نسخة الفيديو النصية
عبر عن المعادلتين الآنيتين الآتيتين في صورة معادلة مصفوفية: اثنان ﺃ ناقص ثلاثة ﺏ يساوي أربعة، وسالب خمسة ﺃ زائد ستة ﺏ يساوي سالب سبعة.
في هذا السؤال، لدينا معادلتان آنيتان، ومطلوب منا التعبير عنهما في صورة معادلة مصفوفية. لفعل ذلك، دعونا نبدأ بتذكر الصورة القياسية لمعادلة مصفوفية لمعادلتين آنيتين خطيتين. إنها الصورة ﺃ في ﺱ يساوي ﺝ، حيث ﺃ وﺱ وﺝ مصفوفات. في هذه الحالة، ستكون المصفوفة ﺃ مصفوفة المعاملات. وهي مصفوفة معاملات المتغيرين في المعادلتين الآنيتين لدينا. بعد ذلك، ستكون المصفوفة ﺱ مصفوفة المتغيرات. وهي هنا تتضمن ﺃ وﺏ. وأخيرًا، تعرف المصفوفة ﺝ باسم «مصفوفة الحل أو مصفوفة الثوابت». وهي المصفوفة التي تتضمن القيمتين الثابتتين اللتين تحلان المعادلتين الآنيتين. ومصفوفة الحل هنا هي أربعة، سالب سبعة.
يمكننا استخدام ذلك للتعبير عن المعادلتين الآنيتين مباشرة في صورة معادلة مصفوفية. نبدأ بكتابة مصفوفة المعاملات، حيث من المهم الاحتفاظ بإشارات معاملات المتغيرين. وتجدر الإشارة هنا إلى أن كل متغير في المعادلتين الآنيتين لدينا سيعطينا عمودًا إضافيًّا في مصفوفة المعاملات، وكل معادلة آنية مختلفة ستعطينا صفًّا مختلفًا. لدينا هنا متغيران في معادلتين، ومن ثم سنحصل على مصفوفة معاملات من الرتبة اثنان في اثنين. إنها المصفوفة من الرتبة اثنان في اثنين، وعناصرها هي اثنان، سالب ثلاثة، سالب خمسة، ستة.
بعد ذلك، علينا ضرب هذه المصفوفة في المصفوفة ﺱ، وهي مصفوفة المتغيرات. وهي المصفوفة التي تتضمن ﺃ وﺏ. من المهم أن نتذكر أننا نكتب ذلك دائمًا على صورة مصفوفة عمود؛ لأن علينا ضرب ذلك من الطرف الأيمن في مصفوفة المعاملات لنحصل على المعادلتين الآنيتين. على سبيل المثال، لضرب مصفوفتين معًا، نضرب العناصر المتناظرة من صفي المصفوفة الأولى في عمود المصفوفة الثانية ونجمع حاصل ضربهما معًا. من الصف الأول في المصفوفة الأولى والعمود الأول في المصفوفة الثانية، نحصل على اثنين ﺃ ناقص ثلاثة ﺏ، وهو الطرف الأيمن من المعادلة الآنية الأولى.
قبل الانتقال إلى مصفوفة الحل، ثمة أمر آخر تجدر الإشارة إليه. يمكننا ضرب هاتين المصفوفتين معًا، لأن مصفوفة المعاملات هي مصفوفة من الرتبة اثنان في اثنين، ومصفوفة المتغيرات هي مصفوفة من الرتبة اثنان في واحد. وبما أن عدد أعمدة المصفوفة الأولى يساوي عدد صفوف المصفوفة الثانية، يمكننا ضرب هاتين المصفوفتين معًا. وسيكون الناتج مصفوفة من الرتبة اثنان في واحد. يمكن أن يساعدنا هذا في تذكر أو إثبات أن مصفوفة الحل ستكون أيضًا مصفوفة عمودًا. سيكون كل عنصر في مصفوفة الحل هو حل كل من المعادلتين الآنيتين. وهذان العنصران هما أربعة وسالب سبعة.
هذا يعطينا المعادلة المصفوفية الموضحة، وهي المصفوفة من الرتبة اثنان في اثنين، وعناصرها هي اثنان، سالب ثلاثة، سالب خمسة، ستة؛ مضروبة في المصفوفة من الرتبة اثنان في واحد، وعنصراها هما ﺃ، وﺏ؛ تساوي المصفوفة من الرتبة اثنان في واحد، وعنصراها هما أربعة، سالب سبعة.
يمكننا التحقق من أن هذه معادلة مصفوفية صحيحة للمعادلتين الآنيتين لدينا عن طريق إيجاد حاصل ضرب المصفوفتين. لاحظنا بالفعل كيف يبدو ذلك في الصف الأول من المصفوفة الأولى. إذن، هيا نستخدم الصف الثاني من المصفوفة الأولى. علينا ضرب سالب خمسة في ﺃ، ثم إضافة ذلك إلى حاصل ضرب ستة في ﺏ. ولكي تحقق قيمتا ﺃ وﺏ هذه المعادلة، يجب أن يكون هذا المقدار يساوي سالب سبعة. يمكننا ملاحظة أن هذه المعادلة هي نفسها المعادلة الآنية الثانية. وهي سالب خمسة ﺃ زائد ستة ﺏ يساوي سالب سبعة.
يمكننا ترك الحل بهذا الشكل. لكن ثمة خاصية مفيدة أخرى جديرة بالذكر. نحن نعلم أنه لا يهم الترتيب الذي نرتب به المعادلتين الآنيتين. لذا، يجب أن ينطبق الأمر نفسه على المعادلة المصفوفية. وعلى وجه التحديد، إن الترتيب الذي نرتب به المعادلتين الآنيتين يحدد الترتيب الذي نرتب به صفي مصفوفة المعاملات، والترتيب الذي نرتب به صفي مصفوفة الحل. لذا، إذا بدلنا صفي مصفوفة المعاملات وصفي مصفوفة الحل، فسنحصل على معادلة مصفوفية مكافئة. وهي هنا المصفوفة من الرتبة اثنان في اثنين، وعناصرها هي سالب خمسة، ستة، اثنان، سالب ثلاثة؛ مضروبة في المصفوفة من الرتبة اثنان في واحد، وعنصراها هما ﺃ، وﺏ؛ تساوي المصفوفة من الرتبة اثنان في واحد، وعنصراها هما سالب سبعة، أربعة.
من المهم أن نؤكد مرة أخرى على أننا لا نبدل ترتيب مصفوفة المتغيرات، لأن تبديل ترتيب المعادلتين الآنيتين لدينا لا يغير الترتيب الذي يوجد به المتغيران. لكن يمكننا استخدام هذه الفكرة لتكوين مزيد من المعادلات المصفوفية المكافئة. على سبيل المثال، بدلًا من تبديل ترتيب المعادلتين الآنيتين، يمكننا تبديل ترتيب وجود الحدين ﺃ وﺏ في كل من المعادلتين الآنيتين. وسيؤدي ذلك إلى تبديل عمودي مصفوفة المعاملات وصفي مصفوفة المتغيرات. ومع ذلك، ستظل مصفوفة الحل كما هي دون تغيير.
إذن، جميع المعادلات المصفوفية هذه متكافئة، ويمكننا استخدام أي منها باعتباره الحل. وبذلك، نقول إنه يمكننا إعادة كتابة المعادلتين الآنيتين المعطاتين في السؤال في صورة معادلة مصفوفية من الرتبة اثنان في اثنين، عناصرها هي سالب خمسة، ستة، اثنان، سالب ثلاثة؛ مضروبة في المصفوفة من الرتبة اثنان في واحد، وعنصراها هما ﺃ، وﺏ؛ تساوي المصفوفة من الرتبة اثنان في واحد، وعنصراها هما سالب سبعة، أربعة.
