فيديو السؤال: إيجاد الوزن المعلق بطرف قضيب بحيث لا يكون هناك ضغط على أحد حامليه الرياضيات

ﺃﺏ قضيب منتظم طوله ٧٨ سم ووزنه ١٥٥ نيوتن. يرتكز القضيب أفقيًّا على الحاملين ‎ﺃ، ﺟ؛ حيث يبعد ﺟ مسافة ١٣ سم عن ﺏ. أوجد أقل وزن ﻭ يمكن تعليقه عند ﺏ؛ بحيث لا يكون هناك أي ضغط عند ﺃ، وأوجد الضغط عند ﺟ في تلك اللحظة.

٠٧:٥٧

‏نسخة الفيديو النصية

‏ﺃﺏ قضيب منتظم طوله ٧٨ سنتيمترًا ووزنه ١٥٥ نيوتن. يرتكز القضيب أفقيًّا على الحاملين ﺃ وﺟ؛ حيث يبعد ﺟ مسافة ١٣ سنتيمترًا عن ﺏ. أوجد أقل وزن ﻭ يمكن تعليقه عند ﺏ؛ بحيث لا يكون هناك أي ضغط عند ﺃ، وأوجد الضغط عند ﺟ في تلك اللحظة.

حقيقة أن القضيب مرتكز تعني أنه في حالة اتزان، وهو ما يعني تحقق شرطين للقوى المؤثرة على القضيب. الشرط الأول هو أن القوة المحصلة أو مجموع كل القوى المؤثرة على القضيب تساوي صفرًا. والشرط الثاني هو أن محصلة عزوم القوى، أي مجموع العزوم لكل قوة مؤثرة على القضيب، تساوي صفرًا أيضًا حول أي نقطة معطاة. عزم القوة حول نقطة مرجعية يساوي مقدار القوة مضروبًا في المسافة بين النقطة التي تؤثر عندها القوة والنقطة المرجعية، ما دام خط عمل القوة عموديًّا على الخط الذي يصل بين هذه النقطة والنقطة المرجعية. حسنًا، باستخدام هذين الشرطين، دعونا نرسم شكلًا لتنظيم المعطيات التي لدينا عن القوى المؤثرة على القضيب ومواضع تأثيرها.

ها هو القضيب يرتكز على الحاملين ﺃ وﺟ. طول القضيب يساوي ٧٨ سنتيمترًا، والمسافة من ﺟ إلى ﺏ هي ١٣ سنتيمترًا. وهناك أيضًا أربع قوى مؤثرة على القضيب. هناك وزن القضيب، وهو ١٥٥ نيوتن، الذي يؤثر لأسفل عند نقطة المنتصف مباشرة؛ لأن ﺃﺏ قضيب منتظم. ونظرًا لأن هذا الوزن يؤثر عند نقطة المنتصف، فإنه يؤثر على بعد ٣٩ سنتيمترًا من كلا الطرفين. وهناك أيضًا الوزن الإضافي ﻭ المعلق عند النقطة ﺏ. القوتان الأخريان المؤثرتان على القضيب هما قوتا رد الفعل من الحاملين.

ومجموع القوى لوزن القضيب والوزن عند ﺏ يضغط على الحامل عند النقطة ﺃ والحامل عند النقطة ﺟ. ويؤكد قانون نيوتن الثالث على أنه عندما يؤثر القضيب بقوة ضغط على هذين الحاملين، فإنهما يؤثران على القضيب بقوة رد فعل تساوي هذه القوة في المقدار ولكن في اتجاه مضاد. سنسمي هاتين القوتين ﺭﺃ وﺭﺟ للإشارة إلى رد الفعل عند ﺃ ورد الفعل عند ﺟ. في الواقع، ثمة أمران مهمان نعرفهما بالفعل عن هاتين القوتين. أولًا، نبحث عن الحالة التي لا يوجد فيها ضغط عند ﺃ. ولكن إذا لم تكن هناك قوة ضغط، فلن تكون هناك أيضًا قوة رد فعل. نبحث إذن عن الحالة التي تكون فيها ﺭﺃ مساوية لصفر.

ثانيًا، بما أن مقدار الضغط على الحامل ﺟ هو نفسه مقدار رد الفعل ﺭﺟ، إذا استطعنا تحديد قيمة ﺭﺟ، فسنعرف الضغط الذي نريد إيجاده. حسنًا، والآن بعد أن أصبحت لدينا هذه القوى والمسافات، لنطبق شرطي الاتزان لإيجاد القيم التي نريد إيجادها. هيا نبدأ بالشرط الذي ينص على أن مجموع عزوم القوى يساوي صفرًا. نبدأ بهذا الشرط؛ لأنه بما أنه يمكننا التعبير عن عزم القوة على صورة القوة مضروبة في المسافة، فإذا كانت المسافة من القوة إلى النقطة المرجعية تساوي صفرًا، أي إن القوة تؤثر عند النقطة المرجعية، فلن ينتج عنها أي عزم.

وبما أن هذا صحيح بغض النظر عن مقدار القوة، فإذا اخترنا أن تكون النقطة المرجعية النقطة ﺏ أو حيث يلتقي الحامل مع القضيب عند النقطة ﺟ، فسنستبعد إما الوزن المجهول أو رد الفعل المجهول من العملية الحسابية. وباستبعاد أحد المجهولين في العملية الحسابية، سنتمكن من إيجاد قيمة المجهول الآخر مباشرة. لاحظ أنه بما أنه لا توجد قوة رد فعل عند النقطة ﺃ، فهذا يعني أنه لا ينتج عنها أي عزم أيضًا لأن مقدار القوة يساوي صفرًا.

حسنًا، لنبدأ بالنقطة المرجعية عند النقطة ﺏ. القوتان اللتان علينا استخدامهما إذن هما ﺭﺟ المؤثرة على بعد ١٣ سنتيمترًا، ووزن القضيب المؤثر على بعد ٣٩ سنتيمترًا. علاوة على ذلك، نجد أن هاتين القوتين عموديتان على القضيب، أي إنهما عموديتان على امتداد الخط الذي يصل القوة بالنقطة المرجعية؛ لذا يمكننا استخدام القوة مضروبة في المسافة لحساب العزوم. وحيث إن قوة رد الفعل تشير إلى أعلى، والوزن يشير إلى أسفل، وكلاهما يقع على يسار النقطة المرجعية؛ فهذا يعني أن لهما اتجاهين متعاكسين بالنسبة إلى النقطة المرجعية. وعليه، فإن عزميهما لهما إشارتان مختلفتان.

لنفترض أن عزم القوة ﺭﺟ حول ﺏ موجب. في هذه الحالة لدينا ﺭﺟ في ١٣، وهو عزم القوة ﺭﺟ حول ﺏ، ناقص ١٥٥ في ٣٩، وهو العزم الناتج عن وزن القضيب حول ﺏ، يساوي صفرًا. إذا قسمنا كلا الطرفين على ١٣، نحصل على ﺭﺟ ناقص ١٥٥ في ثلاثة يساوي صفرًا؛ لأن ٣٩ مقسومًا على ١٣ يساوي ثلاثة، وصفر مقسومًا على ١٣ سيظل صفرًا. بإضافة ١٥٥ في ثلاثة إلى كلا الطرفين، نجد أن ﺭﺟ يساوي ١٥٥ في ثلاثة أو ٤٦٥ نيوتن. لكن، كما رأينا، هذا هو الضغط الذي نريد إيجاده. وبذلك، فإن نصف الإجابة هي أن الضغط على الحامل ﺟ عندما يكون القضيب متوازنًا، كما هو موضح، يساوي ٤٦٥ نيوتن.

والآن لم يتبق أمامنا سوى إيجاد الوزن. يمكننا إجراء نفس العمليات الحسابية بالضبط، لكن هذه المرة بالنقطة المرجعية التي يلتقي عندها الحامل ﺟ مع القضيب. بدلًا من ذلك، بمعلومية قيمة ﺭﺟ، يمكننا استخدام شرط مجموع القوى لإيجاد المجهول الوحيد المتبقي، وهو الوزن ﻭ. أيًّا كانت الطريقة التي نختارها، فسنظل نعتمد على حقيقة أن مقدار القوة عند ﺃ يساوي صفرًا؛ ومن ثم لا ينتج عنها عزم ولا تساهم في القوة المحصلة. دعونا نستخدم الشرط الخاص بمجموع القوى، وسنحذف العملية الحسابية السابقة لإفساح مساحة للعملية الجديدة.

بما أن كل القوى التي تعنينا متوازية، فإننا نجمع كل القوى التي تشير إلى اتجاه واحد، ونطرح كل القوى المؤثرة في الاتجاه المضاد. هذا يعطينا ٤٦٥، وهي القيمة المعلومة لـ ﺭﺟ، ناقص ١٥٥ ناقص ﻭ يساوي صفرًا. ٤٦٥ ناقص ١٥٥ يساوي ٣١٠. وبإضافة ﻭ إلى كلا الطرفين، نتوصل إلى أن ﻭ يساوي ٣١٠، وهو ما يعني أن الوزن المؤثر عند ﺏ اللازم لتحقيق توازن القضيب كما هو موضح هو ٣١٠ نيوتن.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.