فيديو: إثبات صحة المتطابقات المثلثية باستخدام دمج الكسور، والضرب، والتحليل

أحمد مدحت

يوضح الفيديو كيفية إثبات صحة المتطابقات المثلثية باستخدام دمج الكسور، والضرب، والتحليل مع أمثلة توضيحية.

٠٨:١٨

‏نسخة الفيديو النصية

هنتكلّم عن إثبات صحة المتطابقات المثلثية بتلات طرق. الطريقة الأولى: هي دمج الكسور. والطريقة التانية: باستخدام الضرب. والطريقة التالتة: باستخدام التحليل. هنبدأ الأول بإثبات صحة المتطابقات المثلثية، بطريقة دمج الكسور، بس في الصفحة اللي جايّة. هنقلب الصفحة.

لمّا يبقى عندنا متطابقة، وعايزين نثبت صحتها. ويكون موجود في طرف من الطرفين بتوع المتطابقة دي، مقدار بيتكوّن من أكتر من كسر. ومقامات الكسور دي مختلفة. فإحنا بنوجد المقام المشترك بينهم؛ علشان نخلّي المقدار عبارة عن كسر واحد بس. هنشوف مثال نوضّح بيه أكتر، إزّاي نثبت صحة المتطابقة المثلثية، باستخدام دمج الكسور. هيظهر لنا المثال.

عندنا في المثال، عايزين نثبت صحة المتطابقة: اتنين قتا س تساوي واحد على، قتا س زائد ظتا س؛ زائد واحد على، قتا س ناقص ظتا س. بالنسبة للمتطابقة اللي عندنا، هنلاقي إن الطرف الأيسر من المتطابقة هو الطرف الأكثر تعقيدًا. وبالتالي هنبدأ بيه. والطرف الأيسر هو: واحد على، قتا س زائد ظتا س؛ زائد واحد على، قتا س ناقص ظتا س.

بالنسبة للمقدار اللي عندنا، فهنلاقيه بيتكوّن من كسرين. والمقامين بتوع الكسرين دول، مختلفين عن بعض. وبالتالي فإحنا هنعيد كتابة كل كسر، باستخدام المقام المشترك بين الكسرين. وهو: قتا س زائد ظتا س، في قتا س ناقص ظتا س. فلمّا هنعيد كتابة الكسرين اللي عندنا، هنلاقي المقدار بيساوي قتا س ناقص ظتا س على؛ قتا س زائد ظتا س، في قتا س ناقص ظتا س. زائد قتا زائد ظتا س على؛ قتا س زائد ظتا س، في قتا س ناقص ظتا س.

وبما إن الكسرين بقى ليهم نفس المقام، فإحنا نقدر نجمع. وبالتالي المقدار هيساوي اتنين قتا س على؛ قتا س زائد ظتا س، في قتا س ناقص ظتا س. ولمّا هنضرب قتا س زائد ظتا س، في قتا س ناقص ظتا؛ هنلاقي المقدار بيساوي اتنين قتا س على، قتا تربيع س ناقص ظتا تربيع س. ومن متطابقة فيثاغورس، قتا تربيع س ناقص ظتا تربيع س، يساوي واحد. يعني المقدار هيساوي اتنين قتا س على واحد. يعني هيساوي اتنين قتا س.

بكده يبقى إحنا وصلنا للهدف بتاعنا، واللي هو الطرف الأيمن من المتطابقة. يعني أثبتنا صحتها. بعد كده هنشوف إزّاي نثبت صحة المتطابقات المثلثية، باستخدام الضرب. بس في الصفحة اللي جايّة. هنقلب الصفحة.

لمّا يبقى عندنا متطابقة مثلثية، وعايزين نثبت صحتها. وعندنا في طرف من الطرفين بتوعها كسر. ويكون المقام بتاعه على الصورة: واحد زائد أو ناقص ك، أو ك زائد أو ناقص واحد. بحيث إن ك هتمثّل دالة مثلثية. فإحنا هنضرب البسط والمقام بتاع الكسر، في مرافق المقام. وبعد كده هنستخدم متطابقات فيثاغورس. هنشوف مثال نوضّح بيه أكتر، إزّاي نقدر نستخدم الضرب؛ علشان نثبت صحة متطابقة مثلثية.

هيظهر لنا المثال. في المثال اللي عندنا، عايزين نثبت صحة المتطابقة: جا 𝜃 على، واحد ناقص جتا 𝜃، تساوي قتا 𝜃 زائد ظتا 𝜃. في المتطابقة اللي عندنا، هنلاقي الطرفين بتوعها معقدين. لكن هنلاقي إن الطرف الأيمن أكثر تعقيدًا من الطرف الأيسر. وبالتالي هنبدأ بالطرف الأيمن من المتطابقة، واللي هو: جا 𝜃 على، واحد ناقص جتا 𝜃. بالنسبة للمقدار اللي عندنا، فهو عبارة عن كسر، والمقام بتاعه هو واحد ناقص جتا 𝜃. وبالتالي هنضرب في مرافق المقام بسطًا ومقامًا.

بالنسبة لمرافق المقام، فهو واحد زائد جتا 𝜃. وبالتالي هنضرب المقدار اللي عندنا بسطًا ومقامًا، في واحد زائد جتا 𝜃. فلمّا هنضرب، هنلاقي المقدار بيساوي جا 𝜃 في، واحد زائد جتا 𝜃؛ على واحد ناقص جتا تربيع 𝜃. ومن متطابقات فيثاغورس، واحد ناقص جتا تربيع 𝜃 بتساوي جا تربيع 𝜃. يعني المقدار هيساوي جا 𝜃 في، واحد زائد جتا 𝜃؛ على جا تربيع 𝜃. ولو قسمنا البسط والمقام على جا 𝜃، هنلاقي المقدار بيساوي واحد زائد جتا 𝜃، على جا 𝜃.

بعد كده هنكتب الكسر واحد زائد جتا 𝜃، على جا 𝜃، في صورة مجموع كسرين. وبالتالي المقدار هيساوي واحد على جا 𝜃، زائد جتا 𝜃 على جا 𝜃. ومن متطابقات المقلوب، واحد على جا 𝜃 بيساوي قتا 𝜃. ومن المتطابقات النسبية، جتا 𝜃 على جا 𝜃 بيساوي ظتا 𝜃. يعني المقدار هيساوي قتا 𝜃 زائد ظتا 𝜃. واللي هو المقدار اللي موجود في الطرف الأيسر. وبالتالي يبقى إحنا أثبتنا صحة المتطابقة.

وإحنا بنثبت صحة المتطابقات، مش لازم في كل مرة نبدأ بالطرف الأكثر تعقيدًا. فمثلًا نقدر نحل المثال ده، من خلال إن إحنا نبدأ بالطرف الأيسر، بدل من الطرف الأيمن. وبرضو هنقدر نثبت المتطابقة. فهنشوف إزّاي نقدر نثبت صحة المتطابقة اللي عندنا، لمّا هنبدأ بالطرف الأيسر، بس في الصفحة اللي جايّة. هنقلب الصفحة.

الطرف الأيسر هو قتا 𝜃 زائد ظتا 𝜃. من متطابقات المقلوب، قتا 𝜃 بتساوي واحد على جا 𝜃. ومن المتطابقات النسبية، ظتا 𝜃 بتساوي جتا 𝜃 على جا 𝜃. وبالتالي قتا 𝜃 زائد ظتا 𝜃 بتساوي واحد على جا 𝜃، زائد جتا 𝜃 على جا 𝜃. هنلاقي إن إحنا عندنا كسرين ليهم نفس المقام، يعني نقدر نجمع. فهنلاقي المقدار بيساوي واحد زائد جتا 𝜃، على جا 𝜃. بعد كده هنضرب الكسر واحد زائد جتا 𝜃 على جا 𝜃، بسطًا ومقامًا في واحد ناقص جتا 𝜃. فلمّا هنضرب، هنلاقي المقدار بيساوي واحد ناقص جتا تربيع 𝜃، على جا 𝜃 في واحد ناقص جتا 𝜃.

ومن متطابقات فيثاغورس، واحد ناقص جتا تربيع 𝜃 بيساوي جا تربيع 𝜃. يعني المقدار هيساوي جا تربيع 𝜃 على؛ جا 𝜃، في واحد ناقص جتا 𝜃. ولمّا هنبسّط الكسر اللي عندنا، هنلاقي المقدار بيساوي جا 𝜃، على واحد ناقص جتا 𝜃. واللي هو الطرف الأيمن من المتطابقة. وبالتالي يبقى إحنا أثبتنا صحة المتطابقة.

في مسائل إثبات صحة المتطابقة، ما نقدرش نفرض إن الطرفين بتوع المعادلة متساويين، لحدّ ما نثبت المتطابقة. وبالتالي ما نقدرش نستخدم خواص المساواة، علشان نعمل عمليات جبرية على طرفَي المعادلة. زيّ مثلًا إضافة نفس الكمية للطرفين بتوع المعادلة. بعد كده هنشوف إزّاي نثبت صحة المتطابقة، باستخدام التحليل، بس في الصفحة اللي جايّة. هنقلب الصفحة.

لمّا يبقى عندنا متطابقة، ويكون في طرف من الطرفين بتوعها مقدار بيحتوي على أسس. فإحنا هنحاول إن إحنا نثبت صحة المتطابقة دي، من خلال استخدام التحليل. هبندأ نوضّح أكتر من خلال مثال. هيظهر لنا المثال. في المثال اللي، عندنا عايزين نثبت صحة المتطابقة: ظتا 𝜃 قا 𝜃 قتا تربيع 𝜃، ناقص ظتا تكعيب 𝜃 قا 𝜃، يساوي قتا 𝜃. هنبدأ بالطرف الأيمن من المتطابقة. في الطرف الأيمن من المتطابقة، هنلاقي موجود عامل مشترك، وهو ظتا 𝜃 قا 𝜃. فهنحلّل الطرف الأيمن، بإخراج العامل المشترك، ظتا 𝜃 قا 𝜃. فلمّا هنحلّل، هنلاقي المقدار بيساوي ظتا 𝜃 قا 𝜃 في، قتا تربيع 𝜃 ناقص ظتا تربيع 𝜃.

ومن متطابقات فيثاغورس، قتا تربيع 𝜃 ناقص ظتا تربيع 𝜃، بيساوي واحد. يعني المقدار هيساوي … يعني المقدار هيساوي ظتا 𝜃 قا 𝜃. ومن المتطابقات النسبية، ظتا 𝜃 بتساوي جتا 𝜃 على جا 𝜃. ومن متطابقات المقلوب، قا 𝜃 تساوي واحد على جتا 𝜃. وبالتالي المقدار هيساوي جتا 𝜃 على جا 𝜃، في واحد على جتا 𝜃. ولمّا هنضرب، هنلاقي المقدار بيساوي واحد على جا 𝜃. ومن متطابقات المقلوب، واحد على جا 𝜃 بيساوي قتا 𝜃. وبالتالي المقدار هيساوي قتا 𝜃. وَ قتا 𝜃 بتمثّل الطرف الأيسر من المتطابقة. يعني إحنا أثبتنا صحة المتطابقة.

بكده يبقى إحنا في الفيديو ده، عرفنا إزّاي نثبت صحة المتطابقات المثلثية بتلات طرق. الطريقة الأولى: هي دمج الكسور. والطريقة التانية: باستخدام الضرب. والطريقة التالتة: باستخدام التحليل. وكنا لمّا بنثبت صحة متطابقة مثلثية، بنبدأ بالطرف المعقّد أكتر من المتطابقة. وبنحوّله للطرف الأبسط، اللي موجود في الطرف التاني. كمان كنا بنستخدم المتطابقات المثلثية الأساسية. زيّ مثلًا متطابقات المقلوب، وكمان المتطابقات النسبية، وغيرها من المتطابقات المثلثية الأساسية.

كمان كنا بنستخدم العمليات الجبرية المختلفة. زيّ مثلًا دمج الكسور، وكمان إعادة كتابة الكسر، في صورة مجموع أو الفرق بين كسرين. وكان لو عندنا كسر مقامه على الصورة: واحد زائد أو ناقص ك، أو ك زائد أو ناقص واحد؛ بحيث إن ك دي بتمثّل دالة مثلثية. كنا بنحوّله لحدّ وحيد، باستخدام المرافق، ومتطابقة فيثاغورس. ولو كانت المتطابقة اللي عندنا، في طرف من الطرفين بتوعها، مقدار بيحتوي على أسس؛ كنا بنستخدم التحليل.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.