فيديو الدرس: الجذور الحقيقية والمركبة لكثيرات الحدود الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سنتعرف على الجذور الحقيقية والمركبة لكثيرات الحدود. وسنرى كيف يمكننا بسهولة تحديد عدد جذور كثيرة الحدود. كما سنعرف أنه إذا كان لدينا كثيرات حدود معاملاتها حقيقية، وكنا نعرف جذرًا مركبًا واحدًا من جذورها، يمكننا بسهولة إيجاد جذر آخر. سنبدأ بالنظرية الأساسية في الجبر. هيا نبدأ العمل مع نص هذه النظرية.

تذكر أن كثيرة الحدود ق(ﺱ) تساوي ﺱ تربيع زائد واحد ليس لها جذور حقيقية. لكننا عرفنا ﺕ على أنه جذر غير حقيقي لكثيرة الحدود هذه. ‏‏ق(ﺕ) تساوي ﺕ تربيع زائد واحد، وﺕ تربيع يساوي سالب واحد. إذن ق(ﺕ) تساوي صفرًا. يمكننا أيضًا ملاحظة أن سالب ﺕ هنا يمثل جذرًا. ‏‏ق(سالب ﺕ) تساوي سالب ﺕ تربيع زائد واحد. وبكتابة سالب ﺕ بالشكل سالب واحد في ﺕ، يمكننا إعادة ترتيب العوامل لنحصل على سالب واحد تربيع في ﺕ تربيع زائد واحد. سالب واحد تربيع يساوي واحدًا، وﺕ تربيع يساوي سالب واحد، وحاصل ضربهما يساوي سالب واحد. إذن، سالب ﺕ جذر أيضًا.

وبإيجاد جذري كثيرة الحدود التي من الدرجة الثانية ﺱ تربيع زائد واحد، يمكننا تحليل كثيرة الحدود التي من الدرجة الثانية هذه. إنها تساوي ثابتًا ما ﺃ في ﺱ ناقص ﺕ في ﺱ ناقص سالب ﺕ. وﺱ ناقص سالب ﺕ يساوي ببساطة ﺱ زائد ﺕ. وبما أن معامل ﺱ تربيع في تعريف ق(ﺱ) يساوي واحدًا، فإن قيمة ﺃ هي واحد أيضًا. إذن، لسنا بحاجة إلى كتابة ﺃ. بكتابة ق(ﺱ) بالصورة ﺱ تربيع زائد واحد، نلاحظ أنه باستخدام الأعداد المركبة يمكننا تحليل كثيرة الحدود من الدرجة الثانية ﺱ تربيع زائد واحد إلى حاصل ضرب عاملين خطيين. لكننا لم نستطع فعل ذلك عندما كنا نتعامل مع الأعداد الحقيقية فقط.

ربما تعلم أنه باستخدام طريقة إكمال المربع، يمكنك إيجاد جذور أي كثيرة حدود من الدرجة الثانية معاملاتها حقيقية. وبهذا، يمكننا تحليل أي كثيرة حدود من الدرجة الثانية وكتابتها في صورة حاصل ضرب عاملين خطيين، وربما يكونان مضروبين في ثابت أيضًا. تعمم النظرية الأساسية في الجبر هذه الحقيقة على نطاق واسع. إذ تنص على أن أي كثيرة حدود من الدرجة ﻥ — فنحن لا نتعامل هنا مع كثيرات حدود من الدرجة الثانية فقط — لها معاملات مركبة — أي لا يلزم أن تكون المعاملات حقيقية؛ قد تكون حقيقية، ولكن ذلك ليس شرطًا لتطبيق النظرية — يمكن تحليلها إلى عوامل خطية.

قد يساعدك استخدام بعض الرموز هنا. كثيرة الحدود من الدرجة ﻥ تكتب بالصورة ﺃﻥ في ﺱ أس ﻥ زائد ﺃﻥ ناقص واحد في ﺱ أس ﻥ ناقص واحد، وهكذا وصولًا إلى ﺃ واحد ﺱ زائد ﺃ صفر، حيث يجب ألا يكون معامل ﺱ أس ﻥ — أي ﺃﻥ — مساويًا لصفر، وإلا فإن كثيرة الحدود لن تكون حقًا من الدرجة ﻥ مع معاملات مركبة. إذن، ﺃ صفر وﺃ واحد وهكذا وصولًا إلى ﺃﻥ هي معاملات مركبة. ويمكن أن تكون أعدادًا حقيقية. وأي عدد حقيقي هو أيضًا عدد مركب. ولكن لا يشترط أن تكون حقيقية. تنص النظرية على أن كثيرة الحدود هذه يمكن تحليلها إلى عوامل خطية.

عادة، نخرج ﺃﻥ عاملًا مشتركًا أولًا. لذا، علينا أن نهتم فقط بالحالة التي فيها معامل ﺱ أس ﻥ يساوي واحدًا. ومن ثم يكون معامل ﺱ في جميع العوامل الخطية واحدًا. كم عدد هذه العوامل الخطية؟ سأفترض أن هذا العدد هو ﻡ. ولكن عند ضرب جميع حدود ﺱ داخل الأقواس معًا، نتوقع أن نحصل على الحد ﺱ أس ﻥ. لذا يجب أن يكون لدينا عوامل خطية عددها ﻥ. عدد العوامل الخطية التي نحصل عليها يساوي درجة كثيرة الحدود ﻥ. لدينا كثيرة حدود من الدرجة الثانية. لذا، نتوقع عاملين خطيين، وهو ما حصلنا عليه. لكثيرة الحدود من الدرجة الثالثة ثلاثة عوامل خطية، ولكثيرة الحدود من الدرجة الرابعة أربعة، وهكذا.

نأمل أن تكونوا قد فهمتم ما تنص عليه النظرية بشكل أفضل. دعوني أشر فقط إلى أنه ليس بالإمكان أفضل مما كان. فمن غير المتوقع أن نستطيع مواصلة التحليل. هل هذه النظرية تعني أن ق(ﺱ) لها عدد ﻥ من الجذور؟ حسنًا، بشكل ما، لا. لم يقل أحد إن العوامل غير متكررة. إذن، ﺱ ناقص ﺭ واحد يمكن أن يكون هو نفسه ﺱ ناقص ﺭ اثنين. بعبارة أخرى، قد يتساوى ﺭ واحد وﺭ اثنان.

على سبيل المثال، افترض أن لدينا كثيرة الحدود من الدرجة الرابعة ﺱ ناقص اثنين في ﺱ ناقص اثنين في ﺱ ناقص اثنين في ﺱ زائد ثلاثة. العامل ﺱ ناقص اثنين يظهر ثلاث مرات. لذا، ق(ﺱ) ليس لها أربعة جذور مختلفة كما قد نتوقع، بل جذران فقط. يرتبط الجذر اثنان بالعامل ﺱ ناقص اثنين المتكرر، ويرتبط الجذر سالب ثلاثة بالعامل ﺱ زائد ثلاثة. ومع ذلك نقول إن الجذر اثنين يتكرر ثلاث مرات؛ لأن العامل ﺱ ناقص اثنين يتكرر ثلاث مرات عند تحليل ق(ﺱ). عندما نعد الجذور المتكررة، نعد الجذر اثنين ثلاث مرات؛ مرة لكل عامل من هذه العوامل. ونقول إن ق(ﺱ) لها أربعة جذور عندما نعد هذه الجذور المتكررة. ثلاثة من هذه الجذور قيمتها اثنان، والجذر الآخر سالب ثلاثة.

هذا يقودنا إلى طريقة أخرى للتعبير عن نص النظرية الأساسية في الجبر. كثيرة الحدود ق(ﺱ) التي درجتها ﻥ ولها معاملات مركبة، لها بالضبط عدد ﻥ من الجذور، عند عد الجذور المتكررة. وهذا العدد ﻥ من الجذور نحصل عليه من العدد ﻥ من عوامل ق(ﺱ) الخطية. وعند عد الجذور المتكررة، فلا بأس في ألا تكون جميع الجذور مختلفة. يوجد إجمالًا عدد ﻥ من الجذور تشمل المتكرر منها. إثبات هذه النظرية صعب جدًا، كما أنه خارج نطاق هذا الفيديو. لذا، علينا أن نقبل بهذه النظرية كما هي عندما نطبقها في أي مثال.

ما عدد جذور كثيرة الحدود ثلاثة ﺱ تربيع ناقص واحد في ﺱ تكعيب زائد أربعة ﺱ ناقص اثنين؟

لسنا بحاجة إلى إيجاد الجذور لكي نعرف عددها. إذ يمكننا بدلًا من ذلك استخدام النظرية الأساسية في الجبر. وتنص هذه النظرية على أن كثيرة الحدود ق(ﺱ) التي درجتها ﻥ ولها معاملات مركبة، لها بالضبط عدد ﻥ من الجذور عند عد الجذور المتكررة. لذا، بافتراض أننا نعد الجذور المتكررة حيث لم يطلب منا عد الجذور المختلفة لكثيرة الحدود، إذن فكل ما نحتاجه هو إيجاد درجة كثيرة الحدود. ما هي هذه الدرجة؟ بفك الأقواس بالتوزيع، نجد أن حد ﺱ الذي له أكبر أس هو الحد ﺱ أس خمسة. إذن، درجة كثيرة الحدود هذه هي خمسة.

كان بإمكاننا توفير بعض الجهد هنا بملاحظة أن حد ﺱ الذي له أكبر أس هو حاصل ضرب حد ﺱ الذي له أكبر أس في القوس الأول وحد ﺱ الذي له أكبر أس في القوس الثاني، فنحن لا نحتاج إلا لحد واحد لتحديد درجة كثيرة الحدود. ووفقًا لنظرية الجبر الأساسية، يكون لدينا إذن خمسة جذور عند عد الجذور المتكررة. وعدد الجذور هو نفسه درجة كثيرة الحدود. دعونا نتعرف الآن على نظرية الجذور المترافقة.

لتحقيق هذه النظرية، يجب أن تكون ق كثيرة حدود ذات معاملات حقيقية. إذا كان العدد المركب ﻉ يساوي ﺃ زائد ﺏﺕ جذرًا لـ ق، حيث ﺃ وﺏ عددان حقيقيان، فإن المرافق ﻉ يساوي ﺃ ناقص ﺏﺕ هو جذر أيضًا. إذن، إذا كان لدينا كثيرة حدود لها معاملات حقيقية وجذر مركب، يمكننا على الفور إيجاد جذر آخر لها. وهو جذر معلوم؛ مرافق مركب. بعبارة أخرى، إذا كانت ق(مرافق ﻉ) تساوي صفرًا، حيث ق كثيرة حدود معاملاتها حقيقية، فإن ق(مرافق ﻉ) تساوي صفرًا. هيا نثبت ذلك.

سنثبت أولًا نتيجة أعم. سنثبت أن ق المحسوبة عند مرافق ﻉ تساوي مرافق ق(ﻉ). نفترض كثيرة حدود اختيارية ما، معاملاتها حقيقية، ونسميها ق. ونفترض أن ﻥ درجة ق، وأن ﺃ صفر إلى ﺃﻥ هي المعاملات الحقيقية لـ ق. نحسب قيمة كثيرة الحدود هذه عند مرافق ﻉ، المرافق المركب لعدد مركب ما ﻉ. مهمتنا الآن هي إعادة ترتيب ذلك بطريقة ما للحصول على المرافق المركب لـ ق(ﻉ). دعونا نتفاءل ونكتب ذلك في نهاية الاستنتاج، آملين أن نتمكن من إثبات النظرية. باستخدام تعريف كثيرة الحدود ق، يمكننا إيجاد قيمتها عند ﻉ ثم نأخذ المرافق المركب للناتج. نكتب ذلك في السطر العلوي ونأمل أن ننجح في مسعانا.

المرافق المركب لمجموع ما هو مجموع المرافقات المركبة لكل عدد على حدة، والمرافق المركب لحاصل ضرب ما هو حاصل ضرب المرافقات المركبة لكل عدد على حدة. يمكن إثبات كلا هاتين الحقيقتين. نود الآن مقارنة ما كنا نعمل عليه بالأعلى مع ما كنا نعمل عليه بالأسفل. أحد الاختلافات هو وجود ﺃ صفر بدلًا من مرافق ﺃ صفر، وﺃ واحد بدلًا من مرافق ﺃ واحد وهكذا. ولكن جميع هذه المعاملات أعداد حقيقية. والمرافق المركب لأي عدد حقيقي هو نفسه. بالتالي، يمكننا التعويض عن كل معامل حقيقي بمرافقه المركب دون أي تغيير.

هل انتهينا؟ هل نجحنا في مسعانا؟ حسنًا، تقريبًا، فلدينا مربع مرافق ﻉ هنا؛ والمرافق لمربع ﻉ هنا، وبالمثل مرافق ﻉ أس ﻥ هنا؛ والمرافق لـ ﻉ أس ﻥ هنا. نريد تبديل ترتيب خطوتي الرفع لقوة وإيجاد المرافق. وهذا ممكن بالفعل، لكن إثبات هذه الحقيقية أصعب من إثبات الحقيقة الأخرى التي استخدمناها. يمكننا على سبيل المثال أن نثبت هذه الحقيقة باستخدام نظرية ديموافر. بتطبيق هذه الحقيقة، نحصل على المقدار نفسه في الطرف الأيسر الذي حصلنا عليه بالأعلى. وبهذا، نكون قد أثبتنا ما أردنا إثباته.

الآن، كيف يساعدنا ذلك في إثبات نظرية الجذور المترافقة؟ حسنًا، في الحالة الخاصة التي يكون فيها ﻉ جذرًا لـ ق، يمكننا إيجاد مرافق الطرفين لنجد أن مرافق ق(ﻉ) هو مرافق صفر. ومرافق صفر هو صفر فحسب. وها قد أثبتنا أن مرافق ق(ﻉ) هو ق (مرافق ﻉ). إذن، مرافق ﻉ جذر أيضًا. وهذا يثبت نظرية الجذور المترافقة. دعونا الآن نطبق هذه النظرية.

هل من الممكن أن يكون لكثيرة حدود ذات معاملات حقيقية ثلاثة جذور غير حقيقية فقط؟

لنفترض أن ﻉ أحد الجذور غير الحقيقية لـ ق. توضح نظرية الجذور المترافقة أن مرافق ﻉ سيكون جذرًا لـ ق أيضًا. وبما أن ﻉ غير حقيقي، فإن مرافق ﻉ غير حقيقي أيضًا. إذن، حصلنا على جذرين غير حقيقيين لـ ق. ماذا عن الجذر الثالث؟ لنسمه ﻙ. لكن مرافق ﻙ يجب أن يكون أيضًا جذرًا غير حقيقي. بالتالي، إذا كان ﻙ مختلفًا عن ﻉ ومرافق ﻉ، فإن هناك أربعة جذور غير حقيقية. إذن، إذا كانت كثيرة حدود ذات معاملات حقيقية تحتوي على ثلاثة جذور غير حقيقية مختلفة، فيجب أن يكون لها جذر رابع أيضًا. فلا يمكن أن يكون لها ثلاثة جذور غير حقيقية مختلفة فقط.

ولكن ماذا لو كان ﻙ يساوي ﻉ أو مرافق ﻉ؟ إذا كان ﻙ يساوي ﻉ أو مرافق ﻉ، فلن تكون لدينا مشكلة. ما يمكننا فعله هو أن نكتب كثيرة الحدود ق(ﺱ) باعتبارها حاصل ضرب عواملها: ﺱ ناقص ﻉ، وﺱ ناقص مرافق ﻉ، وكثيرة الحدود ﻝ(ﺱ). بالتوزيع، نحصل على عامل من الدرجة الثانية معاملاته حقيقية؛ لأن المعاملين سالب ﻉ زائد مرافق ﻉ، وﻉ في مرافق ﻉ عددان حقيقيان. هذا يعني أن معاملات ﻝ(ﺱ) يجب أن تكون حقيقية؛ لأنها خارج قسمة كثيرتي حدود معاملاتهما حقيقية. إذا كانت ق(ﺱ) لها ثلاثة جذور غير حقيقية فقط، فإن ﻝ(ﺱ) لها جذر غير حقيقي واحد فقط. وهذا مستحيل وفقًا لنظرية الجذور المترافقة. إذن، إجابة السؤال هي لا.

تذكر أن مميز ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ يساوي ﺏ تربيع ناقص أربعة ﺃﺟ، ونرمز له غالبًا برمز 𝛥 كبير. عندما نتعامل مع أعداد حقيقية فقط، نجد أن كثيرة الحدود من الدرجة الثانية التي مميزها أكبر من صفر يكون لها جذران حقيقيان مختلفان، وأن كثيرة الحدود من الدرجة الثانية التي مميزها صفر يكون لها جذر حقيقي واحد متكرر، وأن كثيرة الحدود من الدرجة الثانية التي مميزها أصغر من صفر يكون لها جذور غير حقيقية. ولكن عندما نتعامل مع أعداد مركبة، تجعلنا النظرية الأساسية في الجبر نتوقع جذرين دائمًا.

علينا عد الجذور المتكررة لتحقيق ذلك عندما يكون المميز صفرًا. وعندما يكون المميز أصغر من صفر، أي إن هناك جذورًا غير حقيقية، يجب أن يكون هناك جذران مركبان. وتقول نظرية الجذور المترافقة إن هذين الجذرين المركبين مترافقان مركبان. انتبه هنا. لا تتحقق نظرية الجذور المترافقة إلا لكثيرات الحدود التي معاملاتها حقيقية. إذ لا ينطبق هذا التصنيف إلا على كثيرات الحدود من الدرجة الثانية ذات المعاملات الحقيقية.

فماذا عن جذور كثيرات الحدود من الدرجة الثالثة ذات المعاملات الحقيقية؟ تقول النظرية الأساسية في الجبر إن هناك ثلاثة جذور عند العد بالتكرار. يمكن أن تكون هذه الجذور الثلاثة حقيقية، وقد تكون مختلفة، أو قد يكون أحدها متكررًا، أو في الحقيقة قد تكون الجذور الثلاثة جميعها متساوية. إذا كان لدينا جذر واحد غير حقيقي، إذن يجب أن يكون هناك جذر آخر، وهو المرافق المركب لهذا الجذر. فلا يمكن أن يكون هناك جذر واحد غير حقيقي فقط، ويجب أن يكون الجذر الآخر حقيقيًا. لا يمكن أن يكون هناك ثلاثة جذور غير حقيقية فقط لكثيرة حدود معاملاتها حقيقية.

وها هي بعض كثيرات حدود الدرجة الثالثة المحللة. يمكنك التأكد من أنه بعد التوزيع، تكون معاملاتها حقيقية. هذان هما الاحتمالان الوحيدان؛ وهما: إما أن يكون لدينا ثلاثة جذور حقيقية، أو زوج مترافق مركب من الجذور وجذر حقيقي واحد. ومن هنا يمكننا ملاحظة أن كثيرات الحدود من الدرجة الثالثة التي معاملاتها حقيقية، يكون لها على الأقل جذر حقيقي واحد. ويمكننا أن نوضح بالطريقة نفسها أن أي كثيرة حدود درجتها فردية، يكون لها جذر حقيقي واحد على الأقل. يمكن تعميم مفهوم المميز الخاص بكثيرات الحدود من الدرجة الثانية، على كثيرات الحدود من الدرجة الثالثة وكثيرات الحدود الأخرى الأعلى درجة. ولكن المقادير المتضمنة في ذلك ستكون معقدة بعض الشيء وخارج نطاق هذا الفيديو. هيا نر الآن كيف يمكننا استخدام هذا التصنيف لحل المعادلات من الدرجة الثالثة.

إذا كان ﺕ أحد جذور المعادلة ﺱ تكعيب ناقص خمسة ﺱ تربيع زائد ﺱ ناقص خمسة يساوي صفرًا، فأوجد الجذرين الآخرين.

نظرية العوامل الخطية تقول إن ﺱ ناقص ﺕ أحد عوامل كثيرة الحدود هذه. لذا، يمكننا قسمة الطرف الأيمن على هذا العامل لنحصل على كثيرة الحدود من الدرجة الثانية ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ، التي يمكننا حلها بعد ذلك. ويمكننا تسهيل الأمور على أنفسنا باستخدام نظرية الجذور المترافقة التي تنص على أن المرافق المركب لـ ﺕ يجب أن يكون هو أيضًا جذر، بما أننا نتعامل مع كثيرة حدود معاملاتها حقيقية. لذا فمرة أخرى، حسب نظرية العوامل الخطية، ﺱ زائد ﺕ لا بد أن يكون عاملًا من عوامل كثيرة الحدود هذه.

بضرب العاملين المعلومين معًا، نحصل على ﺱ تربيع زائد واحد. ثم يمكننا فك الأقواس بالتوزيع مرة أخرى. وبمقارنة المعاملات؛ يمكننا أن نرى أن قيمة ﻡ هي واحد، وقيمة ﻥ هي سالب خمسة. يمكننا بعد ذلك التعويض بهاتين القيمتين، وتحليل كثيرة الحدود من الدرجة الثالثة إلى ﺱ ناقص ﺕ في ﺱ زائد ﺕ في ﺱ ناقص خمسة. تذكر أننا نبحث عن جذور هذه المعادلة. ويمكننا إيجاد قيمها من الصورة المحللة. نجد أنها خمسة، وسالب ﺕ، وﺕ. في هذه المسألة، اختصرت لنا نظرية الجذور المترافقة بعض الخطوات، لكنها لم تكن ضرورية.

هيا ننتقل الآن إلى معادلات من الدرجة الرابعة، حيث قد يكون استخدام نظرية الجذور المترافقة أساسيًا.

لنصنف جذور كثيرة الحدود من الدرجة الرابعة ذات المعاملات الحقيقية. لدينا معادلة من الدرجة الرابعة بالصورة ﺃﺱ أس أربعة زائد ﺏﺱ تكعيب زائد ﺟﺱ تربيع زائد ﺩﺱ زائد ﻫ يساوي صفرًا. ولأن معاملاتها حقيقية، فإن ﺃ وﺏ وﺟ وﺩ وﻫ يجب أن تكون أعدادًا حقيقية. وفقًا للنظرية الأساسية في الجبر، فإن لكثيرة الحدود من الدرجة الرابعة أربعة جذور عند عد الجذور المتكررة. يمكن أن تكون الجذور الأربعة كلها حقيقية. إذا كان هناك جذر غير حقيقي، فيجب وفقًا لنظرية الجذور المترافقة أن يكون لدينا زوج مترافق مركب. قد يكون الجذران الآخران حقيقيين أو قد يكونان معًا زوجًا مترافقًا مركبًا، لا يختلف بالضرورة عن الزوج الأول.

لاحظ أنه في حين يجب أن يكون لكثيرة الحدود من الدرجة الثالثة ذات المعاملات الحقيقية جذر حقيقي واحد على الأقل، لا ينطبق الأمر نفسه على كثيرات الحدود من الدرجة الرابعة. فكثيرة الحدود التي لها معاملات حقيقية، يكون من المؤكد أن لها جذرًا حقيقيًا واحدًا على الأقل، فقط إذا كانت درجتها فردية. دعونا الآن نر مثالًا على حل معادلة من الدرجة الرابعة بمعلومية أحد جذورها.

إذا كان اثنان زائد ﺕ جذر ثلاثة جذرًا من جذور ﺱ أس أربعة ناقص ١٢ﺱ تكعيب زائد ٥٥ﺱ تربيع ناقص ١٢٠ﺱ زائد ١١٢ يساوي صفرًا، فأوجد جميع الجذور.

لدينا جذر مركب لكثيرة حدود معاملاتها حقيقية. وبالتالي فحسب نظرية الجذور المترافقة، فإن مرافقه المركب اثنين ناقص ﺕ جذر ثلاثة هو أحد جذور هذه المعادلة أيضًا. ها قد أوجدنا جذرين إذن. لكن كيف نوجد الجذرين الآخرين؟ نظرية العوامل الخطية تعطينا عاملين خطيين لكثيرة الحدود من الدرجة الرابعة هذه باستخدام هذين الجذرين. فما الذي يمكننا قوله عن العامل المتبقي؟ حسنًا، يجب أن يكون من الدرجة الثانية حتى يعطينا التوزيع في الطرف الأيسر كثيرة حدود من الدرجة الرابعة مساوية للتي في الطرف الأيمن. جذور هذا العامل التربيعي المجهول هي الجذور المتبقية لمعادلة الدرجة الرابعة التي لدينا. لنعمل الآن على إيجاد هذا العامل التربيعي.

نضرب العاملين الخطيين معًا لنحصل على عامل تربيعي معلوم. ثمة متطابقتان يمكننا استخدامهما لتقليل العمليات الحسابية اللازمة. الآن، يمكننا قسمة كثيرة الحدود التي من الدرجة الرابعة هذه على هذا العامل التربيعي المعلوم لإيجاد العامل التربيعي المجهول. وبدلًا من ذلك، يمكننا التوزيع في الطرف الأيسر بضرب كل حد من حدود القوس الأول في كل حد من حدود القوس الثاني ثم تجميع الحدود المتشابهة. ومن ثم يمكننا مقارنة المعاملات.

على سبيل المثال، معامل ﺱ أس أربعة يشير إلى أن ﺃ يساوي واحدًا. سنعوض، ثم نقارن بين معاملي ﺱ تكعيب، لنجد أن ﺏ ناقص أربعة يساوي سالب ١٢. إذن، ﺏ يساوي سالب ثمانية. نعوض مرة أخرى، ثم نقارن بين معاملي ﺱ تربيع، لنجد أن ﺟ يساوي ١٦. وبالتعويض، نجد أن الطرف الأيسر يساوي الطرف الأيمن بالفعل. أوجدنا العامل التربيعي المجهول. وهو واحد ﺱ تربيع ناقص ثمانية ﺱ زائد ١٦. ويمكننا تحليل ذلك إلى ﺱ ناقص أربعة الكل تربيع. له إذن جذر متكرر هو أربعة. وبالتالي فكثيرة الحدود الأصلية لها هذا الجذر المتكرر.

أما وقد حللنا كثيرة الحدود التي من الدرجة الرابعة، فسنكتب جذورها. إذن، الجذور هي أربعة؛ جذر متكرر مرتين، واثنان زائد ﺕ جذر ثلاثة؛ الجذر المركب المعطى، ومرافقه المركب اثنان ناقص ﺕ جذر ثلاثة.

ها هي النقاط الرئيسية التي تضمنها هذا الفيديو. تنص النظرية الأساسية في الجبر على أن كثيرة الحدود التي درجتها ﻥ لها عدد ﻥ من الجذور، عند عد الجذور المتكررة. وتنص نظرية الجذور المترافقة على أن الجذور غير الحقيقية لكثيرات حدود معاملاتها حقيقية تظهر في صورة أزواج مترافقة مركبة. وينتج عن هاتين النظريتين أنه يمكننا تصنيف طبيعة جذور كثيرات الحدود. يمكننا استخدام نظرية الجذور المترافقة لتساعدنا في حل معادلات من الدرجة الثالثة ومعادلات من الدرجة الرابعة معاملاتها حقيقية. وجميع كثيرات الحدود التي درجتها فردية ومعاملاتها حقيقية يكون لها على الأقل جذر حقيقي واحد.