تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

فيديو الدرس: خواص وحالات خاصة لمتوازي الأضلاع الرياضيات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحدد المضلعات الخاصة المرتبطة بمتوازي الأضلاع، وكيف نحدد خواص المعينات والمربعات والمستطيلات عند مقارنتها بمتوازيات الأضلاع.

١٧:٠٢

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نستخدم خواص متوازي الأضلاع. وسنتناول الحالات الخاصة لمتوازي الأضلاع وخواصها. هذه الحالات الخاصة هي المستطيل والمعين والمربع.

دعونا أولًا نبدأ بتعريف متوازي الأضلاع. يعرف متوازي الأضلاع بأنه شكل رباعي؛ أي شكل له أربعة أضلاع، كل ضلعين متقابلين فيه متوازيان. على سبيل المثال، في متوازي الأضلاع الموضح، نعلم أن ‪𝐴𝐵‬‏ يوازي ‪𝐷𝐶‬‏ و‪𝐴𝐷‬‏ يوازي ‪𝐵𝐶‬‏. لذا فإن العديد من خواص متوازي الأضلاع نستطيع استنتاجها من الخواص ذات الصلة بالمستقيمات المتوازية. عندما يقطع المستقيمات المتوازية قاطع يتكون عدد من الزوايا المتطابقة والمتكاملة. وتكون كل زاويتين متناظرتين متطابقتين. وتكون كل زاويتين متبادلتين متطابقتين. وتكون كل زاويتين داخليتين وفي جهة واحدة من القاطع متكاملتين.

إذا رسمنا خطًّا مستقيمًا يوازي هذا القاطع، فسنحصل على نمط مشابه من الزوايا المتطابقة والمتكاملة. يتيح لنا ذلك التعرف على بعض الخواص الأساسية لمتوازي الأضلاع. لاحظ أن لدينا زاويتين متقابلتين قياس كل منهما ‪𝑥‬‏ درجة، ولدينا أيضًا زاويتان متقابلتان أخريان قياس كل منهما ‪𝑦‬‏ درجة. مجموع قياسي كل زاويتين ‪𝑥‬‏ و‪𝑦‬‏ يجب أن يساوي 180 درجة.

يمكننا الآن كتابة الخواص الخمس المهمة لمتوازي الأضلاع. الخاصية الأولى تنص على أن كل ضلعين متقابلين متوازيان. استنتجنا ذلك من التعريف. في متوازي الأضلاع الموضح ‪𝐴𝐵𝐶𝐷‬‏، يمكننا قول إن ‪𝐴𝐷‬‏ يوازي ‪𝐵𝐶‬‏ و‪𝐷𝐶‬‏ يوازي ‪𝐴𝐵‬‏. تنص الخاصية الثانية على أن كل زاويتين متقابلتين متساويتان في القياس. ومن ثم قياس الزاوية ‪𝐴‬‏ في الحالة لدينا يساوي قياس الزاوية ‪𝐶‬‏. وقياس الزاوية ‪𝐵‬‏ يساوي قياس الزاوية ‪𝐷‬‏.

تنص الخاصية الثالثة على أن مجموع قياسي أي زاويتين داخليتين وفي جهة واحدة من القاطع يساوي 180 درجة. على سبيل المثال، قياس الزاوية ‪𝐴‬‏ زائد قياس الزاوية ‪𝐵‬‏ يساوي 180 درجة. تنص الخاصية الرابعة على أن كل ضلعين متقابلين متساويان في الطول. وأخيرًا: الخاصية الخامسة متعلقة بالأقطار. وتنص على أن القطرين ينصف كل منهما الآخر.

لقد أوضحنا بالفعل الخواص الثلاث الأولى. لذا دعونا الآن نتناول الخاصيتين الرابعة والخامسة. لكي نفعل ذلك سنتناول متوازي الأضلاع ‪𝐴𝐵𝐶𝐷‬‏ الموضح، الذي يختلف قليلًا عن سابقه. نعلم أن كل ضلعين متقابلين متوازيان، ويمكننا رسم القطر ‪𝐷𝐵‬‏. ولتوضيح الخاصية الرابعة، التي تنص على أن كل ضلعين متقابلين متساويان في الطول، يمكننا استخدام هذا القطر وإثبات أن المثلثين ‪𝐴𝐵𝐷‬‏ و‪𝐶𝐷𝐵‬‏ متطابقان. نلاحظ هنا أن لدينا زاويتين متطابقتين تكونتا من المستقيمين المتوازيين والقاطع؛ حيث قياس الزاوية ‪𝐶𝐷𝐵‬‏ يساوي قياس الزاوية ‪𝐴𝐵𝐷‬‏.

باستخدام الزوج الآخر من المستقيمات المتوازية مع القاطع، سنحدد زاويتين متطابقتين أخريين. قياس الزاوية ‪𝐴𝐷𝐵‬‏ يساوي قياس الزاوية ‪𝐶𝐵𝐷‬‏. وأخيرًا: يمكننا ملاحظة أن القطر ‪𝐵𝐷‬‏ هو في الواقع ضلع مشترك في هذين المثلثين.

حسنًا، أصبح لدينا الآن ما يكفي من المعلومات لإثبات مسلمة التطابق بزاويتين والضلع المحصور بينهما، التي تنص على أنه إذا تطابقت زاويتان والضلع المحصور بينهما في مثلث مع زاويتين والضلع المحصور بينهما في مثلث آخر، فإن المثلثين يكونان متطابقين. نستنتج أنه يمكننا إثبات أن المثلث ‪𝐶𝐷𝐵‬‏ يطابق المثلث ‪𝐴𝐵𝐷‬‏. هذا التطابق يعني أنه يمكننا قول إن الضلع ‪𝐷𝐶‬‏ والضلع ‪𝐴𝐵‬‏ متطابقان، والضلع ‪𝐴𝐷‬‏ والضلع ‪𝐶𝐵‬‏ متطابقان. وهذا يثبت الخاصية الرابعة. وعلى الرغم من أننا لن نوضح الخاصية الخامسة هنا، فإنه يمكننا استخدام خواص مشابهة للمثلثات المتطابقة لإثباتها.

سنتناول الآن المثال الأول. علينا استخدام بعض هذه الخواص لمساعدتنا في إيجاد بعض الأطوال المجهولة في متوازي أضلاع.

أوجد طول كل من القطعة المستقيمة ‪𝐶𝐷‬‏ والقطعة المستقيمة ‪𝐷𝐴‬‏.

إذا نظرنا إلى الشكل الرباعي ‪𝐴𝐵𝐶𝐷‬‏، فسنلاحظ أولًا أنه متوازي أضلاع. هذا لأن لدينا في الشكل كل ضلعين متقابلين متوازيان. إذا استخدمنا خواص متوازي الأضلاع، فسنجد أنه ليس كل ضلعين متقابلين متوازيين فحسب، بل يكونان متساويين في الطول أيضًا. القطعة المستقيمة ‪𝐶𝐷‬‏ تقابل القطعة المستقيمة ‪𝐴𝐵‬‏. إذن طول ‪𝐶𝐷‬‏ يساوي 15 سنتيمترًا. علينا بعد ذلك إيجاد طول القطعة المستقيمة ‪𝐷𝐴‬‏. وهي القطعة المستقيمة المقابلة للقطعة المستقيمة ‪𝐶𝐵‬‏. ولأن هاتين القطعتين المستقيمتين متساويتان في الطول، فإن طول ‪𝐷𝐴‬‏ يساوي 13 سنتيمترًا أيضًا.

إذن إجابتنا عن السؤال هي أن طول القطعة المستقيمة ‪𝐶𝐷‬‏ يساوي 15 سنتيمترًا، وطول القطعة المستقيمة ‪𝐷𝐴‬‏ يساوي 13 سنتيمترًا.

والآن سنتعلم كيف يمكننا إيجاد قياس زاوية مجهول في متوازي أضلاع باستخدام خواصه.

‏‪𝐴𝐵𝐶𝐷‬‏ متوازي أضلاع، فيه قياس الزاوية ‪𝐵𝐸𝐶‬‏ يساوي 79 درجة، وقياس الزاوية ‪𝐸𝐶𝐵‬‏ يساوي 56 درجة. أوجد قياس الزاوية ‪𝐸𝐴𝐷‬‏.

في هذا الشكل، نعلم قياس كل من الزاويتين ‪𝐵𝐸𝐶‬‏ و‪𝐸𝐶𝐵‬‏. وعلينا إيجاد قياس الزاوية ‪𝐸𝐴𝐷‬‏. نعلم من السؤال أن الشكل يمثل متوازي أضلاع، وهذا يعني أن بإمكاننا تطبيق خواصه لمساعدتنا في إيجاد قياس هذه الزاوية المجهول. نريد هنا إيجاد قياس زاوية، ويمكننا استخدام الخاصيتين المتعلقتين بالزوايا في متوازي الأضلاع، اللتين تنصان على أن كل زاويتين متقابلتين متساويتان في القياس، وأن مجموع قياسي أي زاويتين داخليتين وفي جهة واحدة من القاطع يساوي 180 درجة. نريد إيجاد قياس الزاوية ‪𝐸𝐴𝐷‬‏، ومن ثم إحدى الزوايا المجاورة التي قد يكون من المفيد معرفة قياسها هي الزاوية ‪𝐶𝐵𝐸‬‏. إذا أوجدنا قياس هذه الزاوية، فسنتمكن من إيجاد قياس الزاوية ‪𝐸𝐴𝐷‬‏، باستخدام الخاصية الثانية.

دعونا نتناول المثلث ‪𝐵𝐸𝐶‬‏. بما أننا نعلم قياسي زاويتين، إذن يمكننا تطبيق الخاصية التي تنص على أن مجموع قياسات الزوايا الداخلية في المثلث يساوي 180 درجة. هذا يعني أن قياس الزاوية ‪𝐶𝐵𝐸‬‏ زائد 56 درجة زائد 79 درجة يساوي 180 درجة. بإعادة ترتيب هذا المقدار، نجد أن قياس الزاوية ‪𝐶𝐵𝐸‬‏ يساوي 180 درجة ناقص 135 درجة، وهو ما يساوي 45 درجة. وكما ذكرنا من قبل، نعلم مجموع قياسي هاتين الزاويتين المتجاورتين. قياس الزاوية ‪𝐸𝐴𝐷‬‏ زائد قياس الزاوية ‪𝐶𝐵𝐸‬‏ يجب أن يساوي 180 درجة. لإيجاد قياس الزاوية ‪𝐸𝐴𝐷‬‏ إذن، نطرح 45 درجة من 180 درجة، وهو ما يعطينا 135 درجة، وهذه هي الإجابة.

سنتناول الآن بعض الحالات الخاصة لمتوازي الأضلاع. الحالة الخاصة الأولى هي المستطيل، ويعرف بأنه متوازي أضلاع له أربع زوايا متطابقة. وبما أن مجموع قياسات الزوايا في أي شكل رباعي يساوي 360 درجة، فهذا يعني أن قياس كل زاوية من الزوايا الأربع في المستطيل يساوي 90 درجة. وهذا يقودنا إلى خواص المستطيل. من المهم تذكر أنه بما أن المستطيل أحد أنواع متوازي الأضلاع، إذن سيكون له نفس خواص متوازي الأضلاع. حسنًا، ثمة خاصيتان إضافيتان للمستطيل. تنص الخاصية الأولى على أن جميع زوايا المستطيل متساوية في القياس. وقياس كل منها يساوي 90 درجة. وتنص الخاصية الثانية على أن القطرين متساويان في الطول.

نعلم أن القطرين في متوازي الأضلاع ينصف كل منهما الآخر. ولن يكون القطران متساويين في الطول إلا عندما يكون متوازي الأضلاع مستطيلًا.

سنتناول الآن الحالة الخاصة الثانية من متوازي الأضلاع؛ وهي المعين. المعين متوازي أضلاع له أربعة أضلاع متطابقة. ثمة خواص إضافية للمعين تتعلق بقطريه. إذا رسمنا قطري المعين، فسنلاحظ أنهما ينصفان كل زاويتين متقابلتين، وهذه إحدى خواصه. سنلاحظ أيضًا أن القطرين متعامدان، وهذه هي الخاصية الثانية. دعونا إذن نكتب خواص المعين.

مثلما رأينا في المستطيل، ولأن المعين أحد أنواع متوازي الأضلاع، فإن له جميع خواص متوازي الأضلاع. للمعين ثلاث خواص إضافية، الخاصية الأولى: أن جميع الأضلاع متساوية في الطول. الخاصية الثانية: أن القطرين ينصفان كل زاويتين متقابلتين. الخاصية الثالثة: أن القطرين متعامدان. لاحظ أنه وفقًا للخاصية الأخيرة التي تنص على أن القطرين متعامدان، ولأننا نعلم من خواص متوازي الأضلاع أن القطرين ينصف كل منهما الآخر، يمكننا قول إن أيًّا من قطري المعين هو عمود منصف.

سنتناول الآن الحالة الخاصة الأخيرة لمتوازي الأضلاع. إذا كانت جميع زوايا متوازي الأضلاع متساوية في القياس، وجميع أضلاعه متطابقة؛ فإننا نسميه مربعًا. حسنًا، علينا تذكر أن متوازي الأضلاع الذي له أربع زوايا متطابقة يسمى مستطيلًا، ومتوازي الأضلاع الذي له أربعة أضلاع متطابقة يسمى معينًا. يمكننا إذن قول إن المربع حالة خاصة من كل من المستطيل والمعين. ومن ثم يكون للمربع جميع خواص متوازي الأضلاع والمستطيل والمعين التي أوضحناها.

لا شك أننا على دراية بالخواص الأساسية للمربع، مثل أنه يحتوي على أربع زوايا قياس كل منها يساوي 90 درجة، وأربعة أضلاع متطابقة. لكن ما يهمنا أكثر هو قطرا المربع. ينصف قطرا المربع كل منهما الآخر، وهما متساويان في الطول ومتعامدان. والآن بعد أن استعرضنا الحالات الخاصة الثلاث لمتوازي الأضلاع، يمكننا حل بعض الأمثلة.

املأ الفراغ: متوازي الأضلاع الذي (فراغ) متساوية يسمى مستطيلًا.

نعلم أن المستطيل هو أحد أنواع متوازي الأضلاع وله أربع زوايا متطابقة. قياس كل زاوية من هذه الزوايا يساوي 90 درجة. يمكننا رسم مستطيل، ونعلم أن هناك علاقة تساو في الطول. كل ضلعين متقابلين في المستطيل متساويان في الطول. إذا نظرنا إلى العبارة هنا، فسنجد أن لدينا متوازي أضلاع ونعلم أن أي ضلعين متقابلين في متوازي الأضلاع يكونان متساويين في الطول. ومن ثم نبحث عن خاصية أخرى من خواص المستطيل تميزه عن متوازي الأضلاع. تتعلق هذه الخاصية بالأقطار. قطرا المستطيل متساويان في الطول.

لاحظ أن الخاصية الوحيدة التي تتعلق بالأقطار في متوازي الأضلاع تنص على أن قطري متوازي الأضلاع ينصف كل منهما الآخر. ومن ثم إذا كان لدينا متوازي أضلاع وكان قطراه متساويين في الطول، فإننا نعلم أنه يجب أن يكون مستطيلًا. يمكننا إذن إكمال العبارة بكلمة «أقطاره». متوازي الأضلاع الذي أقطاره متساوية يسمى مستطيلًا.

سنتناول الآن مثالًا أخيرًا.

املأ الفراغ: يصنع كل قطر من قطري المربع زاوية قياسها (فراغ) مع الضلع المجاور.

حسنًا، دعونا نسترجع ما نعرفه عن المربع وخواصه. المربع هو أحد أنواع متوازي الأضلاع؛ له أربعة أضلاع متطابقة وأربع زوايا متطابقة. لاحظ أن قياس كل زاوية من هذه الزوايا يساوي 90 درجة. ولأن المربع هو أحد أنواع متوازي الأضلاع، فإن له جميع خواص متوازي الأضلاع، بالإضافة إلى جميع خواص المستطيل والمعين.

ما يهمنا الآن هو قطرا المربع، لذلك دعونا نسترجع الخواص المهمة المتعلقة بهما. أولًا: نعلم أن القطرين في متوازي الأضلاع ينصف كل منهما الآخر. ثانيًا: لأن المربع نوع خاص من المستطيلات، فإننا نعلم أن قطريه متطابقان. ثالثًا: وفقًا لخواص المعين، فإننا نعلم أن قطري المربع ينصفان كل زاويتين متقابلتين.

في هذه المسألة، علينا معرفة قياس الزاوية التي يصنعها كل قطر في المربع مع الضلع المجاور. على سبيل المثال، ما قياس هذه الزاوية المحددة في الشكل؟ حسنًا، نعلم أن كل ضلعين من أضلاع المربع يصنعان زاوية قياسها 90 درجة. ونعلم أيضًا أن القطرين ينصفان كل زاويتين متقابلتين. إذن هذه الزاوية التي قياسها 90 درجة تنصف؛ أي تقسم على اثنين. نعلم إذن أن قياس هذه الزاوية يساوي 45 درجة. ولأن الأضلاع لدينا متطابقة، فإن هذا سينطبق على كل زاوية يصنعها أي من القطرين مع الضلع المجاور. يمكننا إذن إكمال العبارة لدينا. يصنع كل قطر من قطري المربع زاوية قياسها 45 درجة مع الضلع المجاور.

سنختتم هذا الفيديو الآن بتلخيص النقاط الرئيسية. بدأنا بتعريف متوازي الأضلاع، وهو شكل رباعي يكون فيه كل ضلعين متقابلين متوازيين. عرفنا أن هناك خمس خواص مختلفة لمتوازي الأضلاع. تتمثل هذه الخواص في أن كل ضلعين متقابلين متوازيان. وكل زاويتين متقابلتين متطابقتان. ومجموع قياسي أي زاويتين داخليتين وفي جهة واحدة من القاطع يساوي 180 درجة. وكل ضلعين متقابلين متطابقان. والقطران ينصف كل منهما الآخر.

تناولنا بعد ذلك إحدى الحالات الخاصة لمتوازي الأضلاع؛ وهي المستطيل. للمستطيل جميع خواص متوازي الأضلاع، بالإضافة إلى أن جميع زواياه متطابقة، وقطريه متطابقان. النوع الثاني من متوازي الأضلاع الذي تناولناه هو المعين. يكون للمعين كذلك جميع خواص متوازي الأضلاع، بالإضافة إلى أن جميع أضلاعه متطابقة. ينصف القطران كل زاويتين متقابلتين. ويكون القطران متعامدين. علمنا كذلك أن المربع هو أحد أنواع متوازي الأضلاع وله أربع زوايا متطابقة وأربعة أضلاع متطابقة. المربع حالة خاصة من كل من المستطيل والمعين، وله خواص كل منهما.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.