فيديو السؤال: إيجاد جذور عدد سالب في الصورة المثلثية للأعداد المركبة الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

أوجد الجذور الرباعية للعدد سالب واحد، واكتب الإجابة في الصورة المثلثية.

عندما يطلب منا إيجاد الجذور الرباعية لسالب واحد، يكون المطلوب منا بالأساس هو حل المعادلة ﻉ أس أربعة يساوي سالب واحد. يمكننا استخدام نظرية ديموافر للجذور لفعل ذلك. ولكن قبل أن نفعل ذلك، علينا كتابة العدد سالب واحد على الصورة المثلثية أو القطبية. الجزء الحقيقي من العدد سالب واحد هو سالب واحد، والجزء التخيلي هو صفر. إذن، نمثله على مخطط أرجاند بالنقطة ذات الإحداثيات الديكارتية سالب واحد، صفر. مقياس هذا العدد هو طول القطعة المستقيمة التي تصل بين هذه النقطة ونقطة الأصل. ونلاحظ أن طولها وحدة واحدة. وعليه، ﻝ يساوي واحدًا.

أما السعة فهي قياس الزاوية التي تكونها هذه القطعة المستقيمة مع محور الأعداد الحقيقية الموجبة بالقياس عكس اتجاه عقارب الساعة. نلاحظ أنها تساوي ‏𝜋‏ راديان. أي إن 𝜃، أو سعة العدد سالب واحد، تساوي ‏𝜋‏. إذن، على الصورة القطبية أو الصورة المثلثية، العدد واحد يساوي واحدًا في جتا ‏𝜋‏ زائد ‎ﺕ جا ‏𝜋‏.

والآن، نحن جاهزون لاستخدام نظرية ديموافر لإيجاد الجذور. وتنص على أنه لأي عدد مركب على الصورة ‎ﻝ جتا 𝜃 زائد ‎ﺕ جا 𝜃، فإن الجذور ﻥ تساوي ﻝ أس واحد على ﻥ في جتا 𝜃 زائد اثنين ‏𝜋‏ﻙ على ﻥ زائد ‎ﺕ جا 𝜃 زائد اثنين ‏𝜋‏ﻙ على ﻥ. وﻙ نفسه يأخذ القيم الصحيحة من صفر حتى ﻥ ناقص واحد. الآن، علينا إيجاد الجذور الرباعية لسالب واحد. بتطبيق نظرية ديموافر على المقياس يصبح لدينا مقياس جديد لواحد أس ربع، وهذا يساوي واحدًا ببساطة. ثم نطبق نظرية ديموافر لإيجاد الجذور على بقية المقدار بالطبع، باستخدام 𝜃 تساوي ‏𝜋‏. وبما أننا نوجد الجذور الرباعية للعدد، إذن ﻥ يساوي أربعة، وعليه، يصبح التعبير هو واحد في جتا ‏𝜋‏ زائد اثنين ‏𝜋‏ﻙ على أربعة زائد ‎ﺕ جا ‏𝜋‏ زائد اثنين ‏𝜋‏ﻙ على أربعة. لكننا بالطبع لن نكتب الواحد الذي يقع في مقدمة هذا التعبير.

بما أن ﻥ يساوي أربعة، فسنختار قيم ﻙ من صفر إلى أربعة ناقص واحد، أي ثلاثة. دعونا إذن نفرغ بعض المساحة ونعوض بكل قيمة لـﻙ في الصيغة العامة بالترتيب. عند ﻙ يساوي صفرًا، نحصل على الجذر جتا ‏𝜋‏ زائد صفر على أربعة زائد ‎ﺕ جا ‏𝜋‏ زائد صفر على أربعة، وهو ما يمكن تبسيطه إلى جتا ‏𝜋‏ على أربعة زائد ‎ﺕ جا ‏𝜋‏ على أربعة. أما عند ﻙ يساوي واحدًا، نحصل على الجذر جتا ‏𝜋‏ زائد اثنين ‏𝜋‏ على أربعة زائد ‎ﺕ جا ‏𝜋‏ زائد اثنين ‏𝜋‏ على أربعة. وهذا بالطبع يعطينا السعة ثلاثة ‏𝜋‏ على أربعة. نعوض بعد ذلك عن ﻙ باثنين. ونحصل على ‏𝜋‏ زائد اثنين ‏𝜋‏ في اثنين، أي إن السعة تساوي ‏𝜋‏ زائد أربعة ‏𝜋‏ على أربعة. إذن، الجذر الثالث لدينا يساوي جتا خمسة ‏𝜋‏ على أربعة زائد ‎ﺕ جا خمسة ‏𝜋‏ على أربعة.

وأخيرًا، نعوض بـ ﻙ يساوي ثلاثة في الصيغة العامة للجذور الرباعية لسالب واحد. ونحصل على جتا سبعة ‏𝜋‏ على أربعة زائد ‎ﺕ جا سبعة ‏𝜋‏ على أربعة. يمكننا ترك الإجابة على هذه الصورة، لكن المعتاد هو كتابة السعة بدلالة السعة الأساسية. السعة الأساسية هي القيمة الوحيدة للسعة التي تقع في الفترة المفتوحة من اليمين والمغلقة من اليسار سالب ‏𝜋‏ إلى ‏𝜋‏. ولتكون السعة ضمن هذا النطاق، علينا ببساطة جمع مضاعفات اثنين ‏𝜋‏ على السعة المعطاة أو طرحها منها.

إذن في أحد الجذور، علينا طرح اثنين ‏𝜋‏ من خمسة ‏𝜋‏ على أربعة. يمكننا كتابة اثنين ‏𝜋‏ على الصورة ثمانية ‏𝜋‏ على أربعة. إذن لدينا خمسة ‏𝜋‏ على أربعة ناقص ثمانية ‏𝜋‏ على أربعة وهو ما يساوي سالب ثلاثة ‏𝜋‏ على أربعة. لاحظ أن هذا يقع في نطاق السعة الأساسية. وبالمثل، علينا طرح اثنين ‏𝜋‏ من السعة سبعة ‏𝜋‏ على أربعة، وهو ما يساوي سالب ‏𝜋‏ على أربعة. وبهذا، نكون قد أعدنا كتابة التعبيرين ﻉ ثلاثة وﻉ أربعة كما هو موضح.

لا يهم حقًّا كيف نعرف كلًّا من الجذرين. وهكذا لتكون إجابات هذا السؤال متسقة، سنبدل صيغتي حل ﻉ ثلاثة وﻉ أربعة. وبهذا نكون قد أوجدنا الجذور الرباعية لسالب واحد. وهي جتا ‏𝜋‏ على أربعة زائد ‎ﺕ جا ‏𝜋‏ على أربعة، وجتا ثلاثة ‏𝜋‏ على أربعة زائد ‎ﺕ جا ثلاثة ‏𝜋‏ على أربعة، وجتا سالب ‏𝜋‏ على أربعة زائد ‎ﺕ جا سالب ‏𝜋‏ على أربعة، وجتا سالب ثلاثة ‏𝜋‏ على أربعة زائد ‎ﺕ جا سالب ثلاثة ‏𝜋‏ على أربعة.