعض المساحة على الشاشة. لكن قبل أن نفعل ذلك، دعونا نسجل المعطيات التي وردت في نص المسألة. نعرف مقداري الضغط 𝑃 واحد و𝑃 اثنين، ونعرف أيضًا كثافة الزيت في المانومتر. عند كتابة المعطيات، سنسمي هذه الكثافة 𝜌. بما أن الضغطين 𝑃 واحد و𝑃 اثنين غير متساويين، فقد يبدو غريبًا عدم تحرك الزيت في المانومتر. فالضغط المؤثر على أحد طرفي الزيت مختلف عن الضغط المؤثر على الطرف الآخر. لكن يمكننا القول إن هذا الفرق في الضغط يعوض عنه ارتفاع الزيت في الطرف الأيسر من المانومتر. وينتج عن وزن هذا الجزء من الزيت ضغط مؤثر لأسفل، والذي ينتقل في جميع أجزاء الزيت لأعلى وصولًا إلى السطح الفاصل الآخر عند ضغط الغاز 𝑃 واحد.
سنسمي هذا الضغط الناتج عن ارتفاع الزيت ℎ بـ 𝑃 الزيت. علينا أن نلاحظ أننا إذا أضفنا ضغط الزيت هذا إلى ضغط مستودع الغاز على اليسار 𝑃 اثنين، فإن مجموعهما سيساوي الضغط 𝑃 واحد. وهذه هي المعادلة التي توضح لنا كيف يمكن أن يكون النظام في حالة اتزان على الرغم من أن 𝑃 واحد و𝑃 اثنين غير متساويين. تتضمن المعطيات قيمتي 𝑃 واحد و𝑃 اثنين، لكن ماذا عن الضغط الناتج عن ارتفاع الزيت ℎ؟ يمكننا أن نتذكر أن الضغط الناتج عن المائع الذي كثافته 𝜌 وارتفاعه ℎ يساوي 𝜌 في 𝑔 في ℎ. علينا أن نلاحظ أننا نعرف من المعطيات كثافة الزيت في المانومتر. إذن، يمكننا كتابة معادلة توازن الضغط على الصورة 𝜌 في 𝑔 في ℎ زائد 𝑃 اثنين يساوي 𝑃 واحد، ثم إعادة ترتيب هذه المعادلة لإيجاد الارتفاع ℎ.
أولًا، دعونا نطرح الضغط 𝑃 اثنين من كلا الطرفين. أصبح لدينا 𝑃 اثنان ناقص 𝑃 اثنين في الطرف الأيسر، ومن ثم تحذف هذه القيمة. بعد ذلك، إذا قسمنا كلا طرفي المعادلة على 𝜌 في 𝑔، فسيحذف 𝜌 و𝑔 من الطرف الأيسر. إذن، يتبقى لدينا هذا التعبير عن الارتفاع ℎ في الشكل. ولاحظ أننا نعرف قيمتي 𝑃 واحد و𝑃 اثنين. ونعرف أيضًا قيمتي 𝜌 و𝑔. فعجلة الجاذبية الأرضية تساوي 9.8 أمتار لكل ثانية مربعة.
عند التعويض بكل هذه القيم في المعادلة لدينا، يكون آخر ما علينا فعله قبل حساب قيمة ℎ هو تحويل وحدة الضغط من الكيلو باسكال إلى الباسكال. والسبب في فعل ذلك يرجع إلى ضرورة أن تكون جميع الوحدات متكافئة. يمكننا أن نتذكر أن الباسكال يساوي نيوتن لكل متر مربع. وهاتان الوحدتان، النيوتن والمتر المربع، من الوحدات الأساسية للنظام الدولي للوحدات. ومن ثم، إذا حولنا وحدتي الضغط من الكيلو باسكال إلى الباسكال، فستتوافق جميع الوحدات في البسط والمقام. الكيلو باسكال الواحد يساوي 1000 باسكال. إذن، في عملية التحويل هذه، سنضرب مقداري الضغطين في 1000. 123.3 في 1000 يساوي 123300، و110.1 في 1000 يساوي 110100.
عند حساب قيمة هذا الكسر، نحصل على الناتج 1.2471 متر وهكذا مع توالي الأرقام. ولكن لاحظ أننا نعرف، من نص المسألة، كثافة الزيت لأقرب ثلاثة أرقام معنوية. هذا يعني أن علينا أن نذكر الإجابة النهائية بنفس عدد الأرقام المعنوية. إذن، سيصبح لدينا واحد، اثنان، ثلاثة أرقام معنوية؛ وسيحدد هذا الرقم إذا ما كنا سنقرب الرقم أربعة لأعلى أو سنتركه كما هو. بما أن سبعة أكبر من أو يساوي خمسة، فإننا سنقرب الإجابة لأعلى، فنحصل على 1.25 متر. هذا هو الفرق في الارتفاع بين عمود الزيت في الطرف الأيسر من المانومتر وعمود الزيت في الطرف الأيمن منه.
