فيديو الدرس: الزوايا المتتامة والمتكاملة الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحدد الزوايا المتتامة والمتكاملة، ونطبق هذه العلاقات لإيجاد قياسات زوايا مجهولة. لنبدأ أولًا بتذكير أنفسنا بحقيقتين مهمتين عن الزوايا. الحقيقة الأولى هي أن قياس الزاوية القائمة يساوي ٩٠ درجة. والحقيقة الثانية هي أن مجموع قياسات الزوايا الواقعة على خط مستقيم يساوي ١٨٠ درجة.

لنتخيل أن لدينا زاوية قياسها ٣٠ درجة وزاوية قياسها ٦٠ درجة. نلاحظ أنه يمكننا جمع قياسي هاتين الزاويتين لنحصل على زاوية قائمة قياسها ٩٠ درجة. يمكننا القول إن هاتين الزاويتين متتامتان. فنحن نقول إن الزاويتين متتامتان عندما يكون مجموع قياسيهما ٩٠ درجة.

قد يبدو أن لكلمتي متتامتين ومتكاملتين المعنى نفسه. لكنهما تحملان معنيين مختلفين في الرياضيات؛ إذ تشير كلمة متتامتين إلى أن مجموع قياس الزاويتين يبلغ ٩٠ درجة، وتشير كلمة متكاملتين إلى أن مجموع قياس الزاويتين يبلغ ١٨٠ درجة .

نتناول بعد ذلك الزوايا المتكاملة. لدينا هنا زاويتان قياس إحداهما ٥٠ درجة وقياس الأخرى ١٣٠ درجة. هاتان الزاويتان متكاملتان، ولكن لماذا؟ السبب هو أن مجموع قياسيهما يساوي ١٨٠ درجة. وعندما يتعلق الأمر بالزوايا المتتامة والمتكاملة، فإن الزوايا المعنية لا يلزم أن تتشارك بالرأس. على سبيل المثال، هاتان الزاويتان اللتان قياساهما ٣٠ درجة و٦٠ درجة تظلان متتامتين لأن مجموع قياسيهما يساوي ٩٠ درجة. وتظل هذه الزاوية التي قياسها ٥٠ درجة والزاوية التي قياسها ١٣٠ درجة متكاملتين.

سنتناول الآن بعض الأسئلة.

صنف الزاويتين الآتيتين إلى متتامتين أو متكاملتين أو ليستا هذه ولا تلك.

إذا نظرنا إلى الشكل، فسنلاحظ أن هناك زاويتين. إحداهما قياسها ١٠١ درجة، والأخرى قياسها ٧٩ درجة. فلنبدأ إذن باسترجاع تعريفي الزوايا المتتامة والزوايا المتكاملة. الزوايا المتتامة هي الزوايا التي مجموع قياسها يساوي ٩٠ درجة، والزوايا المتكاملة هي الزوايا التي مجموع قياسها يساوي ١٨٠ درجة. عندما نجمع الزاويتين اللتين قياساهما ١٠١ درجة و٧٩ درجة، نجد أن مجموعهما يساوي ١٨٠ درجة. إذن، يمكننا الإجابة بأن هاتين الزاويتين متكاملتان.

في السؤال التالي، سنتناول زوايا مثلث قائم.

هل كل مثلث قائم الزاوية يحتوي على زاويتين متتامتين؟

لنبدأ بالتفكير في شكل المثلث القائم أو المثلث القائم الزاوية. أيًّا كان شكل المثلث القائم الزاوية أو مساحته، نعلم أنه يحتوي دائمًا على زاوية قائمة.

علينا بعد ذلك أن نتذكر تعريف الزاويتين المتتامتين. إنهما زاويتان مجموع قياسيهما يساوي ٩٠ درجة. إذن، في المثلث القائم، هل لدينا زاويتان مجموع قياسيهما يساوي ٩٠ درجة؟ نعلم أن قياس إحدى زوايا المثلث يساوي ٩٠ درجة. لكن ماذا عن الزاويتين الأخريين؟

يمكننا تذكر أن مجموع قياسات زوايا المثلث يساوي ١٨٠ درجة. لذا، إذا جمعنا قياسي الزاويتين الأخريين معًا، فيجب أن نحصل على ٩٠ درجة؛ لأن مجموع الزاوية القائمة التي قياسها ٩٠ درجة زائد الزاويتين الأخريين اللتين قياساهما ٩٠ درجة يساوي ١٨٠ درجة، وهو مجموع قياسات الزوايا الثلاث. إذن، لا بد أن يكون هناك زاويتان متتامتان أو زوج من الزوايا المتتامة. وعليه، يمكننا الإجابة عن السؤال بنعم، كل مثلث قائم الزاوية يحتوي على زاويتين متتامتين.

في السؤال التالي، سنوجد قياس الزاوية المجهول في زوج من الزوايا المتكاملة.

إذا كانت الزاويتان متكاملتين، فأوجد قيمة ﺱ.

يوضح لنا الشكل الزاوية ﺱ والزاوية التي قياسها ٨٩ درجة. لنبدأ بتذكر أنه إذا كان لدينا زاويتان متكاملتان؛ فهذا يعني أن مجموع قياسيهما يساوي ١٨٠ درجة. وهو ما يعني أن مجموع ﺱ و٨٩ يساوي ١٨٠ درجة. إذن، يمكننا إيجاد قيمة ﺱ بحساب ١٨٠ درجة ناقص ٨٩ درجة. وهذا يعطينا الإجابة، وهي أن قيمة ﺱ تساوي ٩١ درجة.

هيا نتناول سؤالًا آخر.

إذا كان قياس الزاوية ﺃﻭﺏ يساوي ٧٥ درجة، فما قياس الزاوية ﺏﻭﺟ؟

لنبدأ بكتابة المعلومة المعطاة عن هذه الزاوية على الشكل، حيث إن قياس الزاوية ﺃﻭﺏ يساوي ٧٥ درجة. وعلينا إيجاد قياس الزاوية ﺏﻭﺟ. يمكننا إيجاد قياس هذه الزاوية بمجرد أن ندرك أن الزاوية ﺃﻭﺟ هي زاوية قائمة قياسها ٩٠ درجة. إذن، فإن مجموع قياسي الزاويتين ﺃﻭﺏ وﺏﻭﺟ لا بد أن يساوي ٩٠ درجة. يمكننا القول إن هاتين الزاويتين متتامتان. ويمكن حساب قياس الزاوية ﺏﻭﺟ بطرح ٩٠ درجة ناقص ٧٥ درجة. إذن، يمكننا الإجابة بأن قياس الزاوية ﺏﻭﺟ يساوي ١٥ درجة.

دعونا نتناول سؤالًا أخيرًا.

في الشكل التالي، ذكر كريم أن ﺱ زاوية منفرجة قياسها ١٠٥ درجات، وذكر سامح أن ﺱ زاوية حادة قياسها ٧٥ درجة. حدد أيهما على صواب دون استخدام المنقلة.

في هذا الشكل، لدينا ثلاث زوايا: زاوية قياسها ٦٣ درجة، وزاوية قياسها ٤٢ درجة، والزاوية ﺱ. مطلوب منا عدم استخدام المنقلة، إذن يجب ألا نحاول قياس الزاوية ﺱ مباشرة. عندما نجد مثل هذا النوع من التعليمات، ولا سيما في أحد أسئلة الامتحان، فإن الزاوية الفعلية لا ترسم في أغلب الأحيان بدقة.

لذا، علينا إيجاد طريقة لحساب قيمة ﺱ دون قياس. وبذلك، سنتمكن من معرفة ما إذا كان كريم أم سامح على صواب. لعلك لاحظت بالفعل أن هذه الزوايا الثلاث تقع على خط مستقيم واحد. علينا أن نتذكر أن مجموع قياسات الزوايا الواقعة على خط مستقيم يساوي ١٨٠ درجة. يمكننا القول أيضًا إن هذه الزوايا الثلاث متكاملة، حيث إن مجموع قياسات الزوايا المتكاملة يساوي ١٨٠ درجة.

إذا جمعنا قياسي الزاويتين الأخريين، أي ٦٣ درجة و٤٢ درجة، فسنجد أن مجموع ٦٠ و٤٠ يساوي ١٠٠، ومجموع ثلاثة واثنان يساوي خمسة. وبذلك، نعرف أن مجموع قياسي هاتين الزاويتين يساوي ١٠٥ درجات. لكن علينا إيجاد قياس الزاوية ﺱ المتبقية. بما أن مجموع قياسات الزوايا الثلاث يساوي ١٨٠ درجة، يمكننا أن نحسب ١٨٠ درجة ناقص ١٠٥ درجات، وهو ما يعطينا ٧٥ درجة. ولأن سامح قد ذكر بالفعل أن قياس ﺱ يساوي ٧٥ درجة، فإن سامح على صواب.

سنلخص الآن ما تعلمناه في هذا الفيديو. تكون الزاويتان متتامتين إذا كان مجموع قياسيهما ٩٠ درجة، وتكون الزاويتان متكاملتين إذا كان مجموع قياسيهما ١٨٠ درجة. من المفيد قضاء بعض الوقت في تعلم هذه الكلمات الأساسية، فمن الشائع الخلط بين التعريفين.