فيديو السؤال: استخدام المحددات لحساب مساحة متوازي الأضلاع الرياضيات

لدينا متوازي أضلاع؛ حيث (١‎، ٣)، (٣‎، ٠)، (−١‎، ٢) هي ثلاثة من رءوسه. أكمل الآتي: مساحة متوازي الأضلاع تساوي _ وحدة مربعة.

٠٨:٥٣

‏نسخة الفيديو النصية

لدينا متوازي أضلاع؛ حيث واحد، ثلاثة؛ وثلاثة، صفر؛ وسالب واحد، اثنان هي ثلاثة من رءوسه. أكمل الآتي: مساحة متوازي الأضلاع تساوي فراغ وحدة مربعة.

في هذا السؤال، المطلوب تحديد مساحة متوازي الأضلاع، حيث لدينا إحداثيات ثلاثة من رءوسه. في البداية، قد يبدو هذا صعبًا لأن متوازي الأضلاع له أربعة رءوس، ومعلوم لدينا ثلاثة فقط من هذه الرءوس. لكن هناك في الواقع عدة طرق مختلفة للإجابة عن هذا السؤال. على سبيل المثال، يمكننا رسم النقاط الثلاثة على شكل بياني ثم استخدام حقيقة أن مساحة متوازي الأضلاع تساوي طول القاعدة في الارتفاع العمودي. وعلى الرغم من أن هذه الطريقة ستنجح وتعطينا الإجابة الصحيحة، فسنستعرض بدلًا منها طريقتين مختلفتين للإجابة باستخدام المحددات.

أولًا، يمكننا تذكر الصيغة العامة لإيجاد مساحة متوازي الأضلاع باستخدام المحددات. إذا كان لدينا أي ثلاثة رءوس من متوازي الأضلاع — لنفترض أنها ﺱ واحد، ﺹ واحد، وﺱ اثنان، ﺹ اثنان؛ وﺱ ثلاثة، ﺹ ثلاثة — إذن، فمساحة الشكل تساوي القيمة المطلقة لمحدد المصفوفة التي رتبتها ثلاثة في ثلاثة: ﺱ واحد، ﺹ واحد، واحد؛ ﺱ اثنان، ﺹ اثنان، واحد؛ ﺱ ثلاثة، ﺹ ثلاثة، واحد. ونظرًا لأن لدينا إحداثيات ثلاثة رءوس لمتوازي الأضلاع، يمكننا استخدام هذه الصيغة لتحديد مساحته. نعوض بإحداثيات النقاط الثلاث في الصيغة. المساحة هي القيمة المطلقة لمحدد المصفوفة التي رتبتها ثلاثة في ثلاثة: واحد، ثلاثة، واحد؛ ثلاثة، صفر، واحد؛ سالب واحد، اثنان، واحد.

من الجدير بالذكر هنا أنه لا يهم كيف نرتب النقاط الثلاث. يمكننا كتابتها بأي ترتيب في الصيغة بما أن أي ترتيب لن يشكل فارقًا إلا في تغيير إشارة المحدد. وحيث إننا سنحسب القيمة المطلقة لهذا المحدد، فلن يؤثر الترتيب على المساحة. والآن، كل ما علينا فعله هو إيجاد قيمة هذا التعبير. ولنفعل ذلك، علينا إيجاد قيمة محدد المصفوفة التي رتبتها ثلاثة في ثلاثة. وهناك العديد من الطرق المختلفة لإجراء ذلك، ويمكننا استخدام الطريقة التي نفضلها. في هذا الفيديو، سوف نفك المحدد باستخدام العمود الثاني لأنه يحتوي على صفر.

قبل البدء في الحل، يجب أن نحدد إشارة هذه المفكوكات الثلاثة بناء على الزوجية والفردية. ستكون سالبًا، موجبًا، ثم سالبًا؛ حيث نحصل على إشارة سالبة عندما يكون رقم الصف زائد رقم العمود فرديًّا، وإشارة موجبة عندما يكون رقم الصف زائد رقم العمود زوجيًّا. نحن الآن مستعدون للفك باستخدام هذا العمود. بفك الحد الأول في هذا العمود، نحصل على سالب ثلاثة مضروبًا في محدد المصفوفة التي رتبتها اثنان في اثنين: ثلاثة، واحد؛ سالب واحد، واحد. وبعد ذلك، سنفك باستخدام الحد الثاني في هذا العمود. إلا أنه يحتوي على العامل صفر، إذن هذا الحد يساوي صفرًا.

لذا، سننتقل إلى الحد الثالث. فنحصل على سالب اثنين مضروبًا في محدد المصفوفة التي رتبتها اثنان في اثنين: واحد، واحد؛ ثلاثة، واحد. بعد ذلك، لا تنس أننا نحسب المساحة، لذا علينا أخذ القيمة المطلقة لهذا التعبير. والآن، لم يتبق لدينا سوى إيجاد قيمة هذا التعبير. تذكر أنه لإيجاد قيمة محدد مصفوفة رتبتها اثنان في اثنين، علينا إيجاد الفرق بين حاصل ضرب القطرين. على سبيل المثال، المحدد: ثلاثة، واحد؛ سالب واحد، واحد يساوي ثلاثة في واحد ناقص واحد في سالب واحد، وهو ما يساوي ثلاثة زائد واحد. ومحدد المصفوفة الثانية يساوي واحد ناقص ثلاثة.

هذا يعطينا القيمة المطلقة لسالب ثلاثة في ثلاثة زائد واحد ناقص اثنين في واحد ناقص ثلاثة، وهو ما يمكن تبسيطه ليصبح لدينا القيمة المطلقة لسالب ١٢ زائد أربعة، وهي القيمة المطلقة لسالب ثمانية، وبالحساب تساوي ثمانية.

وهذا يكفي للإجابة عن السؤال. إذن مساحة متوازي الأضلاع تساوي ثماني وحدات مربعة. ولكن هناك طريقة أخرى يمكننا استخدامها لإيجاد قيمة هذه المساحة باستخدام المحددات. فبدلًا من الطريقة الأولى، يمكننا تذكر أن مساحة متوازي الأضلاع الذي له رأس عند نقطة الأصل ورأسان آخران عند النقطتين ﺃ، ﺏ؛ وﺟ، ﺩ تساوي القيمة المطلقة لمحدد المصفوفة التي رتبتها اثنان في اثنين: ﺃ، ﺏ؛ ﺟ، ﺩ. وهذه نتيجة مفيدة للغاية. فمن الأسهل كثيرًا حساب قيمة محدد المصفوفة التي رتبتها اثنان في اثنين. ولكن، يجب أن يكون أحد الرءوس عند نقطة الأصل. وفي هذا السؤال، لا يوجد أي من الرءوس الثلاثة المعطاة لدينا عند نقطة الأصل. لذا في البداية، قد لا نعتقد أن بإمكاننا تطبيق هذه الخاصية.

لكننا نعرف أن انتقال متوازي الأضلاع لن يؤثر على مساحته. في الواقع، لن يؤثر انتقال أي شكل على مساحته. ولذا، إذا نظرنا إلى إحدى النقاط، على سبيل المثال، ثلاثة، صفر، فسنجد أنها تقع على بعد ثلاث وحدات يمين نقطة الأصل. وهذا يعني أنه إذا نقلنا جميع رءوس متوازي الأضلاع هذا بمقدار ثلاث وحدات إلى اليسار، فسيكون أحد رءوسه عند نقطة الأصل، ويمكننا تطبيق هذه الصيغة. لذا، سنوجد مساحة متوازي الأضلاع هذا بنقل الرءوس ثلاث وحدات إلى اليسار أولًا. أولًا، النقطة التي إحداثياتها واحد، ثلاثة ستنتقل إلى النقطة التي إحداثياتها واحد ناقص ثلاثة، ثلاثة، والتي بعد حسابها تساوي سالب اثنين، ثلاثة.

بعد ذلك، لن نحتاج إلى إجراء ذلك على النقطة ثلاثة، صفر؛ لأننا نعرف بالفعل أن هذا سينقلها إلى نقطة الأصل. إذن، بدلًا من ذلك، دعونا ننقل الرأس الثالث الذي لدينا — أي النقطة سالب واحد، اثنين — ثلاث وحدات إلى اليسار. علينا طرح ثلاثة من الإحداثي ﺱ لها. وهذا يعطينا النقطة سالب أربعة، اثنين. لدينا الآن متوازي أضلاع له رأس عند نقطة الأصل. ونعرف اثنين من رءوسه الأخرى، وهما النقطتان سالب اثنين، ثلاثة؛ وسالب أربعة، اثنان. وستكون هذه هي الإحداثيات ﺃ وﺏ وﺟ وﺩ في الصيغة لدينا. وكما هو الحال في الصيغة السابقة، تجدر الإشارة إلى أنه يمكننا ترتيب هذه الرءوس بأي ترتيب نريده. فهذا لن يغير قيمة المساحة. وفي الحقيقة، كان بإمكاننا أيضًا نقل أي من هذه الرءوس إلى نقطة الأصل.

في هذه الحالة، نجد أن المساحة تساوي القيمة المطلقة لمحدد المصفوفة التي رتبتها اثنان في اثنين: سالب اثنين، ثلاثة، سالب أربعة، اثنان. والآن، لم يتبق لدينا سوى إيجاد قيمة هذا التعبير. لإيجاد قيمة محدد مصفوفة رتبتها اثنان في اثنين، علينا إيجاد الفرق بين حاصل ضرب القطرين. هذا يساوي سالب اثنين في اثنين ناقص ثلاثة في سالب أربعة، وهو ما يساوي سالب أربعة زائد ١٢. يمكن تبسيط ذلك ليصبح لدينا القيمة المطلقة لسالب أربعة زائد ١٢، وهي القيمة المطلقة لثمانية، وهو ما يساوي ثمانية، وهو ما يتفق مع الإجابة السابقة. ومن ثم، نكون قد تمكنا من إيجاد مساحة متوازي الأضلاع الذي ثلاثة من رءوسه هي: واحد، ثلاثة؛ وثلاثة، صفر؛ وسالب واحد، اثنان، والتي تساوي ثماني وحدات مربعة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.