نسخة الفيديو النصية
إذا كان ﻝ وﻡ جذري المعادلة ﺱ تربيع زائد ١٠ﺱ زائد تسعة يساوي صفرًا، فما قيمة ﻝ تربيع زائد ﻡ تربيع؟
لحل هذه المسألة، علينا إيجاد ﻝ وﻡ. هذا يعني أنه علينا إيجاد جذري المعادلة. وتوجد عدة طرق يمكننا من خلالها فعل ذلك. على سبيل المثال، يمكننا التحليل واستخدام القانون العام وإكمال المربع، بالإضافة إلى طرق أخرى يمكننا استخدامها أيضًا. في هذا السؤال، يمكننا استخدام الطريقة الأولى التي ذكرناها للتو. وهذه الطريقة هي التحليل؛ لأنه بالنظر إلى المعادلة، نلاحظ أنه يمكننا تحليل ما لدينا هنا.
عندما نريد تحليل معادلة تربيعية، فإننا نوجد قيمتين. ويجب أن تحقق هاتان القيمتان أمرين. أولًا: مجموعهما يجب أن يساوي معامل ﺱ. وفي هذه المعادلة، هذا يساوي موجب ١٠ ؛ لأنه علينا أن نتذكر الإشارة. ثانيًا: حاصل ضربهما يجب أن يعطينا القيمة العددية الموجودة في الحد الأخير، وهي في هذه المعادلة موجب تسعة.
عند تحليل معادلة تربيعية، نحصل على مجموعتين من الأقواس. وداخل كل قوسين، القيمة الأولى هي ﺱ. هذا لأن الحد الأول في المعادلة التربيعية لدينا هو ﺱ تربيع. لذا، إذا كان لدينا ﺱ مضروبًا في ﺱ، فهذا يعطينا ﺱ تربيع. يعتمد الحدان الآتيان داخل الأقواس على مجموع العددين اللذين ذكرناهما للتو وحاصل ضربهما.
في هذه المسألة، نلاحظ أن العددين هما موجب تسعة وموجب واحد. هذا لأن تسعة مضروبًا في واحد يساوي تسعة. ولأن هذا العدد موجب، فيجب أن يكون كلاهما إما موجبًا أو سالبًا. لكننا نعلم أن كليهما لا يمكن أن يكون سالبًا؛ لأننا إذا جمعنا تسعة وواحدًا، فسنحصل على موجب ١٠.
حسنًا، لقد حللنا المعادلة التربيعية لدينا. لكن هل هذا يعني أننا أوجدنا حلها؟ لا؛ لأننا علينا الآن إيجاد الجذرين. جذرا المعادلة أو حلاها هما سالب تسعة وسالب واحد. نحن نعلم أن الجذرين سيساويان سالب تسعة وسالب واحد؛ لأنهما يجب أن يساويا قيمة ﺱ التي تجعل كل قوسين لدينا يساويان صفرًا. ذلك لأنه في الطرف الأيسر، لدينا صفر. وهذا يعني أن قوسين من الأقواس لدينا يجب أن يساويا صفرًا. سالب تسعة زائد تسعة يساوي صفرًا، وسالب واحد زائد واحد يساوي صفرًا.
والآن، سنجعل ﻝ يساوي سالب تسعة وﻡ يساوي سالب واحد؛ لأن هذين هما جذرا المعادلة لدينا. ما نريده الآن هو إيجاد قيمة ﻝ تربيع زائد ﻡ تربيع. ولأننا نحاول إيجاد قيمة ﻝ تربيع زائد ﻡ تربيع، فلا يهم ترتيب قيمتي ﻝ وﻡ. بذلك، نحصل على ﻝ تربيع زائد ﻡ تربيع يساوي سالب تسعة تربيع زائد سالب واحد تربيع، وهذا يعطينا ٨١ زائد واحد. هذا لأن حاصل ضرب قيمة سالبة في قيمة سالبة يساوي قيمة موجبة. لذا، حصلنا على ٨١ زائد واحد.
إذن، يمكننا قول إنه إذا كان ﻝ وﻡ جذري المعادلة ﺱ تربيع زائد ١٠ﺱ زائد تسعة يساوي صفرًا، فإن قيمة ﻝ تربيع زائد ﻡ تربيع تساوي ٨٢. وبذلك، نكون قد توصلنا إلى الإجابة النهائية.
لكن ما سنفعله الآن هو التحقق من صحة هذه الإجابة. وسنتحقق من ذلك باستخدام طريقة أخرى لحل المعادلة. هذه الطريقة تسمى «القانون العام». الطريقة التي سنستخدمها للتحقق من ذلك هي القانون العام. والقانون العام هو طريقة لحل المعادلات التربيعية.
ينص هذا القانون على أن ﺱ يساوي سالب ﺏ زائد أو ناقص الجذر التربيعي لـ ﺏ تربيع ناقص أربعة ﺃﺝ على اثنين ﺃ. وهذا عندما يكون لدينا معادلة تربيعية على الصورة ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺝ يساوي صفرًا. حسنًا، نلاحظ من المعادلة التربيعية لدينا أن ﺃ يساوي واحدًا؛ لأن معامل ﺱ تربيع هو واحد، وﺏ يساوي ١٠، وﺝ يساوي تسعة. في طريقة التحقق هذه، سنعوض بالقيم التي لدينا في القانون العام. عندما نفعل ذلك، نحصل على ﺱ يساوي سالب ١٠ زائد أو ناقص الجذر التربيعي لـ ١٠ تربيع ناقص أربعة مضروبًا في واحد مضروبًا في تسعة على اثنين مضروبًا في واحد.
إذن، نقول إن ﺱ يساوي سالب ١٠ زائد أو ناقص الجذر التربيعي لـ ١٠٠ ناقص ٣٦ على اثنين. وهكذا، نجد أن ﺱ يساوي سالب ١٠ زائد ثمانية على اثنين أو سالب ١٠ ناقص ثمانية على اثنين، وهذا يعطينا حلين وهما إما ﺱ يساوي سالب واحد أو سالب تسعة، وقد حصلنا على هذين الحلين بالفعل باستخدام الطريقة الأولى. إذن، هذه الإجابة صحيحة بالتأكيد. ولا نحتاج إلى إكمال بقية خطوات الحل؛ لأننا سنحصل على الإجابة نفسها. وبذلك، نتأكد أن الإجابة الصحيحة هي ٨٢.
