فيديو السؤال: إيجاد مساحة ربع الدائرة

نسخة الفيديو النصية

أوجد مساحة ربع الدائرة، بدلالة ‪𝜋‬‏.

تذكر أن صيغة مساحة القطاع الدائري هي نصف في ‪𝑟‬‏ تربيع في ‪𝜃‬‏، حيث ‪𝑟‬‏ هو نصف قطر القطاع، و‪𝜃‬‏ هو قياس الزاوية بالراديان. نلاحظ أن ربع الدائرة نصف قطره ثلاث وحدات، وزاويته زاوية قائمة. تذكر أن هذه مجرد زاوية قياسها ‪90‬‏ درجة. ونريد أن يكون قياس هذه الزاوية بالراديان. فكيف نحول من الدرجات إلى الراديان؟

بداية، نتذكر حقيقة أن الدورة الكاملة، ‪360‬‏ درجة، تساوي اثنين ‪𝜋‬‏ راديان. وهنا يصبح أمامنا خياران. يمكننا إيجاد قيمة الدرجة الواحدة بقسمة كلا طرفي هذه المعادلة على ‪360‬‏. ومن ثم، الدرجة الواحدة تساوي اثنين ‪𝜋‬‏ على ‪360‬‏ راديان. ويبسط ذلك إلى ‪𝜋‬‏ على ‪180‬‏ راديان. وبذلك، يمكننا التحويل من الدرجات إلى الراديان عن طريق الضرب في ‪𝜋‬‏ على ‪180‬‏.

وثمة طريقة أخرى بديلة، تصلح عندما يكون قياس الزاوية أحد عوامل ‪360‬‏: نلاحظ أن ‪90‬‏ درجة هو ربع الـ ‪360‬‏، حسبما ذكر في رأس المسألة. ويمكننا قسمة كلا طرفي المعادلة على أربعة. وبذلك، نلاحظ أن ‪90‬‏ درجة تساوي اثنين ‪𝜋‬‏ على أربعة راديان. ويبسط ذلك إلى ‪𝜋‬‏ على اثنين.

والآن، بما أننا نعرف قياس الزاوية بالراديان، يمكننا التعويض بكل ذلك في صيغة مساحة القطاع. ومن ثم، نحصل على نصف في ثلاثة تربيع في ‪𝜋‬‏ على اثنين. ثلاثة تربيع يساوي تسعة. ويمكننا كتابة هذا في صورة تسعة على واحد. وبذلك نتمكن من ضرب الكسور الثلاثة في بعضها. نبدأ بضرب البسوط. واحد في تسعة في ‪𝜋‬‏ يساوي تسعة ‪𝜋‬‏. ثم نضرب المقامات. اثنان في واحد في اثنين يساوي أربعة.

وبذلك، نجد أن مساحة القطاع تساوي تسعة ‪𝜋‬‏ على أربعة وحدة مربعة.