فيديو السؤال: إيجاد القيم العظمى والصغرى المطلقة لدالة كثيرة حدود في فترة معطاة الرياضيات

أوجد القيم العظمى والصغرى المطلقة للدالة ﺹ = ٢ﺱ^٣ + ﺱ^٢ − ٣ﺱ − ٢؛ في الفترة [−١‎، ١] لأقرب منزلتين عشريتين.

٠٧:٤٥

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد القيم العظمى والصغرى المطلقة للدالة ﺹ تساوي اثنين ﺱ تكعيب زائد ﺱ تربيع ناقص ثلاثة ﺱ ناقص اثنين، في الفترة المغلقة من سالب واحد إلى واحد، لأقرب منزلتين عشريتين.

حسنًا، إننا نريد إيجاد القيم العظمى والصغرى للدالة الموجودة لدينا. قد تكون هذه القيم عند بداية الفترة أو عند نهايتها أو في الوسط. لحل هذه المسألة، سنستخدم طريقة تعرف باسم «طريقة الفترة المغلقة»، والتي تتضمن اختبار القيم العظمى والصغرى للدالة عند طرفي الفترة وأي نقاط تحول داخل الفترة. سيبدو المنحنى لدينا بهذا الشكل تقريبًا. ويمكننا أن نرى احتمال وجود نقطتي تحول. هيا نتابع بطريقة الفترة المغلقة.

حسنًا، سنوجد من خلال هذه الطريقة القيم العظمى والصغرى المطلقة لدالة متصلة على فترة مغلقة. الخطوة الأولى هي إيجاد القيم الحرجة وإيجاد قيم ﺩ عند القيم الحرجة داخل الفترة. الخطوة الثانية هي إيجاد قيم الدالة عند طرفي الفترة. وأخيرًا، أكبر قيمة نحصل عليها ستكون القيمة العظمى المطلقة. وأصغر قيمة نحصل عليها ستكون القيمة الصغرى المطلقة.

سنبدأ بالخطوة الأولى، وهي إيجاد القيم الحرجة وحساب قيم ﺩ عند هذه القيم. دعونا نسترجع أن القيم الحرجة هي القيم التي يكون عندها الميل يساوي صفرًا. وبذلك، نوجد القيم الحرجة عن طريق اشتقاق الدالة ومساواتها بالصفر، ثم إيجاد قيم ﺱ. نشتق دالتنا بأن نتذكر أولًا أن مشتقة ﺃﺱ أس ﻥ تساوي ﻥﺃﺱ أس ﻥ ناقص واحد. ومن ثم، فإن ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي ستة ﺱ تربيع زائد اثنين ﺱ ناقص ثلاثة. ونتذكر أن مشتقة الثابت تساوي صفرًا. ومن ثم، فإن مشتقة سالب اثنين تساوي صفرًا. وكما ذكرنا، نجعل هذا يساوي صفرًا، ثم نوجد قيم ﺱ.

لا يمكننا حل ذلك بالتحليل. لذا، دعونا نحله بطريقة إكمال المربع. إننا نتذكر أنه لأي مقدار تربيعي على الصورة ﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ، تكون صيغة إكمال المربع هي ﺱ زائد ﺏ على اثنين تربيع ناقص ﺏ على اثنين تربيع زائد ﺟ. ومن المهم أن نتذكر أنه عند إكمال المربع، نريد أن يكون معامل ﺱ تربيع يساوي واحدًا. للقيام بذلك، علينا قسمة الطرفين على ستة. ذلك يعطينا ﺱ تربيع زائد اثنين على ستة ﺱ ناقص ثلاثة على ستة يساوي صفرًا. لكن اثنين على ستة يساوي ثلثًا، وثلاثة على ستة يبسط إلى نصف. إذن، نحصل على ﺱ تربيع زائد ثلث ﺱ ناقص نصف يساوي صفرًا.

والآن، يمكننا تطبيق الصيغة الخاصة بإكمال المربع. وبما أن ﺏ يساوي ثلثًا وﺟ يساوي سالب نصف، فإننا نطبق صيغة إكمال المربع. وتذكر أنه عند قسمة كسر على عدد، يمكنك فقط ضرب مقام الكسر في العدد. لذا، فإن ثلثًا على اثنين يساوي سدسًا. حسنًا، تذكر أننا نريد في النهاية عزل ﺱ في طرف بمفرده. إذن، سنضيف نصفًا وسدسًا تربيع إلى كلا الطرفين. هذا يعطينا ﺱ زائد سدس الكل تربيع يساوي سدسًا تربيع زائد نصف. وسدس تربيع يساوي سدسًا مضروبًا في سدس. وتخبرنا قواعد ضرب الكسور أن هذا يساوي واحدًا على ٣٦.

دعونا الآن نعد كتابة الطرف الأيسر بجمع هذين الكسرين معًا. سنفعل ذلك باستخدام حقيقة أن واحدًا على اثنين يساوي ١٨ على ٣٦. وواحد على ٣٦ زائد ١٨ على ٣٦ يساوي ١٩ على ٣٦. تذكر أننا ما زلنا نحل لإيجاد قيم ﺱ. لذا، سنأخذ الجذر التربيعي لكلا الطرفين. ونحن نعلم أن الحل يمكن أن يكون موجبًا أو سالبًا. لتبسيط الطرف الأيسر، نعلم من قواعد الجذور الصماء أن الجذر التربيعي لـ ١٩ على ٣٦ هو نفسه الجذر التربيعي لـ ١٩ على الجذر التربيعي لـ ٣٦. والجذر التربيعي لـ ٣٦ يساوي ستة. وأخيرًا لعزل ﺱ، يمكننا طرح سدس من كلا الطرفين. إذن، ﺱ يساوي سالب سدس زائد أو ناقص جذر ١٩ على ستة.

ها هما الحلان لدينا، ويمكننا كتابة كل حل من هذين الحلين في صورة كسر منفرد. بحساب ذلك على الآلة الحاسبة، نحصل على قيمتي ﺱ، وهما ٠٫٥٦ وسالب ٠٫٨٩، لأقرب منزلتين عشريتين. بالعودة إلى الخطوة الأولى في طريقة الفترة المغلقة، نلاحظ أنه علينا التعويض بقيمتي ﺱ في الدالة الأصلية الموجودة لدينا. يجب أن نحرص هنا على استخدام القيم الدقيقة بدلًا من القيم المقربة، لتجنب أي أخطاء في التقريب. وسنتابع ونوجد قيمة الدالة عند هاتين القيمتين. ذلك لأن كلًا من القيمتين اللتين حصلنا عليهما لـ ﺱ هما في الفترة بين سالب واحد وواحد. سنفرغ الآن بعض المساحة لنتمكن من إيجاد ذلك.

حسنًا، إذا عوضنا بالقيمة الأولى لـ ﺱ في الدالة باستخدام الآلة الحاسبة، فسنجد أن ﺹ يساوي سالب ٣٫٠٢، لأقرب منزلتين عشريتين. ثم نعوض بالقيمة الأخرى التي أوجدناها لـ ﺱ، باستخدام القيمة الدقيقة مرة أخرى، لنجد أن ﺹ يساوي ٠٫٠٥ لأقرب منزلتين عشريتين. وبذلك نكون قد انتهينا من الخطوة الأولى.

توضح لنا الخطوة الثانية أن نوجد قيم ﺩ عند طرفي الفترة. طرفا الفترة لدينا هما سالب واحد وواحد. عندما نعوض بـ ﺱ يساوي سالب واحد في الدالة، نجد أن ﺹ يساوي صفرًا. وعندما نعوض بـ ﺱ يساوي واحدًا في الدالة، نجد أن ﺹ يساوي سالب اثنين. وبذلك، نكون قد انتهينا من الخطوة الثانية. فقد أوجدنا قيمة الدالة عند طرفي الفترة.

وأخيرًا، تخبرنا الخطوة الأخيرة أن أكبر قيمة حصلنا عليها هي القيمة العظمى، وأصغر قيمة هي القيمة الصغرى. دعونا نلق نظرة على القيم التي حصلنا عليها. ‏‏٠٫٠٥ هو أكبر هذه القيم. وسالب ٣٫٠٢ هو أصغر قيمة حصلنا عليها. إذن، وفقًا لطريقة الفترة المغلقة، وجدنا أن القيمة العظمى المطلقة للدالة تساوي ٠٫٠٥. والقيمة الصغرى المطلقة تساوي سالب ٣٫٠٢.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.