فيديو السؤال: إيجاد النهايات بتحويلها إلى صور النهاية باستخدام العدد ‪ﻫ‬‏ الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد النهاية عندما يقترب ﺱ من ما لا نهاية لـ ﺱ زائد أربعة الكل مقسوم على ﺱ ناقص أربعة الكل مرفوع للقوة ﺱ ناقص ثلاثة.

مطلوب منا في هذه المسألة إيجاد قيمة نهاية. وأول ما علينا فعله عندما يطلب منا إيجاد قيمة نهاية هو أن نحاول إيجادها بطريقة مباشرة. وتوجد طريقتان ممكنتان نستطيع استخدامهما لإيجاد قيمة هذه النهاية. لدينا النهاية عندما يقترب ﺱ من ما لا نهاية. يمكننا أن نتحقق مما يحدث داخل القوس. في البسط عندما يقترب ﺱ من ما لا نهاية، تكون قيمة البسط غير محدودة؛ أي إنها تزداد إلى ما لا نهاية. وينطبق الأمر نفسه على المقام؛ فهو يزداد إلى ما لا نهاية أيضًا. وفي الواقع، ينطبق الأمر نفسه على الأس. ‏ﺱ ناقص ثلاثة يقترب من ما لا نهاية عندما يقترب ﺱ من ما لا نهاية. وهذا يعطينا ما لا نهاية على ما لا نهاية الكل مرفوع للقوة ما لا نهاية. وهذه صيغة غير معينة، وذلك لأن ما لا نهاية على ما لا نهاية، على سبيل المثال، يعطينا صيغة غير معينة. وهكذا، لن يساعدنا ذلك في الإجابة عن السؤال.

لكن توجد طريقة أخرى كان يمكننا أن نجربها لفعل ذلك مباشرة. داخل الأقواس، لدينا دالة كسرية. ونعرف بعض الطرق المختلفة لإيجاد قيمة النهاية عندما يقترب ﺱ من ما لا نهاية في الدالة الكسرية. على سبيل المثال، يمكننا استخدام قسمة كثيرات الحدود أو النظر إلى معاملات الحدود الرئيسية وقوى الحدود الرئيسية. ويمكن استخدام أي من الطريقتين لإثبات أن نهاية الدالة الكسرية داخل القوس، عندما يقترب ﺱ من ما لا نهاية، تساوي واحدًا. لكن لا يزال الأس يقترب من ما لا نهاية عندما يقترب ﺱ من ما لا نهاية. وهذا يعطينا واحدًا أس ما لا نهاية، وهي صيغة غير معينة أيضًا.

إذن، لا يمكننا إيجاد قيمة هذه النهاية مباشرة. سنحتاج إلى استخدام طريقة أخرى. ولنفعل ذلك، دعونا نبدأ بقسمة بسط ومقام الدالة الكسرية داخل القوس. وفي الواقع نعرف بعض الطرق المختلفة لفعل ذلك. على سبيل المثال، يمكننا إجراء ذلك مباشرة باستخدام قسمة كثيرات الحدود. وسيكون ذلك صحيحًا؛ لكن توجد طريقة أخرى يمكننا استخدامها. نلاحظ أن الحد الرئيسي في كل من البسط والمقام له المعامل واحد. وكلاهما له نفس قيمة الأس. هذا يعني أن المقام يتكرر في البسط مرة واحدة.

ثم نعلم أن علينا إضافة ثابت ما مقسومًا على المقام ﺱ ناقص أربعة. وبحل هذا، نجد أنه يساوي موجب ثمانية. أي من الطريقتين تعطينا النهاية التالية: النهاية عندما يقترب ﺱ من ما لا نهاية لواحد زائد ثمانية مقسومًا على ﺱ ناقص أربعة الكل مرفوع للقوة ﺱ ناقص ثلاثة. والآن يمكننا ملاحظة أن هذه النهاية تشبه إلى حد كبير نهاية نعرفها بالفعل. فهي تشبه كثيرًا النهاية التي تتضمن عدد أويلر ﻫ. أي النهاية عندما يقترب ﻥ من ما لا نهاية لواحد زائد واحد على ﻥ الكل مرفوع للقوة ﻥ تساوي ﻫ. لذا، سنحاول استخدام هذه النهاية الناتجة لمساعدتنا على إيجاد قيمة هذه النهاية.

قبل أن نفعل ذلك، تجدر الإشارة هنا إلى أنه كان بإمكاننا استخدام النهاية المستنتجة الأخرى التي تتضمن عدد أويلر ﻫ. عادة ما توصلنا إحدى هاتين النهايتين الناتجتين للحل بطريقة أسهل من الأخرى. لكن من الصعب تحديد النهاية الناتجة التي علينا استخدامها بمجرد النظر إلى النهاية المطلوب إيجاد قيمتها. لذا، إذا تعثرت أثناء استخدام إحدى النهايتين الناتجتين، فجرب الأخرى. لكي نستخدم هذه النهاية الناتجة، علينا إعادة كتابة النهاية. نلاحظ أننا نحتاج إلى واحد زائد واحد على ﻥ داخل القوسين.

ولكتابة النهاية على هذه الصورة، سنستخدم التعويض. سنجعل واحدًا على ﻥ يساوي ثمانية على ﺱ ناقص أربعة. إذن، باستخدام التعويض، يمكننا إعادة كتابة النهاية على صورة النهاية عندما يقترب ﺱ من ما لا نهاية لواحد زائد واحد على ﻥ الكل مرفوع للقوة ﺱ ناقص ثلاثة. لكن من الصعب إيجاد قيمة هذه النهاية مباشرة؛ لأنها تحتوي على ﺱ وﻥ. لذا، دعونا نحاول إعادة كتابة هذه النهاية بالكامل بدلالة ﻥ. ولفعل ذلك، علينا إيجاد تعبير لـ ﺱ بدلالة ﻥ. ويمكننا فعل ذلك باستخدام التعويض. سنحتاج إلى إعادة ترتيب هذه المعادلة للحصول على تعبير لـ ﺱ بدلالة ﻥ.

لفعل ذلك، سنبدأ بكتابة مقلوب كلا طرفي المعادلة. هذا يعطينا ﻥ يساوي ﺱ ناقص أربعة الكل مقسومًا على ثمانية. بعد ذلك، سنضرب كلا طرفي هذه المعادلة في ثمانية. هذا يعطينا ثمانية ﻥ يساوي ﺱ ناقص أربعة. وأخيرًا، نضيف أربعة إلى طرفي المعادلة. وهذا يعطينا ثمانية ﻥ زائد أربعة يساوي ﺱ. والآن نعوض بهذا التعبير عن ﺱ في النهاية الموجودة لدينا. بفعل بذلك، نحصل على النهاية عندما يقترب ﺱ من ما لا نهاية لواحد زائد واحد على ﻥ الكل مرفوع للقوة ثمانية ﻥ زائد أربعة ناقص ثلاثة.

وبالطبع، يمكننا تبسيط ذلك. في الأس، لدينا أربعة ناقص ثلاثة، وهو ما يساوي واحدًا. وهكذا نكون قد انتهينا من إعادة كتابة النهاية على الصورة الآتية. لكننا ما زلنا بحاجة إلى معرفة ما يحدث لقيم ﻥ عندما يقترب ﺱ من ما لا نهاية. وأسهل طريقة لمعرفة ذلك هي النظر إلى تعبير ﺱ بدلالة ﻥ. مع اقتراب ﺱ من ما لا نهاية، تزداد قيمة الطرف الأيسر في هذه المعادلة بلا حدود. هذا يعني أن قيمة الطرف الأيمن في هذه المعادلة لا بد أن تزداد أيضًا بلا حدود. والطريقة الوحيدة التي يمكن أن يحدث بها ذلك هي إذا كانت قيم ﻥ تزداد بلا حدود. بعبارة أخرى، عندما يقترب ﺱ من ما لا نهاية، فإن ﻥ لا بد أن يقترب من ما لا نهاية.

ومن ثم، باستخدام ذلك، يمكننا إعادة كتابة النهاية على صورة النهاية عندما يقترب ﻥ من ما لا نهاية لواحد زائد واحد على ﻥ الكل مرفوع للقوة ثمانية ﻥ زائد واحد. والآن، نلاحظ أن هذه النهاية أصبحت مكتوبة تقريبًا على نفس صورة قاعدة النهاية. الفرق الوحيد هو أنه بدلًا من الأس ﻥ، الأس لدينا هو ثمانية ﻥ زائد واحد. لذا، سنحاول إعادة كتابة هذه النهاية لنحصل على الأس ﻥ فقط. وسنفعل ذلك باستخدام قوانين الأسس. أولًا، نلاحظ أن الأس عبارة عن مجموع. لذا، سنعيد كتابته باستخدام حقيقة أن ﺃ أس ﺏ زائد ﺟ يساوي ﺃ أس ﺏ مضروبًا في ﺃ أس ﺟ.

بجعل قيمة ﺃ تساوي واحدًا زائد واحد على ﻥ، وﺏ يساوي ثمانية ﻥ، وﺟ يساوي واحدًا، يمكننا إعادة كتابة النهاية لتصبح النهاية عندما يقترب ﻥ من ما لا نهاية لواحد زائد واحد على ﻥ الكل مرفوع للقوة ثمانية ﻥ مضروبًا في واحد زائد واحد على ﻥ الكل مرفوع للقوة واحد. وبالطبع، رفع أي مقدار إلى القوة واحد لا يغير قيمته. لكن نلاحظ أننا نوجد نهاية حاصل ضرب. إذن، يمكننا محاولة إيجاد قيمة هذه النهاية باستخدام قاعدة حاصل ضرب النهايات. تنص قاعدة حاصل ضرب النهايات على أن نهاية حاصل الضرب تساوي حاصل ضرب النهاية بشرط وجود نهاية كل من العاملين.

وفي الواقع، عندما نجيب عن هذا السؤال، سنثبت أن هاتين النهايتين موجودتان مباشرة. هيا نبدأ بالنهاية عندما يقترب ﻥ من ما لا نهاية لواحد زائد واحد على ﻥ. يمكننا إيجاد قيمة هذه النهاية مباشرة. كلما اقترب ﻥ من ما لا نهاية، فإن واحدًا على ﻥ يقترب من صفر، حيث إن قيمة مقامه تزداد بلا حدود وتظل قيمة البسط ثابتة. إذن، عندما يقترب ﻥ من ما لا نهاية، يقترب هذا العامل من واحد. ومن ثم، باستخدام قاعدة حاصل ضرب النهايات، يمكننا إعادة كتابة النهاية على صورة النهاية عندما يقترب ﻥ من ما لا نهاية لواحد زائد واحد على ﻥ الكل مرفوع للقوة ثمانية ﻥ، بشرط وجود هذه النهاية.

والآن أصبحت على صورة النهاية التي استنتجناها تقريبًا، لكن الأس هو ثمانية ﻥ بدلًا من ﻥ. لذا، سنستخدم قانونًا آخر من قوانين الأسس. هذه المرة، سنستخدم حقيقة أن ﺃ أس ﺏ مضروبًا في ﻥ يساوي ﺃ أس ﻥ الكل مرفوعًا للقوة ﺏ. باستخدام هذه الطريقة، تمكنا من إعادة كتابة النهاية على صورة النهاية عندما يقترب ﻥ من ما لا نهاية لواحد زائد واحد على ﻥ الكل مرفوعًا للقوة ﻥ الكل مرفوعًا لثمانية. لكن الآن يمكننا أن نلاحظ أننا نوجد قيمة نهاية دالة مرفوعة للقوة ثمانية. لذا، يمكننا محاولة إيجاد قيمة هذه النهاية باستخدام قاعدة القوى للنهايات.

نتذكر أن إحدى صيغ قاعدة القوى للنهايات تخبرنا أن النهاية عندما يقترب ﺱ من ما لا نهاية لـ ﺩ في ﺱ مرفوع للقوة ﻡ تساوي النهاية عندما يقترب ﺱ من ما لا نهاية لـ ﺩﺱ الكل مرفوع للقوة ﻡ. ويمكننا التأكد من صحة ذلك هنا بشرط أن يكون ﻡ عددًا صحيحًا والنهاية عندما يقترب ﺱ من ما لا نهاية لـ ﺩﺱ موجودة. وهذان الشرطان متوفران هنا. فقيمة ﻡ هي ثمانية، وهو عدد صحيح. والنهاية التي نحتاج إلى وجودها هي النهاية عندما يقترب ﻥ من ما لا نهاية لواحد زائد واحد على ﻥ الكل مرفوع للقوة ﻥ، وهي في الواقع النهاية الناتجة. ونعرف بالفعل أنها تساوي ﻫ.

ومن ثم، باستخدام قاعدة القوى للنهايات، بدلًا من رفع الدالة داخل النهاية للقوة ثمانية، يمكننا رفع النهاية كلها إلى القوة ثمانية. وأخيرًا، يمكننا إيجاد قيمة هذه النهاية باستخدام قاعدة النهاية. فنحن نعلم أنها تساوي ﻫ. ثم علينا رفع هذا التعبير بالكامل للقوة ثمانية. وهذا يعطينا الإجابة النهائية ﻫ أس ثمانية. وبذلك، نكون قد أثبتنا أن النهاية عندما يقترب ﺱ من ما لا نهاية لـ ﺱ زائد أربعة الكل مقسومًا على ﺱ ناقص أربعة الكل مرفوعًا للقوة ﺱ ناقص ثلاثة تساوي ﻫ أس ثمانية.