نسخة الفيديو النصية
أوجد مجموع حدود المتتابعة الهندسية غير المنتهية التي تبدأ بـ ﺡ واحد؛ حيث حدها النوني ﺡﻥ يساوي ثلاثة مضروبًا في ١٤ أس واحد ناقص ﻥ.
دعونا نبدأ بتذكر صيغة مجموع حدود المتتابعة الهندسية غير المنتهية. إنها تعطى بالعلاقة ﺟ∞ يساوي ﺡ واحد على واحد ناقص ﺭ؛ حيث ﺡ واحد هو الحد الأول في المتتابعة، وﺭ هو النسبة المشتركة (أساس المتتابعة الهندسية). ولكي تكون هذه الصيغة صحيحة، يجب أن تكون القيمة المطلقة للنسبة المشتركة ﺭ أقل من واحد تمامًا، وهذا ضروري لكي تكون المتتابعة متقاربة. إذن، للإجابة عن هذا السؤال، علينا تحديد قيمتي الحد الأول والنسبة المشتركة في هذه المتتابعة.
بشكل عام، تعطى صيغة الحد النوني أو الحد العام لأي متتابعة هندسية بواسطة العلاقة ﺡﻥ يساوي ﺡ واحد مضروبًا في ﺭ أس ﻥ ناقص واحد. إنها تبدو مشابهة لصيغة قاعدة الحد النوني المعطاة لنا. لذا، قد نتوقع أن الحد الأول في هذه المتتابعة يساوي ثلاثة. لكن إذا نظرنا جيدًا إلى أس ﺭ، فسنلاحظ أنه في صيغة الحد العام الأس هو ﻥ ناقص واحد، في حين أن الأس في الصيغة المعطاة لنا هو واحد ناقص ﻥ، أي سالب هذا الأس.
دعونا نر إذا ما كان يمكننا إعادة كتابة أساس هذا التعبير الأسي بحيث يكون الأس هو ﻥ ناقص واحد. نريد في الأساس تغيير إشارة الأس؛ لذا علينا ضربه في سالب واحد. ونعلم، بوجه عام، أن الأسس السالبة تعرف المقلوبات. ١٤ يساوي واحدًا على ١٤، أي مقلوب ١٤، أس سالب واحد.
ومن ثم، يمكننا إعادة كتابة هذا الحد الأسي على الصورة واحد على ١٤ أس سالب واحد الكل أس واحد ناقص ﻥ. وسيفيدنا هذا لأنه عندما نرفع قيمة لأس ما ثم إلى أس آخر، فإننا نضرب الأسين معًا. ﺱ أس ﺹ أس ﻉ يساوي ﺱ أس ﺹﻉ. واحد على ١٤ أس سالب واحد أس واحد ناقص ﻥ يساوي واحدًا على ١٤ أس سالب واحد في واحد ناقص ﻥ، وهو ما يساوي واحدًا على ١٤ أس ﻥ ناقص واحد.
إذن، يمكن كتابة الحد العام لهذه المتتابعة على الصورة ثلاثة مضروبًا في واحد على ١٤ أس ﻥ ناقص واحد. إنه الآن على الصورة المستخدمة لصيغة الحد العام. وبناء على ذلك، نجد أن الحد الأول يساوي ثلاثة، والنسبة المشتركة هي واحد على ١٤. يمكننا الآن التعويض بقيمتي ﺃ وﺭ في صيغة المجموع غير المنتهي. بما أن قيمة ﺭ تساوي واحدًا على ١٤، فستكون قيمته المطلقة أقل من واحد. وهكذا، نستنتج أن هذا المجموع موجود بالفعل. نحن نعرف أن ﺟ∞ يساوي ثلاثة على واحد ناقص واحد على ١٤. وهو ما يعطينا ثلاثة مقسومًا على ١٣ على ١٤. بعد ذلك يمكننا قلب هذا الكسر وإجراء عملية ضرب. عندئذ، نحصل على ثلاثة مضروبًا في ١٤ على ١٣، وهو ما يساوي ٤٢ على ١٣.
يمكننا كتابة ذلك على صورة عدد كسري، أو يمكننا تركه على صورة كسر غير فعلي. ولا يمكن تبسيط ذلك لعدم وجود أي عوامل مشتركة في البسط والمقام عدا الواحد. إذن، وجدنا أن مجموع حدود المتتابعة الهندسية غير المنتهية باستخدام قاعدة الحد النوني المعطاة يساوي ٤٢ على ١٣.
