نسخة الفيديو النصية
ﻡﺃﺏﺟ هرم منتظم تمثل قاعدته ﺃﺏﺟ مثلثًا متساوي الأضلاع طول ضلعه ٣٢ سنتيمترًا. إذا كان طول الحرف الجانبي للهرم ٨٨ سنتيمترًا، فأوجد ارتفاعه لأقرب جزء من مائة.
دعونا نبدأ برسم شكل للهرم ﻡﺃﺏﺟ هذا. علمنا من المعطيات أن ﺃﺏﺟ مثلث متساوي الأضلاع؛ إذن فإن طول كل ضلع من أضلاعه يساوي ٣٢ سنتيمترًا. علمنا أيضًا أن طول الحرف الجانبي يساوي ٨٨ سنتيمترًا. لذا، على سبيل المثال: يمكننا القول: إن طول ﻡﺃ يساوي ٨٨ سنتيمترًا. ارتفاع هذا الهرم هو المسافة العمودية من الرأس ﻡ إلى مركز المثلث الموجود في القاعدة. ومن ثم، نلاحظ أنه يمكننا تكوين هذا المثلث القائم الزاوية داخل الهرم. المطلوب حساب ﻉ؛ أي الارتفاع العمودي. ونعلم أن طول الحرف الجانبي ٨٨ سنتيمترًا. لذا إذا استطعنا إيجاد هذا الطول من الرأس ﺃ إلى مركز المثلث في القاعدة، فسنتمكن من حساب قيمة ﻉ. دعونا نفكر في كيفية حساب هذه المسافة من ﺃ إلى المركز.
لنرسم شكلًا ثنائي الأبعاد لقاعدة الهرم، وهو المثلث المتساوي الأضلاع ﺃﺏﺟ. في الهرم، سنشير إلى هذه المسافة من الرأس ﺃ إلى المركز بـ ﺱ سنتيمتر. وفي قاعدة الهرم، تقع هذه المسافة هنا في هذا المثلث المتساوي الأضلاع. إذا مددنا هذا الخط الوردي، فسنكون قد كونا أحد متوسطات المثلث المتساوي الأضلاع؛ لأن مركز المثلث يكون عند نقطة تقاطع متوسطات المثلث الثلاثة. إذن، هناك أمران علينا إيجادهما. علينا أولًا إيجاد طول المتوسط، ثم إيجاد طول ﺱ.
الخاصية الأولى التي يمكننا استخدامها وتذكرها هي أن متوسط المثلث المتساوي الأضلاع هو عمود منصف. هذا يعني أن الضلع ﺏﺟ ينقسم إلى جزأين متطابقين، ويلتقي هذا المتوسط مع الضلع ﺏﺟ مكونًا زاويتين قائمتين. إذن بمعلومية طول هذا الضلع في المثلث المتساوي الأضلاع، تصبح لدينا المعلومات الكافية لتطبيق نظرية فيثاغورس اللازمة لإيجاد طول المتوسط. بما أن طول ضلع المثلث المتساوي الأضلاع يساوي ٣٢ سنتيمترًا، فإن طول ﺃﺏ يساوي ٣٢ سنتيمترًا. وعليه، يجب أن يساوي الطول من ﺏ إلى نقطة تنصيف ﺏﺟ نصفًا في ٣٢ سنتيمترًا؛ أي ١٦ سنتيمترًا. سنشير إلى الطول من ﺃ إلى نقطة تنصيف الضلع ﺏﺟ بـ ﻙ سنتيمتر.
تنص نظرية فيثاغورس على أن مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين. في هذا المثلث، لدينا طولا ضلعين هما ١٦ سنتيمترًا وﻙ سنتيمتر؛ يمكن أن يمثلا ﺃ وﺏ، ولدينا طول الوتر ٣٢ سنتيمترًا. بالتعويض بهذه القيم في نظرية فيثاغورس، يصبح لدينا ١٦ تربيع زائد ﻙ تربيع يساوي ٣٢ تربيع. بحساب قيم هذه المربعات يصبح لدينا ٢٥٦ زائد ﻙ تربيع يساوي ١٠٢٤. وبإعادة ترتيب ذلك عن طريق طرح ٢٥٦ من كلا طرفي المعادلة، يصبح لدينا ﻙ تربيع يساوي ٧٦٨. بأخذ الجذر التربيعي لكلا الطرفين، نجد أن ﻙ يساوي الجذر التربيعي لـ٧٦٨. يمكننا ترك الناتج على صورة الجذر التربيعي لـ٧٦٨ أو تبسيطه ليصبح ١٦ جذر ثلاثة. إذا حولنا الناتج إلى عدد عشري، فلن نقربه الآن؛ لأننا سنحتاج إلى استخدامه في العمليات الحسابية التالية.
لقد حسبنا طول المتوسط ووجدنا أنه يساوي ١٦ جذر ثلاثة سنتيمتر. وما زلنا بحاجة إلى حساب المسافة ﺱ، وهي نسبة من هذا المتوسط. في الواقع، تخبرنا نظرية مركز المثلث بهذه النسبة. تنص هذه النظرية على أن المسافة من كل رأس إلى مركز المثلث تساوي ثلثي طول المتوسط من هذا الرأس. بذلك يصبح لدينا هنا ﺱ يساوي ثلثي ١٦ جذر ثلاثة سنتيمتر. يمكننا بعد ذلك ضرب ثلثين في ١٦ جذر ثلاثة، وهو يعطينا ٣٢ جذر ثلاثة على ثلاثة سنتيمتر. بذلك نكون قد توصلنا إلى أن ﺱ يساوي ٣٢ جذر ثلاثة على ثلاثة سنتيمتر.
بالعودة إلى الهرم، نلاحظ أن لدينا الآن هذا المثلث القائم الزاوية الذي نعرف فيه طولي ضلعين؛ ومن ثم يمكننا حساب ارتفاعه ﻉ. سنفرغ بعض المساحة لإجراء هذه العملية الحسابية. قد يساعدنا أن نرسم شكلًا منفصلًا لهذا المثلث الموجود داخل الهرم. لدينا هنا مثلث طول الوتر فيه ٨٨ سنتيمترًا، وطول قاعدته ٣٢ جذر ثلاثة على ثلاثة سنتيمتر، وطول ضلعه ﻉ. بتطبيق نظرية فيثاغورس، يصبح لدينا ﻉ تربيع زائد ٣٢ جذر ثلاثة على ثلاثة تربيع يساوي ٨٨ تربيع. عند تربيع القيم هنا، إذا أخذنا هذا الحد الذي قيمته ٣٢ جذر ثلاثة على ثلاثة وقمنا بتربيعه، فسيكون لدينا في البسط ٣٢ تربيع مضروبًا في جذر ثلاثة تربيع؛ الذي يساوي ثلاثة، مقسومًا على ثلاثة تربيع.
يمكن تبسيط ٣٠٧٢ على تسعة ليصبح لدينا ١٠٢٤ على ثلاثة. في الطرف الأيسر ٨٨ تربيع يساوي ٧٧٤٤. نعيد الترتيب بعد ذلك بطرح ١٠٢٤ على ثلاثة من كلا الطرفين، فيصبح لدينا ﻉ تربيع يساوي ٢٢٢٠٨ على ثلاثة. نأخذ بعد ذلك الجذر التربيعي لكلا الطرفين، فنحصل على ﻉ يساوي الجذر التربيعي لـ٢٢٢٠٨ على ثلاثة. في هذه المرحلة علينا أن نتحقق من الصورة المطلوبة للإجابة. وبما أن المطلوب إيجاد الناتج لأقرب جزء من مائة، فعلينا إيجاد عدد عشري مقرب. هذا سيساوي ٨٦٫٠٣٨٧ سنتيمترًا مع توالي الأرقام. بتقريب ذلك لأقرب جزء من مائة، نحصل على الإجابة وهي أن ارتفاع هذا الهرم يساوي ٨٦٫٠٤ سنتيمترًا لأقرب جزء من مائة.
