نسخة الفيديو النصية
أي من التالي صواب عن الدالة ﺩ ﺱ تساوي سالب ﺱ ناقص ستة الكل تكعيب؟ هل الخيار (أ) ﺩ ﺱ تزايدية في مجموعة الأعداد الحقيقية؟ أم الخيار (ب) ﺩ ﺱ تناقصية في مجموعة الأعداد الحقيقية. أم الخيار (ج) ﺩ ﺱ تزايدية على الفترة المفتوحة من سالب ∞ إلى سالب ستة، وتناقصية على الفترة المفتوحة من سالب ستة إلى ∞. أم الخيار (د) ﺩ ﺱ تزايدية على الفترة المفتوحة من سالب ستة إلى ∞، وتناقصية على الفترة المفتوحة من سالب ∞ إلى سالب ستة؟
في هذا السؤال، لدينا أربع عبارات تتضمن اطراد الدالة المعطاة ﺩ ﺱ. وهي ﺩ ﺱ تساوي سالب ﺱ ناقص ستة الكل تكعيب. علينا تحديد أي من هذه العبارات صواب. ولكي نفعل ذلك، يمكننا البدء بتذكر أنه لأي دالة قابلة للاشتقاق ﺩ ﺱ، يمكننا تحديد الفترات التناقصية والتزايدية بالنظر إلى مشتقتها.
على وجه التحديد، يمكننا تذكر أنه إذا كانت الدالة ﺩ قابلة للاشتقاق وﺩ شرطة ﺱ أكبر من صفر على الفترة المفتوحة من ﺃ إلى ﺏ، فإنه يمكننا استنتاج أن الدالة ﺩ ﺱ تزايدية على الفترة المفتوحة من ﺃ إلى ﺏ. وبالمثل، إذا كانت ﺩ شرطة ﺱ أقل من صفر على الفترة المفتوحة من ﺃ إلى ﺏ، فإن الدالة ﺩ ﺱ تناقصية على الفترة المفتوحة من ﺃ إلى ﺏ. وهذا مفيد جدًّا؛ لأننا نلاحظ أن الدالة ﺩ ﺱ قابلة للاشتقاق لجميع الأعداد الحقيقية. هذا لأننا نوجد التكعيب لدالة خطية. إذن، ﺩ ﺱ دالة تكعيبية كثيرة الحدود. يمكننا بعد ذلك استخدام هذه الإجابات لتحديد الفترات التي تكون عليها الدالة ﺩ ﺱ تزايدية وتناقصية. كل ما علينا فعله هو إيجاد تعبير لـ ﺩ شرطة ﺱ.
توجد بعض الطرق المختلفة التي يمكننا من خلالها إيجاد قيمة ﺩ شرطة ﺱ. على سبيل المثال، يمكننا استخدام صيغة ذات الحدين لتوزيع الأس على ما بداخل القوسين. يمكننا أيضًا فك الأقواس باستخدام طريقة ضرب حدي القوس الأول في حدي القوس الثاني. وفي كلتا الحالتين، سنحصل على دالة تكعيبية كثيرة الحدود. ويمكننا اشتقاق ذلك حدًّا بحد باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق. وهذه ليست الطريقة الوحيدة التي يمكننا استخدامها لاشتقاق هذه الدالة. يمكننا أيضًا ملاحظة أن ﺩ ﺱ هي تركيب دالتين. نحسب قيمة الدالة الخطية ثم نكعب هذه القيمة. ويمكننا اشتقاق تركيب دالتين باستخدام قاعدة السلسلة.
على وجه التحديد، بما أن الدالة الخارجية هي دالة قوة، يمكننا اشتقاق هذه الدالة باستخدام القاعدة العامة للقوة، التي تعتبر تطبيقًا لقاعدة السلسلة. تنص القاعدة العامة للقوة هذه على أن مشتقة ﺭ ﺱ مرفوعًا للقوة ﻥ تساوي ﻥ في ﺭ شرطة ﺱ مضروبًا في ﺭ ﺱ أس ﻥ ناقص واحد؛ حيث تمثل قيمة ﻥ ثابتًا حقيقيًّا وﺭ ﺱ دالة قابلة للاشتقاق. وسنستخدم هذه الطريقة لاشتقاق الدالة. لكن اختيار أي من الطريقتين يرجع إلى تفضيلك الشخصي.
حسنًا، سنجعل قيمة ﻥ تساوي ثلاثة، وسنجعل الدالة الداخلية ﺭ ﺱ تساوي سالب ﺱ ناقص ستة. ومن الجدير بالملاحظة هنا أن الدالة ﺭ ﺱ دالة خطية. إذن، ﺭ شرطة ﺱ سيكون معامل ﺱ، وهو سالب واحد. يمكننا الآن إيجاد قيمة ﺩ شرطة ﺱ عن طريق التعويض بهاتين القيمتين في القاعدة العامة للقوة. ﺩ شرطة ﺱ يساوي ثلاثة في سالب واحد مضروبًا في سالب ﺱ ناقص ستة أس ثلاثة ناقص واحد. يمكننا الآن تبسيط هذا التعبير. ﺩ شرطة ﺱ يساوي سالب ثلاثة في سالب ﺱ ناقص ستة تربيع.
نلاحظ الآن أمرًا مثيرًا للاهتمام. سالب ﺱ ناقص ستة الكل تربيع يمثل قيمة مربعة. وهذا يعني أنه أكبر من أو يساوي صفرًا لأي قيمة لـ ﺱ. وعلى وجه التحديد، لا توجد سوى قيمة مدخلة واحدة لـ ﺱ تساوي عندها هذه المشتقة صفرًا. ويكون ذلك عند ﺱ يساوي سالب ستة. بعد ذلك نضرب هذا في ثابت سالب. تذكر أنه عند ضرب عدد سالب في عدد موجب، نحصل على عدد سالب. هكذا، نكون قد أوضحنا أن ﺩ شرطة ﺱ أقل من أو يساوي صفرًا لجميع قيم ﺱ. وتحديدًا، ﺩ شرطة ﺱ يساوي صفرًا فقط عند ﺱ يساوي سالب ستة.
يمكننا بعد ذلك استخدام الخاصية التي لدينا. مشتقة ﺩ ﺱ سالبة لجميع قيم ﺱ، باستثناء عندما يساوي ﺱ سالب ستة. إذن، هذا يدل على أن الدالة تناقصية على الفترة المفتوحة من سالب ∞ إلى سالب ستة، والفترة المفتوحة من سالب ستة إلى ∞. لكن بما أن الدالة معرفة عند سالب ستة، ومشتقتها تساوي صفرًا عند سالب ستة فقط، فيمكننا أيضًا القول إنها تتناقص عند هذه النقطة. بعبارة أخرى، لقد أوضحنا أن الدالة ﺩ ﺱ تساوي سالب ﺱ ناقص ستة الكل تكعيب دالة تناقصية في جميع القيم الحقيقية. وهذا ما يوضحه الخيار (ب).
