فيديو السؤال: استخدام متطابقات فيثاغورس لإيجاد قيم تعبيرات الدوال المثلثية الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد قيمة جتا 𝛼 جتا 𝛽 زائد جا 𝛼 جا 𝛽، إذا كان جا 𝛼 يساوي أربعة أخماس، حيث ينتمي 𝛼 إلى الفترة المفتوحة من ‏𝜋‏‎ على اثنين إلى ‏𝜋‏‎؛ وخمسة جتا 𝛽 ناقص ثلاثة يساوي صفرًا، حيث ينتمي 𝛽 إلى الفترة المفتوحة من ثلاثة ‏𝜋‏‎ على اثنين إلى اثنين ‏𝜋‏‎.

لدينا قيمة جا 𝛼 ومعادلة تتضمن جتا 𝛽. للإجابة عن هذا السؤال، من الواضح أننا سنحتاج إلى إيجاد قيمتي جتا 𝛼 وجا 𝛽. هيا نبدأ بالمعلومات المعطاة عن جا 𝛼. لنبدأ بـ جا 𝛼. لإيجاد قيمة جتا 𝛼، لن نوجد الحل بحساب الدالة العكسية للجيب لكلا الطرفين. بدلًا من ذلك، سندرك أن جا 𝛼 يساوي أربعة أخماس يمكن تمثيله باستخدام مثلث قائم الزاوية.

نعلم أن نسبة الجيب تخبرنا أن جيب زاوية ما يساوي طول الضلع المقابل مقسومًا على طول الوتر. إذن، إذا رسمنا مثلثًا قائم الزاوية يتضمن زاوية 𝛼، فلا بد أن يكون طول الضلع المقابل أربع وحدات وطول الوتر خمسة. وبعد ذلك، نلاحظ أن لدينا ثلاثية فيثاغورس. نعلم أن الأعداد ثلاثة وأربعة وخمسة تكون ثلاثية فيثاغورس. هذا يعني أن ثلاثة تربيع زائد أربعة تربيع يساوي خمسة تربيع. إذن، طول الضلع المجاور للزاوية 𝛼 يساوي ثلاث وحدات.

بما أن جتا الزاوية يساوي طول الضلع المجاور مقسومًا على طول الوتر، ففي هذا المثلث بالتحديد، يمكننا القول إن جتا 𝛼 يجب أن يساوي ثلاثة أخماس. لكننا لم نستخدم بعد هذه المعلومة. وهي أن 𝛼 ينتمي إلى الفترة المفتوحة من ‏𝜋‏‎ على اثنين إلى ‏𝜋‏‎ راديان. في هذا المثلث، افترضنا أن 𝛼 زاوية حادة. إذن لإيجاد القيمة الدقيقة لـ جتا 𝛼 بناء على حقيقة أن جا 𝛼 يساوي أربعة أخماس، سنستخدم مخطط إشارات الدوال المثلثية.

تذكر أن مخطط إشارات الدوال المثلثية يخبرنا بإشارة نسبة الدالة المثلثية التي تعتمد على الربع الذي تقع فيه الزاوية. تقع الزاوية في الفترة المفتوحة من ‏𝜋‏‎ على اثنين إلى ‏𝜋‏‎ راديان. ومن ثم، فلا بد أن تقع في هذا الربع الثاني. في هذا الربع، تكون قيمة جيب الزاوية موجبة، لكن قيمة جيب التمام ليست كذلك. ومن ثم لا بد أن تكون سالبة. لذا نجد أن جا 𝛼 يساوي أربعة أخماس، لكن جتا 𝛼 للزاوية التي تقع في هذا الربع يجب أن يساوي سالب ثلاثة أخماس.

لنكرر هذه العملية باستخدام المعلومات المعطاة عن جتا 𝛽. سنجري بعد خطوات الترتيب على المعادلة أولًا بإضافة ثلاثة إلى كلا الطرفين ثم قسمتهما على خمسة. هذه المرة سنجد أن جتا 𝛽 يساوي ثلاثة أخماس. الآن، إذا عدنا إلى المثلث السابق، لكن مع وضع الزاوية 𝛽 بدلًا من 𝛼 هذه المرة، فإننا نعلم أن طول الضلع المجاور يساوي ثلاثة وطول الوتر يساوي خمسة. ومن ثم، فإن طول الضلع المقابل في هذا المثلث يساوي أربعة. إذن، جا 𝛽 يساوي أربعة أخماس في هذا المثلث. لكن علينا النظر إلى مخطط إشارات الدوال المثلثية.

هذه المرة، تقع الزاوية في الفترة المفتوحة من ثلاثة ‏𝜋‏‎ على اثنين إلى اثنين ‏𝜋‏‎. فتقع هذه في الربع الرابع. وفي هذا الربع بالنسبة إلى الزوايا التي تقع بين ثلاثة ‏𝜋‏‎ على اثنين واثنين ‏𝜋‏‎، تكون قيمة جيب تمام تلك الزاوية موجبة. هذا يعني أن قيمة جيب الزاوية سالبة. وإذا كان جتا 𝛽 يساوي ثلاثة أخماس، حيث 𝛽 ينتمي إلى الفترة المفتوحة من ثلاثة ‏𝜋‏‎ على اثنين إلى اثنين ‏𝜋‏‎، فإن جا 𝛽 يساوي سالب أربعة أخماس. إذن، جتا 𝛼 في جتا 𝛽 يساوي سالب ثلاثة أخماس في ثلاثة أخماس. وجا 𝛼 في جا 𝛽 يساوي أربعة أخماس في سالب أربعة أخماس.

نضرب الكسرين عن طريق ضرب البسطين ثم ضرب المقامين. فنحصل على سالب تسعة على ٢٥ زائد سالب ١٦ على ٢٥. وبما أن المقامين متساويان بالطبع، يمكننا ببساطة جمع البسطين أو طرحهما. إذن، نحصل على سالب ٢٥ على ٢٥، وهو ما يساوي سالب واحد. إذن، بمعلومية قيمتي جا 𝛼 وجتا 𝛽، نجد أن جتا 𝛼 في جتا 𝛽 زائد جا 𝛼 في 𝛽 جا يساوي سالب واحد.