نسخة الفيديو النصية
ارتفاع أسطوانة مغلقة يساوي قطر قاعدتها. تتمدد الأسطوانة مع الحفاظ على هذه العلاقة بين الارتفاع وقطر القاعدة، بحيث يكون معدل زيادة مساحة سطحها بالنسبة إلى الزمن ٣٢𝜋 سنتيمتر مربع لكل ثانية. احسب معدل الزيادة في نصف قطرها عندما يكون نصف قطر قاعدتها ١٨ سنتيمترًا.
أول شيء علينا فعله عند التعامل مع أسئلة المعدلات المرتبطة هو تحديد ما لدينا من معطيات وما نريد إيجاده. في هذا السؤال، لدينا أسطوانة ارتفاعها يساوي قطر قاعدتها. إذا افترضنا أن نق يساوي نصف قطر المقطع العرضي لهذه الأسطوانة، فسنجد أن قطر قاعدتها وارتفاعها يساويان اثنين نق. علمنا أيضًا أن معدل زيادة مساحة سطحها بالنسبة إلى الزمن يساوي ٣٢𝜋 سنتيمتر مربع لكل ثانية. ونعلم أن معدل تغير قيمة ما هو مشتقة هذه القيمة.
بافتراض أن ﻡ يساوي مساحة السطح، نجد أن د ﻡ على د ﻥ يساوي ٣٢𝜋. علينا إيجاد معدل الزيادة في نصف القطر. لذا، نريد إيجاد د نق على د ﻥ. فكيف نربط إذن د ﻡ على د ﻥ بـ د نق على د ﻥ؟ حسنًا، سنستخدم قاعدة السلسلة. نلاحظ أن د ﻡ على د ﻥ يساوي د ﻡ على د نق مضروبًا في د نق على د ﻥ. وبقسمة الطرفين على د ﻡ على د نق، نجد أنه يمكن حساب د نق على د ﻥ بقسمة د ﻡ على د ﻥ على د ﻡ على د نق. نحن نعلم قيمة د ﻡ على د ﻥ، لكن كيف سنحسب د ﻡ على د نق؟
حسنًا، دعونا نسترجع صيغة مساحة سطح الأسطوانة. إنها تساوي مساحة الدائرتين، أي اثنين 𝜋 نق تربيع؛ زائد مساحة المستطيل بينهما، أي اثنين 𝜋 نق مضروبًا في ﻉ. قلنا من قبل إن ارتفاع الأسطوانة يساوي اثنين نق، لذا نعوض عن ﻉ باثنين نق في الصيغة لدينا. وبالتبسيط، نجد أن مساحة سطح الأسطوانة تساوي ستة 𝜋 نق تربيع. كذلك نلاحظ أنه يمكننا إيجاد مقدار يعبر عن د ﻡ على د نق باشتقاق هذا المقدار بالنسبة إلى نق. قيمة المشتقة الأولى لستة 𝜋 نق تربيع هي اثنان في ستة 𝜋 نق ، وهو ما يساوي ١٢𝜋 نق .
نحن نريد إيجاد معدل الزيادة عندما يكون نصف القطر يساوي ١٨ سنتيمترًا، لذا سنوجد قيمة د ﻡ على د نق عند نق يساوي ١٨. وهذا يساوي ١٢𝜋 في ١٨، ما يعطينا ٢١٦𝜋. أصبح لدينا الآن د ﻡ على د ﻥ ود ﻡ على د نق. قلنا إن د نق على د ﻥ هو خارج قسمة هاتين القيمتين؛ أي ٣٢𝜋 على ٢١٦𝜋. وهو ما يمكن تبسيطه إلى أربعة على ٢٧. إذن، معدل الزيادة في نصف قطر الأسطوانة عندما يكون نصف قطر قاعدتها ١٨ سنتيمترًا هو أربعة على ٢٧ سنتيمترًا لكل ثانية.
