فيديو الدرس: حل المعادلات التكعيبية: أخذ الجذر التكعيبي الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو سوف نتعلم كيف نحل معادلة تكعيبية باستخدام خاصية الجذر التكعيبي. سنبدأ بتذكر أن الجذر التكعيبي للعدد ﺃ، المكتوب كما هو موضح، هو العدد الذي مكعبه ﺃ. بعبارة أخرى: الجذر التكعيبي لـ ﺃ تكعيب يساوي ﺃ. يمكننا استخدام ذلك لتبسيط المقادير أو إيجاد قيمها. على سبيل المثال نعلم أن اثنين تكعيب يساوي ثمانية، وهذا يعني أن الجذر التكعيبي لثمانية هو اثنان.

هذا ليس الاستخدام الوحيد للجذر التكعيبي؛ حيث يمكننا أيضًا استخدام هذا المفهوم لحل المعادلات. على سبيل المثال تخيل أن لدينا مكعبًا حجمه ٦٤ سنتيمترًا مكعبًا. إذن يمكننا قول إن طول حرف هذا المكعب يساوي ﺱ سنتيمتر، وهو ما يعطينا المعادلة: ﺱ تكعيب يساوي ٦٤. بأخذ الجذر التكعيبي لكل من طرفي هذه المعادلة، نجد أن الجذر التكعيبي لـ ﺱ تكعيب هو ﺱ. والجذر التكعيبي لـ ٦٤ هو أربعة. ومن ثم يمكننا استنتاج أن طول حرف هذا المكعب يساوي أربعة سنتيمترات.

تجدر الإشارة هنا إلى أن المعادلة: ﺱ تكعيب يساوي ﺃ؛ سيكون لها حل واحد فقط لأي قيمة حقيقية لـ ﺃ. وذلك لأن تكعيب أي عدد موجب يعطينا عددًا موجبًا، وتكعيب أي عدد سالب يعطينا عددًا سالبًا. وهذا يختلف عن حل المعادلة: ﺱ تربيع يساوي ﺃ؛ لأن هذه المعادلة لها حلان عندما يكون ﺃ عددًا حقيقيًّا موجبًا. على سبيل المثال إذا كان ﺱ تربيع يساوي تسعة، فإننا نعلم أن ﺱ يساوي موجب أو سالب ثلاثة؛ لأن ثلاثة تربيع يساوي تسعة، وسالب ثلاثة تربيع يساوي تسعة. دعونا الآن نتناول مثالًا نحل فيه معادلة تكعيبية.

حل المعادلة التكعيبية ﺱ تكعيب يساوي ثمانية في جميع الأعداد النسبية.

نتذكر أن العدد النسبي عدد يمكن كتابته على صورة كسر أو خارج قسمة عددين صحيحين. في هذا السؤال علينا حل المعادلة: ﺱ تكعيب يساوي ثمانية، وسنبدأ أولًا بأخذ الجذر التكعيبي لكلا طرفي المعادلة. نعلم أن الجذر التكعيبي لـ ﺱ تكعيب يساوي ﺱ. وبما أن اثنين تكعيب يساوي ثمانية، فإن الجذر التكعيبي لثمانية يساوي اثنين. إذن حل المعادلة التكعيبية: ﺱ تكعيب يساوي ثمانية؛ هو ﺱ يساوي اثنين.

في المثال التالي سنتناول طريقة حل معادلة تكعيبية يكون فيها المتغير المكعب كسرًا.

حل ﺱ تكعيب يساوي ٢٧ على ثمانية.

لحل هذه المعادلة سنبدأ بأخذ الجذر التكعيبي لكل من طرفي المعادلة. نتذكر أن الجذر التكعيبي لـ ﺱ تكعيب يساوي ﺱ. إذن ﺱ يساوي الجذر التكعيبي لـ ٢٧ على ثمانية. بعد ذلك نتذكر أن الجذر التكعيبي لـ ﺃ على ﺏ؛ حيث ﺏ لا يساوي صفرًا، هو الجذر التكعيبي لـ ﺃ على الجذر التكعيبي لـ ﺏ. نعلم أنه بما أن اثنين تكعيب يساوي ثمانية، فإن الجذر التكعيبي لثمانية يساوي اثنين. وبما أن ثلاثة تكعيب يساوي ٢٧، فإن الجذر التكعيبي لـ ٢٧ يساوي ثلاثة. ونظرًا لأنه يمكننا تبسيط المعادلة إلى: ﺱ يساوي الجذر التكعيبي لـ ٢٧ على الجذر التكعيبي لثمانية، فإن ﺱ يساوي ثلاثة على اثنين أو ثلاثة أنصاف. هذا هو الحل الوحيد للمعادلة: ﺱ تكعيب يساوي ٢٧ على ثمانية.

في المثال التالي سنحل معادلة تكعيبية بإعادة ترتيب طرفيها أولًا.

إذا كان سالب ﺱ على ١٠ يساوي ١٠٠ على ﺱ تربيع، فأوجد قيمة ﺱ.

لحل هذه المعادلة سنبدأ بإجراء الضرب التبادلي. هذا يماثل ضرب طرفي المعادلة في ١٠ﺱ تربيع. في الطرف الأيمن لدينا سالب ﺱ مضروبًا في ﺱ تربيع. وفي الطرف الأيسر لدينا ١٠٠ مضروبًا في ١٠. يمكننا تبسيط ذلك إلى: سالب ﺱ تكعيب يساوي ١٠٠٠. بضرب الطرفين في سالب واحد؛ بحيث يكون الحد ﺱ موجبًا، يصبح لدينا: ﺱ تكعيب يساوي سالب ١٠٠٠. يمكننا بعد ذلك أخذ الجذر التكعيبي لكل من طرفي هذه المعادلة. الجذر التكعيبي لـ ﺱ تكعيب يساوي ﺱ. وبما أن سالب ١٠ تكعيب يساوي سالب ١٠٠٠، فإن الجذر التكعيبي لسالب ١٠٠٠ يساوي سالب ١٠. إذن إذا كان سالب ﺱ على ١٠ يساوي ١٠٠ على ﺱ تربيع، فإن قيمة ﺱ تساوي سالب ١٠.

يمكننا التحقق من صحة هذه الإجابة بالتعويض بقيمة ﺱ في المعادلة الأصلية.

في هذا الفيديو لم نتطرق حتى الآن إلا إلى المعادلات البسيطة التي تتضمن المكعبات فقط. ومع ذلك من الممكن أن تشتمل العمليات التكعيبية على عمليات حسابية أخرى. يمكننا بشكل عام حل المعادلات التي تكون على الصورة: ﺃﺱ زائد ﺏ الكل تكعيب زائد ﺟ يساوي ﺩ، بشرط أن ﺃ لا يساوي صفرًا، ويمكننا إيجاد الجذر التكعيبي لـ ﺩ ناقص ﺟ. نحل هذا النوع من المعادلات باستخدام الخطوات الأربع الآتية.

أولًا نطرح ﺟ من كلا الطرفين، وهذا يعطينا: ﺃﺱ زائد ﺏ الكل تكعيب يساوي ﺩ ناقص ﺟ. ثانيًا نأخذ الجذر التكعيبي لكلا طرفي المعادلة لنحصل على: ﺃﺱ زائد ﺏ يساوي الجذر التكعيبي لـ ﺩ ناقص ﺟ. ثالثًا نطرح ﺏ من كلا الطرفين؛ بحيث يكون ﺃﺱ مساويًا للجذر التكعيبي لـ ﺩ ناقص ﺟ ناقص ﺏ. وأخيرًا نقسم الطرفين على ﺃ؛ بحيث يكون ﺱ مساويًا للجذر التكعيبي لـ ﺩ ناقص ﺟ ناقص ﺏ الكل مقسوم على ﺃ. دعونا الآن نتناول كيفية تطبيق ذلك عمليًّا.

أوجد قيمة ﺹ، إذا كان اثنان ﺹ ناقص ١٤ الكل تكعيب ناقص ٣٦ يساوي ٢٨.

في هذا السؤال لدينا معادلة مكتوبة على الصورة: ﺃﺱ زائد ﺏ الكل تكعيب زائد ﺟ يساوي ﺩ. نعلم أنه يمكننا حل المعادلات التي من هذا النوع بإعادة ترتيب المعادلة ليكون ﺱ المتغير التابع. في هذا السؤال المتغير هو ﺹ. لذا سنتبع طريقة مماثلة ليكون ﺹ هو المتغير التابع. سنبدأ بإضافة ٣٦ إلى طرفي المعادلة. هذا يعطينا: اثنان ﺹ ناقص ١٤ الكل تكعيب يساوي ٢٨ زائد ٣٦. نبسط الطرف الأيسر من المعادلة إلى ٦٤، ويمكننا الآن أخذ الجذر التكعيبي لكل من طرفي هذه المعادلة. في الطرف الأيمن لدينا اثنان ﺹ ناقص ١٤. وبما أن أربعة تكعيب يساوي ٦٤، فإن الجذر التكعيبي لـ ٦٤ يساوي أربعة. يمكننا تبسيط المعادلة إلى: اثنان ﺹ ناقص ١٤ يساوي أربعة.

بعد ذلك نضيف ١٤ إلى كلا الطرفين. اثنان ﺹ يساوي أربعة زائد ١٤، وهو ما يساوي ١٨. وأخيرًا يمكننا قسمة الطرفين على اثنين؛ بحيث يكون ﺹ مساويًا لتسعة. إذن إذا كان اثنان ﺹ ناقص ١٤ الكل تكعيب ناقص ٣٦ يساوي ٢٨، فإن قيمة ﺹ تساوي تسعة. يمكننا التحقق من صحة هذه الإجابة بالتعويض عن ﺹ بتسعة في المعادلة الأصلية. وعندما نفعل ذلك يصبح لدينا اثنان مضروبًا في تسعة ناقص ١٤ بين القوسين. هذا يساوي أربعة، وأربعة تكعيب ناقص ٣٦ يساوي ٢٨ بالفعل. هذا يؤكد أن حل المعادلة هو ﺹ يساوي تسعة.

في المثال الأخير سنحل مسألة مشابهة. ولكن، في هذه المرة، سيكون معامل المتغير سالبًا.

أوجد قيمة ﺱ، إذا كان ١٥ ناقص ثلاثة ﺱ الكل تكعيب زائد اثنين يساوي ٢٩.

للإجابة عن هذا السؤال سنعيد ترتيب المعادلة أولًا؛ بحيث يكون الحد المكعب في طرف بمفرده، وهو الطرف الأيمن من المعادلة. سنفعل ذلك عن طريق طرح اثنين من كلا الطرفين، وهو ما يعطينا: ١٥ ناقص ثلاثة ﺱ الكل تكعيب يساوي ٢٩ ناقص اثنين. ‏٢٩ ناقص اثنين يساوي ٢٧. يمكننا الآن أخذ الجذر التكعيبي لكلا طرفي المعادلة. الجذر التكعيبي لـ ١٥ ناقص ثلاثة ﺱ الكل تكعيب يساوي ١٥ ناقص ثلاثة ﺱ. وبما أن ثلاثة تكعيب يساوي ٢٧، فإن الجذر التكعيبي لـ ٢٧ يساوي ثلاثة. يمكننا تبسيط هذه المعادلة إلى: ١٥ ناقص ثلاثة ﺱ يساوي ثلاثة.

لإيجاد قيمة ﺱ يمكننا الآن طرح ١٥ من الطرفين؛ بحيث يكون سالب ثلاثة ﺱ يساوي ثلاثة ناقص ١٥. وعليه يمكننا تبسيط ذلك إلى: سالب ثلاثة ﺱ يساوي سالب ١٢. وبقسمة الطرفين على سالب ثلاثة، نجد أن ﺱ يساوي أربعة. إذن قيمة ﺱ التي تحقق المعادلة: ١٥ ناقص ثلاثة ﺱ الكل تكعيب زائد اثنين يساوي ٢٩ ؛ هي أربعة.

سنختتم الآن هذا الفيديو بتلخيص النقاط الرئيسية. علمنا في هذا الفيديو أنه يمكننا حل المعادلات التكعيبية بأخذ الجذور التكعيبية لكلا طرفي المعادلة. على وجه التحديد إذا كان ﺱ تكعيب يساوي ﺃ، فإن ﺱ يساوي الجذر التكعيبي لـ ﺃ. علمنا أيضًا أنه على عكس الجذر التربيعي، فإن أخذ الجذر التكعيبي لكلا طرفي المعادلة يعطينا حلًّا واحدًا. وأخيرًا لحل أي معادلة تكعيبية على الصورة: ﺃﺱ زائد ﺏ الكل تكعيب زائد ﺟ يساوي ﺩ؛ حيث ﺃ، وﺏ، وﺟ، وﺩ ثوابت، وﺃ لا يساوي صفرًا؛ فإننا نعيد ترتيب المعادلة لجعل ﺱ في طرف بمفرده. هذا يعطينا: ﺱ يساوي الجذر التكعيبي لـ ﺩ ناقص ﺟ ناقص ﺏ الكل مقسوم على ﺃ.