فيديو السؤال: مقارنة التمثيل البياني لدالة مع التمثيل البياني لمعكوسها الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

إذا رسمنا الدالة ﺩﺱ ودالتها العكسية معكوس ﺩﺱ على نفس التمثيل البياني، فأي العبارات الآتية صواب؟ (أ) سيوجد تماثل حول الخط ﺹ يساوي ﺱ. (ب) سيوجد تماثل حول المحور ﺱ. (ج) سيوجد تماثل حول نقطة الأصل. (د) سيوجد تماثل حول المحور ﺹ. (هـ) التمثيلان البيانيان متماثلان.

للإجابة عن هذا السؤال، دعونا نسترجع العلاقة بين الدالة ﺩﺱ ومعكوسها. لنفترض أن لدينا الدالة ﺩ، التي يشار إلى معكوسها بكتابة سالب واحد بالأعلى. معكوس ﺩ لـ ﺩﺱ يساوي ببساطة ﺱ لجميع قيم ﺱ في مجال الدالة. بعبارة أخرى، الدالة العكسية تعكس تأثير الدالة الأصلية. هناك عدة طرق يمكننا استخدامها لإيجاد معكوس الدالة. واستعراض أي من هذه الطرق ليس ضمن نطاق هذا الفيديو. ولكننا سنتناول مثالًا سريعًا.

دعونا نفترض أن لدينا الدالة ﺩﺱ تساوي اثنين ﺱ. وهذه الدالة تضرب أي قيم في المجال في اثنين. إذن، فإن معكوس ﺩ هو الدالة التي تعكس تأثير هذه العملية. وعليه، فهو الدالة التي تقسم القيم على اثنين. ومن ثم، فإن معكوس ﺩ في هذه الحالة هو ﺱ مقسومًا على اثنين. سنوضح هذا بيانيًّا عن طريق رسم كل من هاتين الدالتين في الربع الأول من المستوى الإحداثي. دعونا نبدأ بـ ﺹ يساوي ﺩﺱ، أي التمثيل البياني لـ ﺹ يساوي اثنين ﺱ. الجزء المقطوع من المحور ﺹ هو صفر. إذن، يمر الخط المستقيم بنقطة الأصل أو النقطة صفر، صفر. وميله يساوي اثنين أيضًا. وهذا يعني أنه سيمر بالنقطتين اللتين إحداثياتهما واحد، اثنان؛ واثنان، أربعة.

وبالمثل، يمر التمثيل البياني للمعكوس ﺹ يساوي ﺱ على اثنين بنقطة الأصل أيضًا. ولكن هذه المرة، الميل يساوي نصفًا. إذن، يمر الخط المستقيم بالنقطة اثنين، واحد والنقطة أربعة، اثنين. وإذا دققنا النظر، فسنلاحظ أنه يمكننا تحويل أي من هذين التمثيلين البيانيين إلى الآخر عن طريق الانعكاس حول الخط ﺹ يساوي ﺱ. وهذا منطقي للغاية؛ حيث إننا نبدل بين قيمتي ﺱ وﺹ لكل إحداثي. ومن ثم، فإن النقطة التي إحداثياتها واحد، اثنان تحول إلى النقطة التي إحداثياتها اثنان، واحد، والعكس صحيح. وبالمثل، النقطة التي إحداثياتها اثنان، أربعة تحول إلى النقطة التي إحداثياتها أربعة، اثنان، والعكس صحيح.

يعني هذا أنه إذا رسمنا الدالة ﺩﺱ ومعكوسها على التمثيل البياني نفسه، فإننا سنلاحظ أنهما متماثلتان حول الخط ﺹ يساوي ﺱ. وعليه فإن الإجابة الصحيحة هي (أ)، أي سيوجد تماثل حول الخط ﺹ يساوي ﺱ.