فيديو الدرس: شروط تشابه المثلثات الرياضيات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحدد المثلثات المتشابهة باستخدام مسلمة التشابه بزاويتين، ومسلمة التشابه بثلاثة أضلاع.

٢١:٣٣

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحدد المثلثات المتشابهة باستخدام مسلمة التشابه بزاويتين أو مسلمة التشابه بثلاثة أضلاع.

أول ما علينا فعله هو أن نتذكر أن الأشكال المتشابهة تكون فيها جميع الزوايا المتناظرة متطابقة أو متساوية في القياس، وجميع الأضلاع المتناظرة أطوالها متناسبة. لاحظ أنها تختلف عن الأشكال المتطابقة؛ لأن الأشكال المتطابقة تكون فيها الزوايا المتناظرة متساوية في القياس، والأضلاع المتناظرة متساوية في الطول. أما الأشكال المتشابهة، فالأضلاع فيها متناسبة. ولذا، فإنه فيما يتعلق بتحديد المثلثات المتشابهة، هناك بعض الطرق المختصرة التي يمكننا استخدامها بدلًا من محاولة إثبات أن جميع الزوايا متطابقة، وأن جميع الأضلاع المتناظرة أطوالها متناسبة. لنبدأ بالتركيز على الزوايا.

في المثلثين المرسومين هنا، نلاحظ أن هناك ثلاثة أزواج من الزوايا المتناظرة متطابقة. لنلق نظرة على المثلث الأكبر. لنفترض أننا نحدد نقطة على هذا المثلث الأكبر على نفس الضلع المناظر للضلع في المثلث الأصغر، وأننا نرسم خطًّا يوازي قاعدة هذا المثلث. إذا نظرنا إلى الزوايا، فبما أن لدينا خطين متوازيين وقاطعين، سيكون لدينا زوجان من الزوايا المتناظرة المتساوية في القياس. تنص نظرية التناسب في المثلثات على أنه إذا وازى مستقيم ضلعًا من أضلاع المثلث، وقطع ضلعيه الآخرين، فإنه يقسمه إلى قطع مستقيمة متناظرة أطوالها متناسبة.

ولذا، إذا أسمينا رءوس المثلث الأكبر ﺃﺏﺟ، ورءوس المثلث الأصغر ﺩﻫﻭ، فسنقول إن طول الضلع ﺃﺏ يتناسب مع طول الضلع ﺩﻫ، كما يتناسب طول الضلع ﺃﺟ مع طول الضلع ﺩﻭ، الذي سيحقق بدوره التناسب نفسه بين الضلعين ﺏﺟ وﻫﻭ. ومن ثم، فإنه من خلال إثبات أن الزوايا الثلاث متطابقة، سنثبت أيضًا أن الأضلاع المتناظرة أطوالها متناسبة.

في الواقع، هناك طريقة أسهل من توضيح أن الزوايا الثلاث متطابقة. وهذا لأنه بمعلومية قياس زاويتين فقط، وبما أن مجموع قياسات زوايا المثلث يساوي ١٨٠ درجة، فإننا نعلم أنه إذا كان لدينا زوجان متطابقان من الزوايا المتناظرة في مثلث، فلا بد أن الزاوية الثالثة في كلا المثلثين متطابقة أيضًا. ومن ثم، إذا أردنا إثبات تشابه مثلثين، فإننا نحتاج إلى استخدام مسلمة تشابه زاويتين فقط لإثبات تطابق زوجين من الزوايا المتناظرة.

بعد ذلك، لنفكر في أضلاع هذين المثلثين. يمكن كتابة نسبة ﻥﻕ على ﻙﻝ على صورة: ستة على ثمانية. ويمكن كتابة نسبة ﻥﺭ على ﻙﻡ على صورة: ٧٫٥ على ١٠. وأخيرًا، ﻕﺭ على ﻝﻡ سيساوي نسبة تسعة على ١٢. يمكن تبسيط جميع تلك النسب الثلاث إلى ثلاثة أرباع. ومن ثم، فإن للأضلاع النسبة نفسها. وكما رأينا أعلاه، إذا كانت الأضلاع متناسبة، فستكون أزواج الزوايا المتناظرة متطابقة. وهذا ما يسمى بمسلمة التشابه بثلاثة أضلاع، وهي التي تعني أنه إذا أثبتنا أن أزواج الأضلاع المتناظرة متناسبة، فإننا نثبت بذلك أن لدينا مثلثين متشابهين.

تذكر عدم الخلط بين مسلمة التشابه بثلاثة أضلاع التي قد نستخدمها مع المثلثات المتطابقة، والتي علينا في هذه الحالة استخدامها لإثبات أن المثلثات متطابقة. أما بالنسبة إلى المثلثات المتشابهة، فإننا نستخدم مسلمة التشابه بثلاثة أضلاع لإثبات أن الأضلاع متناسبة.

في الأسئلة التالية، سنستخدم أيًّا من هاتين المسلمتين لمساعدتنا في تحديد المثلثات المتشابهة. لنلق نظرة على السؤال الأول.

بالنظر إلى الأشكال الأربعة الآتية، ما الشكلان المتشابهان؟

في هذا السؤال، لدينا أربعة أشكال مختلفة، أطوال أضلاعها محددة بالكامل. ومطلوب منا تحديد الأشكال المتشابهة من بينها. ونتذكر أنه في الأشكال المتشابهة تكون الزوايا المتناظرة متطابقة أو متساوية في القياس، والأضلاع المتناظرة أطوالها متناسبة. وليس لدينا أي معلومات بخصوص زوايا هذه المثلثات الأربعة. لنلق إذن نظرة على الأضلاع.

نلاحظ أنه من بين هذه المثلثات الأربعة، لدينا مثلثان يبدو أنهما متشابهان. الشكلان اثنان وأربعة، يبدو أنهما مثلثان متساويا الساقين، والشكل واحد والشكل ثلاثة يبدو أيضًا أنهما شكلان متشابهان. ولكن علينا التحقق من كل زوج من المثلثات لمعرفة ما إذا كانت الأضلاع المتناظرة متناسبة أم لا. لنبدأ بالمثلثين متساويي الساقين، وهما الشكلان اثنان وأربعة. لنأخذ ضلعين متناظرين.

يمكننا القول إذن إن النسبة هنا هي ١٢ في المثلث الأكبر على سبعة في المثلث الأصغر. هل هذه النسبة تساوي نسبة طولي الضلعين الآخرين، وهما: ثمانية في المثلث الأكبر، وخمسة في المثلث الأصغر؟ لكي نتمكن من المقارنة بين هذين الكسرين بسهولة، دعونا نوحد المقام. لتحويل ١٢ على سبعة إلى كسر على ٣٥، علينا ضرب البسط والمقام في خمسة، وهو ما يعطينا القيمة ٦٠ في البسط. في الطرف الأيسر، علينا ضرب البسط والمقام في سبعة. لكن كما نرى، ٦٠ على ٣٥ لا يساوي ٥٦ على ٣٥. إذن الشكلان اثنان وأربعة غير متشابهين.

لنتحقق من الشكلين واحد وثلاثة. بكتابة النسب عن طريق وضع أطوال أضلاع المثلث الأصغر في البسط، وأطوال أضلاع المثلث الأكبر في المقام، سنحصل على القيم: أربعة أثمان، وثلاثة أسداس، وخمسة أعشار. علينا أن نلاحظ أن جميع هذه الكسور يمكن تبسيطها إلى نصف. وبذلك نكون قد أثبتنا أن هذه الأزواج الثلاثة من الأضلاع المتناظرة متناسبة في الطول، وبذلك تنطبق مسلمة التشابه بثلاثة أضلاع للمثلثات المتشابهة. إذن، الإجابة هي أنه من بين هذه الأشكال الأربعة، الشكلان واحد وثلاثة متشابهان.

لنلق نظرة على سؤال آخر.

هل المثلثان الموجودان في الشكل متشابهان؟

لنبدأ بتذكر أن المثلثين المتشابهين تكون فيهما الزوايا المتناظرة متطابقة، والأضلاع المتناظرة متناسبة. إذا نظرنا إلى المثلث الأصغر ﺃﺩﻫ، والمثلث الأكبر ﺃﺏﺟ؛ فلن يبدو أن هذين المثلثين لهما الشكل نفسه. ولكن، لنر ما إذا كان بإمكاننا إثبات ذلك رياضيًّا، تحسبًا لاحتمال عدم رسم المثلثين بشكل صحيح. لإثبات تشابه مثلثين، يمكننا أن نتذكر أننا نستخدم مسلمة التشابه بزاويتين لإثبات أن زوجين من الزوايا متطابقان، أو مسلمة التشابه بثلاثة أضلاع لإثبات أن ثلاثة أزواج من الأضلاع المتناظرة أطوالها متناسبة. ليس لدينا معلومات كافية عن الزوايا، ولذا دعونا ننظر ما إذا كان يمكننا استخدام مسلمة التشابه بثلاثة أضلاع.

علينا التحقق من وجود النسبة نفسها أو التناسب نفسه بين أطوال الأضلاع المتناظرة. على سبيل المثال، هل نسبة طول الضلع ﺃﻫ على طول الضلع ﺃﺟ هي نفسها نسبة طول الضلع ﺃﺩ على طول الضلع ﺃﺏ وهي نفسها نسبة طول الضلع ﻫﺩ على طول الضلع ﺟﺏ؟ يمكننا التعويض بالقيم العددية لأطوال الأضلاع في معطيات كل ضلع. ولكن بما أننا لا نعرف أبعاد الضلعين ﻫﺩ وﺟﺏ، فلن نتمكن من إثبات تشابه المثلثين. لكن إذا كانت النسبة بين طولي الضلعين ﺃﻫ وﺃﺟ مختلفة عن النسبة بين طولي الضلعين ﺃﺩ وﺃﺏ، يمكننا إثبات أنهما غير متشابهين. لنلق نظرة هنا.

طول ﺃﻫ يساوي ٤٦ سنتيمترًا. لكن انتبه، فطول ﺃﺟ لا يساوي ٣٢٫٢، بل هو مجموع ٤٦ و٣٢٫٢، أي ٧٨٫٢. ‏ﺃﺩ يساوي ٢٢، وﺃﺏ هو مجموع ٢٢ و٢٤٫٢ سنتيمترًا، أي ٤٦٫٢ سنتيمترًا. علينا الآن مقارنة هذين الكسرين لنر ما إذا كانا متساويين أم لا. يمكننا البدء بحذف هذه العلامة العشرية من المقام. ويمكننا إجراء ذلك عن طريق ضرب كل من البسط والمقام في ١٠. وبقسمة البسط والمقام على ٤٦، نبسط ٤٦٠ على ٧٨٢ إلى ١٠ على ١٧. وبقسمة البسط والمقام ٢٢٠ على ٤٦٢ على ٢٢، نحصل على الكسر ١٠ على ٢١. نلاحظ إذن أن هاتين النسبتين غير متساويتين. إذن الأضلاع غير متناسبة. إذا كانت الأضلاع غير متناسبة، فلن يكون المثلثان متشابهين. إذن الإجابة هي: لا.

قبل أن ننتهي من حل هذه المسألة، علينا أن نشير إلى نقطة. إذا وجدنا أن ﺃﻫ على ﺃﺟ يساوي ﺃﺩ على ﺃﺏ، فإننا نحتاج إلى قيمتي ﻫﺩ وﺟﺏ أيضًا. وبما أنه لا يكفي فقط إثبات أن هناك ضلعين متناسبين، فسيكون علينا إثبات أن هناك ثلاثة أزواج من الأضلاع المتناظرة متناسبة. في هذا السؤال، لم يهمنا أننا لم نعرف طولي هذين الضلعين الآخرين؛ لأن ما لدينا من معطيات كان كافيًا لإثبات أن هذين المثلثين غير متشابهين.

في السؤال التالي، سنرى ما إذا كان يمكننا تطبيق مسلمة التشابه بزاويتين لإثبات التشابه بين مثلثين.

يوضح الشكل مثلثين. هل المثلثان متشابهان؟ لماذا؟

في هذا السؤال، مطلوب منا معرفة ما إذا كان هذان المثلثان متشابهين أم لا. يمكننا تذكر أن المثلثين المتشابهين تكون فيهما الزوايا المتناظرة متطابقة، والأضلاع المتناظرة متناسبة. لنلق نظرة إذن على زوايا هذين المثلثين. هناك زاوية قائمة قياسها ٩٠ درجة في كل مثلث. وأحد المثلثين يحتوي على زاوية قياسها ٦٠ درجة، ويحتوي الثاني على زاوية قياسها ٣٠ درجة. ولكن، إذا تذكرنا أن مجموع قياسات زوايا المثلث يساوي ١٨٠ درجة، فسيمكننا إذن حساب الزاوية الثالثة في كل مثلث.

في المثلث العلوي، ٦٠ زائد الزاوية القائمة التي قياسها ٩٠ درجة يساوي ١٥٠ درجة، وبطرح ذلك من ١٨٠ درجة، نحصل على ٣٠ درجة. وفي المثلث السفلي، ٩٠ درجة زائد ٣٠ يساوي ١٢٠ درجة، ويتبقى لدينا زاوية قياسها ٦٠ درجة. ما نلاحظه هو أن لدينا ثلاثة أزواج من الزوايا المتساوية في القياس. لدينا زاويتان قياس كل منهما ٣٠ درجة، وزاويتان قياس كل منهما ٦٠ درجة، وزاويتان قياس كل منهما ٩٠ درجة. وبذلك، نكون قد أثبتنا أن الأزواج الثلاثة من الزوايا المتناظرة متطابقة. لكن في الواقع، كل ما نحتاج إليه هو إثبات أن هناك زوجين من الزوايا المتناظرة متطابقان لنثبت أن المثلثين متشابهان.

إذن الإجابة عن السؤال «هل المثلثان متشابهان؟» هي: نعم. للإجابة عن السؤال الثاني «لماذا؟»، يمكننا القول إنه إذا حسبت قياس الزاوية الثالثة في أحد المثلثين، فستجد أن المثلثين يشتركان في زاويتين. ومن ثم، ووفقًا لمسلمة التشابه بزاويتين، سيكون المثلثان متشابهين.

يوضح الشكل مثلثين: ﺃﺏﺟ وﺃ شرطة ﺏ شرطة ﺟ شرطة. احسب قياس الزاوية ﺃﺏﺟ. ما الذي توضحه مسلمة التشابه بزاويتين فيما يتعلق بهذين المثلثين؟

في هذا السؤال، لدينا مثلثان مرسومان على شبكة. الأمر الأول المطلوب منا هو حساب قياس الزاوية ﺃﺏﺟ الموجودة في المثلث الأصغر. ولكي نحسبها، علينا أن نتذكر أن مجموع قياسات زوايا المثلث يساوي ١٨٠ درجة. علينا إذن أن نحسب قياس ١٨٠ درجة ناقص قياسي الزاويتين الأخريين اللتين قياساهما ١١٤٫٣ درجة و٣٤٫١ درجة، وهو ما يعطينا ٣١٫٦ درجة. وهذه هي الإجابة عن حساب قياس الزاوية ﺃﺏﺟ.

في الجزء الثاني من هذا السؤال، سئلنا عن مسلمة التشابه بزاويتين، وهي المسلمة التي نستخدمها لإثبات تشابه مثلثين. وهي ما نستخدمه أيضًا لإثبات أن هناك زوجين من الزوايا متطابقان. لنلق نظرة أقرب على هذين المثلثين. للزاوية ﺃﺏﺟ، التي حسبنا للتو أن قياسها ٣١٫٦ درجة، زاوية مناظرة هي الزاوية ﺃ شرطة ﺏ شرطة ﺟ شرطة، ولها القيمة نفسها، أي ٣١٫٦ درجة. كما أن لدينا زوجًا آخر من الزوايا المتناظرة المتطابقة، وهو الزاوية ﺟ شرطة ﺃ شرطة ﺏ شرطة، والزاوية ﺟﺃﺏ، وقياس كل منهما ٣٤٫١ درجة. وبإثبات أن هناك زوجين من الزوايا المتناظرة متطابقان أو مسلمة التشابه بزاويتين، نثبت أن هذين المثلثين متشابهان.

يمكننا إذن الإجابة عن الجزء الثاني من السؤال بعبارة كالتالية: بما أن المثلثين يحتويان على زاويتين متساويتين في القياس، فلابد أنهما متشابهان.

لنلق نظرة الآن على سؤال أخير.

المثلثان ﺃﺏﺟ وﺃ شرطة ﺏ شرطة ﺟ شرطة في الشكل الآتي‎ متشابهان. أوجد قيمة ﺱ.

نعلم أن هذين المثلثين متشابهان. يعني هذا أن الزوايا المتناظرة متطابقة، والأضلاع المتناظرة متناسبة. وعند النظر إلى المثلثين، فإن هذا قد يعني أن الزاوية عند ﺏ تطابق الزاوية عند ﺏ شرطة لأن هاتين الزاويتين متناظرتان. والزاويتان ﺟ وﺟ شرطة متطابقتان، والزاويتان ﺃ وﺃ شرطة متطابقتان.

نعرف قياسي الزاويتين ﺃ وﺃ شرطة. إذن يمكننا أن نكتب أن خمسة ﺱ زائد ٩٠ على ستة لا بد أن يساوي ثلاثة ﺱ زائد ٣٢٠ على ستة. يمكننا حل المعادلة لإيجاد قيمة ﺱ. بضرب هذين الكسرين في ستة، نحصل على: خمسة ﺱ زائد ٩٠ يساوي ثلاثة ﺱ زائد ٣٢٠. بطرح ثلاثة ﺱ من كلا الطرفين، نحصل على: اثنان ﺱ زائد ٩٠ يساوي ٣٢٠. وبطرح ٩٠ من كلا الطرفين، نحصل على: اثنان ﺱ يساوي ٢٣٠. وأخيرًا، بالقسمة على اثنين نحصل على: ﺱ يساوي ١١٥. وبهذا، تكون الإجابة أن قيمة ﺱ تساوي ١١٥. لا نحتاج إلى وضع علامة الدرجة لأنها كانت جزءًا من تعريف الزاوية ﺃ وﺃ شرطة.

يمكننا التحقق من الإجابة بالتعويض بقيمة ﺱ في المعادلة، وإيجاد أن قياس الزاوية ﺏﺃﺟ١١٠٫٨٣ درجات، وكذلك الزاوية ﺏ شرطة ﺃ شرطة ﺟ شرطة.

يمكننا الآن تلخيص ما تعلمناه في هذا الفيديو. أولًا، رأينا أن المثلثات المتشابهة تكون فيها أزواج الزوايا المتناظرة متطابقة، وأزواج الأضلاع المتناظرة متناسبة. يمكننا إثبات أن المثلثات متشابهة باستخدام مسلمة التشابه بزاويتين، وفيها يكون هناك زوجان من الزوايا المتناظرة متطابقين. كما يمكننا إثبات أن المثلثات متشابهة باستخدام مسلمة التشابه بثلاثة أضلاع، التي تنص على أن جميع أزواج الأضلاع الثلاثة المتناظرة تكون متناسبة. تذكر أن كل ما نحتاج لإثباته هو أن الأضلاع المتناظرة أطوالها متناسبة، ولا نحتاج إلى إثبات أنها متطابقة. كما علينا أن نتذكر أنه عند حل هذه المسائل، يمكن أن تكون المثلثات متشابهة حتى وإن كانت في اتجاه مختلف.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.