نسخة الفيديو النصية
أوجد قياس الزاوية ﻫﺩﺟ.
أولًا نحدد الزاوية ﻫﺩﺟ على الشكل. تبدو الطريقة التي سنتبعها لإيجاد قياس الزاوية ﻫﺩﺟ غير واضحة. إحدى الطرق المناسبة في هذه الحالة هي أن نكتب المعلومات التي نعرفها بالفعل على الشكل، ونرى إذا ما كان سيتضح لنا كيفية إيجاد قياس الزاوية ﻫﺩﺟ. بملاحظة أن القطعة المستقيمة ﻫﺟ والقطعة المستقيمة ﺏﺟ متساويتان في الطول، نستنتج أن المثلث ﻫﺏﺟ متساوي الساقين. وبناء عليه، فإن قياس الزاوية ﺟﻫﺏ يساوي قياس الزاوية ﻫﺏﺟ.
بعد ذلك نلاحظ أن الشعاع ﺃﺏ مماس للدائرة عند النقطة ﺏ، والشعاع ﺃﺟ مماس للدائرة عند النقطة ﺟ. نلاحظ أيضًا أن الوتر ﻫﺏ يتقاطع مع المماس عند النقطة ﺏ. وبالمثل، الوتر ﻫﺟ يتقاطع مع المماس الآخر عند النقطة ﺟ. بناء على هذه المعلومات، يمكننا تطبيق نظرية القطاع المتبادل، التي تنص على أنه في أي دائرة، قياس الزاوية المحصورة بين وتر ومماس في أحد طرفي الوتر يساوي قياس الزاوية الموجودة في القطاع المتبادل. يعني هذا أن قياس الزاوية ﺟﺏﺃ يساوي قياس الزاوية ﺟﻫﺏ، وقياس الزاوية ﺏﺟﺃ يساوي قياس الزاوية ﺟﻫﺏ.
ونظرًا لأننا نعلم أن المثلث ﻫﺏﺟ والمثلث ﺃﺏﺟ يشتركان في زاويتين متساويتين في القياس، يمكننا القول إن هذين المثلثين متشابهان، وهو ما يجعل قياس الزاوية الثالثة في المثلث ﻫﺏﺟ يساوي ٥٢ درجة. وبما أننا نتعامل مع مثلثات، فإننا نعلم أن مجموع قياسات جميع الزوايا الداخلية يجب أن يساوي ١٨٠ درجة. بافتراض أن قياس كل من الزاويتين المجهولتين يساوي 𝑎، يمكننا القول إن اثنين 𝑎 زائد ٥٢ يساوي ١٨٠، إذن اثنان 𝑎 يساوي ١٢٨، ومن ثم 𝑎 يساوي ٦٤.
لقد كتبنا كل المعلومات التي حصلنا عليها حتى الآن على الشكل. لكي نواصل الحل، علينا الآن الانتقال من هذه الزوايا الداخلية لنتناول الأقواس. لاحظ أن الزاوية ﻫﺩﺟ تقابل القوس الأكبر ﻫﺟ. وبناء على نظرية الزاوية المحيطية، يمكننا القول إن قياس أي زاوية محيطية مقابلة لقوس يساوي نصف قياس هذا القوس.
وبناء عليه، إذا أوجدنا قياس القوس الأكبر ﻫﺟ، فإن نصف هذا القياس سيساوي قياس الزاوية ﻫﺩﺟ. يتكون القوس الأكبر ﻫﺟ من القوسين الصغيرين ﻫﺏ وﺏﺟ. والقوس الأصغر ﻫﺏ تقابله الزاوية ﻫﺟﺏ. ومن ثم فإن قياس القوس الأصغر ﻫﺏ يساوي ضعف قياس الزاوية ﻫﺟﺏ، أي اثنين في ٥٢ درجة، وهو ما يساوي ١٠٤ درجات.
وبالمثل، القوس الأصغر ﺏﺟ تقابله الزاوية ﺏﻫﺟ. وبناء عليه فإن قياس هذا القوس الأصغر سيساوي ضعف قياس الزاوية التي قياسها ٦٤ درجة، أي ١٢٨ درجة. لإيجاد قياس القوس الأكبر ﻫﺟ، علينا جمع قياسي هذين القوسين الصغيرين. ومن ثم فإن قياس القوس الأكبر ﻫﺟ يساوي ٢٣٢ درجة. وكما ذكرنا سابقًا، قياس الزاوية ﻫﺩﺟ يساوي نصف قياس القوس الأكبر ﻫﺟ. نصف ٢٣٢ درجة يساوي ١١٦ درجة.
