فيديو السؤال: إيجاد قيمة المقادير الجبرية باستخدام خصائص الجذور التربيعية الرياضيات

إذا كان ﺱ = (٢√٥ + √٢)‏/‏٢√٧، ﺹ =(√٥ − ٣√٢)‏/‏√٤٢، فأوجد قيمة ‪ﺱ^٢ + ﺹ^٢‬‏.

٠٧:٤٥

‏نسخة الفيديو النصية

إذا كان ﺱ يساوي اثنين جذر خمسة زائد جذر اثنين مقسومًا على اثنين جذر سبعة، وﺹ يساوي جذر خمسة ناقص ثلاثة جذر اثنين مقسومًا على جذر ٤٢، فأوجد قيمة ﺱ تربيع زائد ﺹ تربيع.

لحل هذه المسألة، علينا أن نوجد المقدار المكافئ لـ ﺱ تربيع والمقدار المكافئ لـ ﺹ تربيع، ثم نجمع الناتجين. بما أن ﺱ يساوي اثنين جذر خمسة زائد جذر اثنين مقسومًا على اثنين جذر سبعة، إذن ﺱ تربيع يساوي اثنين جذر خمسة زائد جذر اثنين مقسومًا على اثنين جذر سبعة مضروبًا في اثنين جذر خمسة زائد جذر اثنين مقسومًا على اثنين جذر سبعة؛ حيث إن تربيع المقدار يعني ضربه في نفسه. عندما نضرب كسرين، نضرب البسطين معًا والمقامين معًا.

نفك القوسين في الأعلى بتوزيع حدي القوس الأول على حدي القوس الثاني. ضرب الحدين الأولين، اثنين جذر خمسة في اثنين جذر خمسة، يعطينا ٢٠؛ لأن اثنين في اثنين يساوي أربعة، وجذر خمسة في جذر خمسة يساوي خمسة، وأربعة في خمسة يساوي ٢٠. وضرب الطرفين، اثنين جذر خمسة وجذر اثنين، يعطينا اثنين جذر ١٠؛ حيث جذر خمسة في جذر اثنين يساوي جذر ١٠. وعند ضرب الحدين الداخليين، جذر اثنين واثنين جذر خمسة، نحصل على اثنين جذر ١٠. وأخيرًا بضرب الحدين الأخيرين، جذر اثنين في جذر اثنين، نحصل على اثنين.

ضرب المقامين، اثنين جذر سبعة في اثنين جذر سبعة، يعطينا ٢٨؛ لأن اثنين في اثنين يساوي أربعة، وجذر سبعة في جذر سبعة يساوي سبعة؛ وأربعة في سبعة يساوي ٢٨. نبسط البسط عن طريق تجميع الحدود المتشابهة، ما يعطينا ٢٢ زائد أربعة جذر ١٠ مقسومًا على ٢٨. يمكننا تبسيط هذا الكسر عن طريق قسمة البسط والمقام على اثنين. أيًا كان ما ستفعله في البسط، يجب فعله في المقام. قسمة البسط على اثنين تعطينا ١١ زائد اثنين جذر ١٠، وقسمة المقام على اثنين يعطينا ١٤. يمكننا إذن أن نقول: إن ﺱ تربيع يساوي ١١ زائد اثنين جذر ١٠ مقسومًا على ١٤.

نحتاج الآن إلى تكرار العملية مع ﺹ. ‏ﺹ تربيع يساوي جذر خمسة ناقص ثلاثة جذر اثنين مقسومًا على جذر ٤٢ مضروبًا في جذر خمسة ناقص ثلاثة جذر اثنين مقسومًا على جذر ٤٢. مرة أخرى، سنضرب البسطين، ثم سنضرب المقامين كلًا على حدة. مرة أخرى، نفك قوسي البسطين بتوزيع حدي القوس الأول على حدي القوس الثاني. ضرب الحدين الأولين، جذر خمسة في جذر خمسة، يعطينا خمسة. وضرب الطرفين، يعطينا سالب ثلاثة جذر ١٠؛ لأن جذر خمسة في جذر اثنين يساوي جذر ١٠. وعند ضرب الحدين الداخليين، نحصل على سالب ثلاثة جذر ١٠. وأخيرًا، بضرب الحدين الأخيرين، نحصل على ١٨. ثلاثة في ثلاثة يساوي تسعة، وجذر اثنين في جذر اثنين يساوي اثنين، وتسعة في اثنين يساوي ١٨.

من المهم أيضًا ملاحظة أن ضرب عددين سالبين يعطينا عددًا موجبًا. بضرب المقامين، جذر ٤٢ وجذر ٤٢، نحصل على ٤٢. يمكننا بعد ذلك تبسيط البسط عن طريق تجميع الحدود المتشابهة: خمسة زائد ١٨ يساوي ٢٣ وسالب ثلاثة جذر ١٠ ناقص ثلاثة جذر ١٠ يساوي سالب ستة جذر ١٠. إذن، ﺹ تربيع يساوي ٢٣ ناقص ستة جذر ١٠ مقسومًا على ٤٢. لا يمكن تبسيط هذا المقدار. حسنًا، لدينا مقدار لـ ﺱ تربيع وآخر لـ ﺹ تربيع. المطلوب منا في المسألة هو جمع مقدار ﺱ تربيع مع مقدار ﺹ تربيع. بذلك يصبح لدينا ١١ زائد اثنين جذر ١٠ مقسومًا على ١٤ زائد ٢٣ ناقص ستة جذر ١٠ مقسومًا على ٤٢.

لجمع الكسور أو طرحها، علينا التأكد من أن المقامين متساويان. في هذه الحالة، يمكننا ضرب البسط والمقام للكسر الأول في ثلاثة، ما يعطينا مقامًا مشتركًا وهو ٤٢؛ لأن ١٤ مضروبًا في ثلاثة يساوي ٤٢. ضرب بسط المقام الأول في ثلاثة يعطينا ٣٣ زائد ستة جذر ١٠، وضرب المقام في ثلاثة يعطينا ٤٢. عندما يكون لدينا مقام مشترك، فإن كل ما علينا فعله هو جمع البسطين: ٣٣ زائد ٢٣ يساوي ٥٦، وستة جذر ١٠ ناقص ستة جذر ١٠ يساوي صفرًا. يظل المقام ٤٢. إذن، ﺱ تربيع زائد ﺹ تربيع يساوي ٥٦ على ٤٢ أو ٥٦ مقسومًا على ٤٢.

يمكننا تبسيط هذا الكسر من خلال القسمة على عامل مشترك. أكبر عامل مشترك بين ٤٢ و٥٦ هو ١٤. ٥٦ على ١٤ يساوي أربعة؛ لأن أربعة في ١٤ يساوي ٥٦. ٤٢ على ١٤ يساوي ثلاثة؛ لأن ثلاثة في ١٤ يساوي ٤٢. هذا يعني أنه يمكن تبسيط قيمة ﺱ تربيع زائد ﺹ تربيع إلى أربعة أثلاث أو أربعة على ثلاثة. إذن، إذا كان ﺱ يساوي اثنين جذر خمسة زائد جذر اثنين مقسومًا على اثنين جذر سبعة، وﺹ يساوي جذر خمسة ناقص ثلاثة جذر اثنين مقسومًا على جذر ٤٢، فإن ﺱ تربيع زائد ﺹ تربيع يساوي أربعة على ثلاثة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.