فيديو السؤال: فهم نهاية دالة عند نقطة ما الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أي الجمل الآتية ليست هي نفس الجملة التي تقول إن النهاية عندما يقترب ﺱ من ثمانية لـ ﺩ ﺱ تساوي ثلاثة؟ هل هي الخيار [أ] يمكننا جعل ﺩ(ﺱ) أقرب كما نريد من ثلاثة بأخذ ﺱ قريبًا بما يكفي من ثمانية. أم الخيار [ب] قيمة ﺩ عند ثلاثة تساوي قيمة ﺩ عند ثمانية. أم الخيار [ج] كلما اقترب ﺱ أكثر فأكثر من ثمانية، اقتربت ﺩ(ﺱ) أكثر فأكثر من ثلاثة. أم الخيار [د] ﺩ(ﺱ) تقترب من ثلاثة عندما يقترب ﺱ من ثمانية؟

في هذا السؤال لدينا أربع جمل، وعلينا تحديد أي هذه الجمل الأربع ليست هي نفس الجملة التي تقول إن النهاية عندما يقترب ﺱ من ثمانية لـ ﺩ ﺱ تساوي ثلاثة. للإجابة على هذا السؤال، دعونا نبدأ بتذكر ما نعنيه بقيمة نهاية دالة عند نقطة ما. لعلنا نتذكر أنه إذا كانت قيم ﺩ ﺱ تقترب من قيمة محددة ﻝ عندما تقترب قيم ﺱ من قيمة ما ﺃ من أي من الجهتين، ولكن ليس بالضرورة عندما يكون ﺱ مساويًا لـ ﺃ، فإننا نقول إن النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ لـ ﺩ ﺱ تساوي ﻝ. يمكننا استخدام هذا التعريف مباشرة للإجابة عن السؤال. لكن، دعونا نبدأ بالتعويض عن قيمتي ﺃ وﻝ في التعريف بالقيمتين المعطاتين في السؤال.

نحن نوجد النهاية عندما يقترب ﺱ من ثمانية للدالة ﺩ ﺱ، وعليه سنجعل قيمة ﺃ تساوي ثمانية. نعلم أن هذه النهاية تساوي ثلاثة، لذا سنجعل قيمة ﻝ تساوي ثلاثة. وعليه يمكننا إعادة كتابة التعريف لدينا. وهو ينص الآن على أنه بما أن النهاية عندما يقترب ﺱ من ثمانية لـ ﺩ ﺱ تساوي ثلاثة عندما تقترب قيم ﺱ من ثمانية من أي من الجهتين، ولكن ليس بالضرورة عندما يكون ﺱ مساويًا لثمانية، فإن قيم ﺩ ﺱ يجب أن تقترب من ثلاثة. وهذا مفيد جدًّا؛ لأنه يمكننا ملاحظة أن هذه العبارة تماثل ثلاثة خيارات من الخيارات المعطاة.

أولًا، يمكننا جعل ﺩ ﺱ أقرب كما نريد من ثلاثة بأخذ ﺱ قريبًا بما يكفي من ثمانية. هذه نتيجة مباشرة للتعريف لدينا. فقيم ﺩ ﺱ تقترب من ثلاثة عندما تقترب قيم ﺱ من ثمانية. وبما أن ﺩ ﺱ تقترب من ثلاثة، فيمكننا جعلها أقرب كما نريد بأخذ ﺱ قريبًا بما يكفي من ثمانية. ومن ثم، فإن الخيار (أ) يماثل تمامًا القول إن النهاية عندما يقترب ﺱ من ثمانية لـ ﺩ ﺱ تساوي ثلاثة.

يمكننا ملاحظة أن الأمر نفسه ينطبق على الخيار (ج). فهو يماثل تمامًا القول إن النهاية عندما يقترب ﺱ من ثمانية لـ ﺩ ﺱ تساوي ثلاثة. إنه مماثل تمامًا لما هو مذكور في التعريف. ليس علينا سوى أن نلاحظ أمرًا واحدًا. عندما نقول إن قيم ﺱ تقترب أكثر فأكثر من ثمانية، فهذا يعني أن ﺱ يمكن أن يقترب من أي من الجهتين، ولا نحتاج إلى معرفة ما سيحدث عندما يكون ﺱ مساويًا لثمانية. وهذا مماثل تمامًا للتعريف لدينا. وبما أن قيم ﺱ تقترب من ثمانية من أي من الجهتين، ولكن ليس بالضرورة عندما يكون ﺱ مساويًا لثمانية، فإن قيم ﺩ ﺱ تقترب من ثلاثة.

وأخيرًا، نلاحظ في الخيار (د) أن ﺩ ﺱ تقترب من ثلاثة عندما يقترب ﺱ من ثمانية. مرة أخرى، هذا مماثل للتعريف الموضح. إذن، هذا الخيار يماثل أيضًا القول إن النهاية عندما يقترب ﺱ من ثمانية لـ ﺩ ﺱ تساوي ثلاثة. وبذلك، نجد أن هذا يكفي للإجابة عن السؤال. فهذه الخيارات الثلاثة متماثلة. إذن، الخيار (ب) لا بد أن يكون مختلفًا. ولكن، لمزيد من التحقق، دعونا نثبت ذلك.

تقول هذه الجملة إن قيمة ﺩ لثلاثة يجب أن تساوي قيمة ﺩ عند ثمانية. وبالطبع، يمكننا على الفور ملاحظة بعض الأخطاء هنا. على سبيل المثال، لا توضح لنا هذه الجملة أي معلومات عن قيم ﺩ ﺱ عندما تقترب قيم ﺱ أكثر فأكثر من ثمانية. ويمكننا أن نلاحظ أيضًا في التعريف أننا لا نحتاج إلى معرفة قيمة الدالة عندما يساوي ﺱ ثمانية. وذلك لأن القيمة الفعلية لـ ﺩ عند ثمانية لن تؤثر على النهاية عندما يقترب ﺱ من ثمانية لـ ﺩ ﺱ . على وجه التحديد، لا يجب أن تكون الدالة لدينا معرفة عند ﺱ يساوي ثمانية.

إذن، معرفة أن النهاية عندما يقترب ﺱ من ثمانية لـ ﺩ ﺱ تساوي ثلاثة لن تعطينا أي معلومات عن قيمة الدالة عند ثمانية أو قيمة الدالة عند ثلاثة. ومن ثم، يمكننا القول إن الخيار (ب) الذي ينص على أن قيمة ﺩ عند ثلاثة تساوي قيمة ﺩ عند ثمانية لا يماثل القول إن النهاية عندما يقترب ﺱ من ثمانية لـ ﺩ ﺱ تساوي ثلاثة.