فيديو السؤال: المحددات وقابلية المصفوفات للعكس الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

هل المصفوفة ثلاثة، واحد، سالب ثلاثة، سالب واحد قابلة للعكس؟

أول ما يتعين علينا فعله هو أن نسأل أنفسنا ما معنى «قابلة للعكس»؟ حسنًا، يقال إن المصفوفة قابلة للعكس أو غير منفردة، وهذا اسم آخر لها، إذا كان لها معكوس. حسنًا، يمكننا استخدام المحدد لنعرف ما إذا كانت المصفوفة قابلة للعكس حقًّا أم لا.

لنفكر في المصفوفة ﺃ التي تتكون من ﺃ، ﺏ، ﺟ، ﺩ. حسنًا، لدينا صورة عامة لمعكوس تلك المصفوفة، وهي: واحد على ﺃﺩ ناقص ﺏﺟ مضروبًا في المصفوفة ﺩ، سالب ﺏ، سالب ﺟ، ﺃ. بشرط أن ﺃﺩ ناقص ﺏﺟ لا يساوي صفرًا. وذلك لأنه إذا كان ﺃﺩ ناقص ﺏﺟ يساوي صفرًا، فإن ناتج واحد على ﺃﺩ ناقص ﺏﺟ سيساوي قيمة غير معرفة. كيف سيساعدنا ذلك عندما نذكر المحدد؟

حسنًا، نعلم أن محدد المصفوفة ﺃ يساوي محدد ﺃ، ﺏ، ﺟ، ﺩ، وهو ما يساوي ﺃﺩ ناقص ﺏﺟ. إذا نظرنا إلى ما سبق، فسنجد أن هذا المقدار هو ﺃﺩ ناقص ﺏﺟ، الموجود أسفل الواحد. كما نعلم أنه بالنسبة للمعكوس، ﺃﺩ ناقص ﺏﺟ لا يمكن أن يساوي صفرًا. إذن، بإمكاننا أن نخمن أن المصفوفة لا بد أن تكون قابلة للعكس إذا كانت قيمة محدد المصفوفة ﺃ لا تساوي صفرًا. حسنًا، هذا رائع! أصبحنا نعرف الآن ما علينا فعله. دعونا نر ما إذا كانت المصفوفة قابلة للعكس حقًّا أم لا.

أول ما علينا فعله هو إيجاد قيمة محدد المصفوفة ثلاثة، واحد، سالب ثلاثة، سالب واحد. ما سنفعله أولًا هو ضرب ﺃ في ﺩ، أي العنصر العلوي الأيمن في العنصر السفلي الأيسر، أي ثلاثة مضروبًا في سالب واحد. ثم نطرح واحدًا مضروبًا في سالب ثلاثة. وهو العنصر العلوي الأيسر مضروبًا في العنصر السفلي الأيمن. نحصل من هذا على سالب ثلاثة ناقص سالب ثلاثة. حسنًا، عند طرح عدد سالب، تصبح الإشارة موجبة، إذن يصبح لدينا سالب ثلاثة زائد ثلاثة. وعليه، نحصل على الناتج صفر.

وسيساعدنا هذا في تحديد ما إذا كانت المصفوفة قابلة للعكس أم لا. يمكننا القول إن المصفوفة ثلاثة، واحدًا، سالب ثلاثة، سالب واحد غير قابلة للعكس. وذلك لأنها منفردة. إذن، ليس لها معكوس. وعرفنا ذلك لأن محدد هذه المصفوفة يساوي صفرًا.