نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نمثل علاقة باستخدام المخطط السهمي أو التمثيل البياني، بمعلومية مجال ومدى العلاقة المعطاة. سنبدأ بتعريف ما نعنيه بالعلاقة في الرياضيات.
العلاقة هي علاقة بين مجموعة من القيم. تكون هذه العلاقة بين قيم ﺱ وقيم ﺹ في صورة زوج مرتب. مجموعة قيم ﺱ تسمى المجال أو القيمة المدخلة، ومجموعة قيم ﺹ تسمى المدى أو القيمة المخرجة. يمكن أن تعرض العلاقات في صورة جدول أو مخطط أو تمثيل بياني. وسنتناول جميع الأنواع الثلاثة في هذا الفيديو. تنتج العلاقة عددًا مخرجًا واحدًا أو أكثر لكل عدد مدخل. يمكن كتابة الإجابات في صورة الزوج المرتب أو الزوج الإحداثي ﺱ، ﺹ. سنتناول الآن مجموعة متنوعة من الأسئلة حول العلاقات في السياقات المختلفة.
في لعبة كرة السلة، كل تصويبة من خارج خط الثلاث نقاط تسجل بثلاث نقاط. يوضح الجدول تلك العلاقة. اكتب هذه المعلومات على صورة أزواج مرتبة (التصويبات من خط الثلاث نقاط، العدد الكلي للنقاط المحرزة).
نكتب الزوج المرتب بالصورة ﺱ فاصلة ﺹ. في هذا السؤال، سنشير إلى عدد التصويبات من خط الثلاث نقاط بالقيمة ﺱ والعدد الكلي للنقاط المحرزة بالقيمة ﺹ. علينا النظر إلى كل عمود من أعمدة الجدول واحدًا تلو الآخر.
عندما لم تسدد أي تصويبة من خط الثلاث نقاط، لم يكن هناك عدد كلي للنقاط المحرزة. وبالتالي، فالزوج المرتب الأول هو صفر، صفر. وعند تسديد تصويبة واحدة من خط الثلاث نقاط، تم احتسابها بثلاث نقاط. ولذلك، سيكون الزوج المرتب الثاني هو واحدًا، ثلاثة. وهناك إجمالي ست نقاط نتيجة لتسديد تصويبتين من خط الثلاث نقاط، وبالتالي، سنحصل على الزوج المرتب اثنين، ستة. وفي العمود الأخير من الجدول، لدينا الزوج المرتب ثلاثة، تسعة. الأزواج الأربعة المرتبة التي حصلنا عليها من الجدول إذن هي صفر، صفر؛ وواحد، ثلاثة؛ واثنان، ستة؛ وثلاثة، تسعة.
في هذا السؤال، يمكننا كتابة القيمة المخرجة ﺹ في صورة دالة بدلالة القيمة المدخلة ﺱ. وبما أن كل تصويبة تحتسب بثلاث نقاط، فسيكون إجمالي النقاط ﺹ مساويًا لثلاثة في ﺱ أو ثلاثة ﺱ. وعلى الرغم من أن جميع الدوال تعبر عن علاقات، فإن العلاقات ليست كلها دوال.
يتضمن السؤال التالي مخططًا أو مخططًا سهميًّا.
اكتب بيان العلاقة ﻉ للمخطط السهمي التالي.
يمكن كتابة كل زوج من القيم في أي علاقة في صورة زوج مرتب ﺱ، ﺹ. تعرف قيم ﺱ بالمجال أو القيم المدخلة. وتعرف قيم ﺹ بالمدى أو القيم المخرجة. يمكننا أن نستنتج من المخطط السهمي أو المخطط أن القيمة المدخلة ستة تعطينا قيمة مخرجة تساوي ثمانية. وبالتالي، سيكون الزوج المرتب الأول هو ستة، ثمانية. القيمة المدخلة ١٠ تعطينا القيمة المخرجة ١٢. إذن، سيكون الزوج المرتب الثاني هو ١٠، ١٢.
الزوج المرتب الثالث والأخير هو ١١، ١٣. نتذكر أن العلاقة تنتج قيمة مخرجة واحدة أو أكثر لكل قيمة مدخلة. وعند التفكير في استخدام مخطط أو مخطط سهمي، يجب أن تكون لكل قيمة في المجال قيمة مقابلة في المدى. وبالتالي، لا يمكن أن يكون لدينا أي أعداد ليس لها ما يقابلها في المجال. ولكن يمكن أن يحدث ذلك في المدى. ففي هذه الحالة، ليس للعدد ٢٨ ما يقابله في القيم المدخلة.
وبالتالي، يمكن كتابة العلاقة ﻉ باستخدام ترميز المجموعة والأقواس المتعرجة. ﻉ يساوي الأزواج المرتبة ستة، ثمانية؛ و١٠، ١٢؛ و١١، ١٣. قد نلاحظ أن هذه العلاقة تعبر عن دالة أيضًا، رغم أنه لم يطلب منا ذلك في هذا السؤال. فكل قيمة من القيم المخرجة ﺹ تزيد عن القيم المدخلة ﺱ بمقدار اثنين. هذا يعني أن القاعدة العامة لهذه الدالة هي ﺹ يساوي ﺱ زائد اثنين. وبالتالي، ستكون القيمة المخرجة أكبر دائمًا من القيمة المدخلة بمقدار اثنين.
يتضمن السؤال التالي مخططًا سهميًّا أكثر تعقيدًا.
أي مما يلي يعبر بصورة صحيحة عن العلاقة ﻉ المرسومة في الشكل الآتي؟
أي علاقة هي مجموعة من الأزواج المرتبة على صورة ﺱ، ﺹ. تعرف مجموعة قيم ﺱ بالمجال أو القيم المدخلة، وقيم ﺹ هي المدى أو القيم المخرجة. بدلالة المخطط السهمي الموضح أمامنا، ستكون القيم ﺱ هي القيم التي تبدأ عندها الأسهم، وستكون القيم ﺹ هي القيم التي تنتهي عندها الأسهم. يمكننا الانتقال مباشرة إلى المخطط الموضح أمامنا وكتابة الأزواج المرتبة الصحيحة. وبدلًا من ذلك، يمكننا النظر إلى الخيارات الخمسة للسؤال واستبعاد بعض منها على الفور.
وفقًا للخيار (أ)، فإن ﻉ تساوي المجموعة سالب ١٨، وسالب تسعة، وصفرًا، وتسعة، و١٨. هذه مجرد مجموعة من القيم وليست مجموعة من الأزواج المرتبة. إذن الخيار (أ) لا يمكن أن يكون صحيحًا. ووفقًا للخيار (ب)، فإن ﻉ تساوي سالب ١٨، ١٨؛ وسالب تسعة، تسعة. وبما أن هناك خمسة أسهم في الشكل، فلا بد أن يكون لدينا خمسة أزواج مرتبة. وهذا يعني أن الخيار (ب) لا يمكن أن يكون صحيحًا. يتضمن الخيار (ج) أربعة أزواج مرتبة، وهي: سالب ١٨، ١٨؛ وسالب تسعة، تسعة؛ وتسعة، سالب تسعة؛ و١٨، سالب ١٨. وهذا يعني أن هذا الخيار غير صحيح أيضًا.
يحتوي كل من الخيارين (د) و(هـ) على خمسة أزواج مرتبة. لكن الخيار (هـ) يحتوي على القيم الكسرية التالية: سالب واحد على ١٨، وسالب واحد على تسعة، وواحد على تسعة، وواحد على ١٨. وبما أن هذه القيم لا تظهر في الشكل، فإن هذه الإجابة خاطئة أيضًا. إذن بحذف الإجابات الأخرى، يتضح أن الخيار (د) هو الإجابة الصحيحة، وهي: سالب ١٨، ١٨؛ وسالب تسعة، تسعة؛ وصفر، صفر؛ وتسعة، سالب تسعة؛ و١٨، سالب ١٨. سنتحقق الآن من أن هذه الإجابة تمثل بالفعل الأزواج الخمسة المرتبة في الشكل. السهم الذي يبدأ من أقصى اليسار يبدأ من سالب ١٨ وينتهي عند ١٨. هذا يعني أن له القيمة المدخلة سالب ١٨ والقيمة المخرجة ١٨، وبالتالي، سيكون الزوج المرتب سالب ١٨، ١٨.
السهم الثاني يمتد من سالب تسعة إلى تسعة. وهذا بالتالي زوج مرتب آخر. السهم الثالث يبدأ من صفر، لكنه مرسوم بصورة حلقة ويعود إلى الصفر. وهذا يقابل الزوج المرتب صفرًا، صفرًا. السهم التالي له القيمة المدخلة تسعة والقيمة المخرجة سالب تسعة. هذا هو الزوج المرتب تسعة، سالب تسعة. وأخيرًا، لدينا سهم يبدأ من ١٨ وينتهي عند سالب ١٨. وبالتالي، فإن الأزواج المرتبة الخمسة هي سالب ١٨، ١٨؛ وسالب تسعة، تسعة؛ وصفر، صفر؛ وتسعة، سالب تسعة؛ و١٨، سالب ١٨. وهذا يؤكد أن الخيار (د) هو الإجابة الصحيحة.
قد نلاحظ وجود نمط هنا بين القيم المدخلة والقيم المخرجة. فإذا ضربنا كل قيمة من القيم المدخلة في سالب واحد أو قسمناها على سالب واحد، فسنحصل على القيم المخرجة. هذا يعني أن هذا المخطط يقابل الدالة ﺹ تساوي سالب ﺱ.
يتضمن السؤال التالي تحديد علاقة من شبكة إحداثيات.
اكتب بيان العلاقة ﻉ للمخطط التالي.
يجب كتابة أي علاقة ﻉ بصورة مجموعة من الأزواج المرتبة على صورة ﺱ، ﺹ. في العلاقة، تمثل قيم ﺱ المجال أو القيم المدخلة، وتعبر قيم ﺹ عن المدى أو القيم المخرجة. في هذا السؤال، لدينا خمس نقاط محددة على المخطط. وبالتالي، نحتاج إلى خمسة أزواج مرتبة. يمكننا كتابة هذه الأزواج بأي ترتيب، لكننا سنبدأ من أقصى اليسار، أي أقل قيمة لـ ﺱ. وبذلك، سيكون الزوج المرتب الأول هو سالب أربعة، واحدًا. سنتحرك على المحور ﺱ وصولًا إلى سالب أربعة ثم لأعلى على المحور ﺹ عند واحد.
إحداثيات الزوج المرتب الثاني هي سالب واحد، اثنان. والزوج التالي هو صفر، واحد. وهذا يعني أن أي نقطة تقع على المحور ﺹ سيكون إحداثي ﺱ الخاص بها مساويًا لصفر. للنقطة الرابعة الإحداثيات اثنان، ثلاثة. أما الزوج المرتب الخامس والأخير فهو ثلاثة، واحد. يمكننا إذن أن نستنتج أن العلاقة ﻉ هي مجموعة القيم: سالب أربعة، واحد؛ وسالب واحد، اثنين؛ وصفر، واحد؛ واثنين، ثلاثة؛ وثلاثة، واحد.
السؤالان الأخيران يتضمنان مطابقة معادلات مع العلاقة المعطاة.
إذا كانت ﻉ علاقة من ﺱ إلى ﺹ، حيث ﺃ ينتمي إلى ﺱ وﺏ ينتمي إلى ﺹ، فأي المعادلات التالية يعبر عن العلاقة ﻉ بشكل صحيح؟ هل هي (أ) ﺏ يساوي ﺃ زائد واحد، أم (ب) ﺏ يساوي اثنين ﺃ زائد اثنين، أم (ج) ﺏ يساوي اثنين ﺃ ناقص اثنين، أم (د) ﺏ يساوي اثنين ﺏ زائد اثنين، أم (هـ) ﺏ يساوي اثنين ﺏ ناقص اثنين؟
أي علاقة ﻉ تحتوي على مجموعة من الأزواج المرتبة بصورة ﺱ، ﺹ. في المخطط الموضح، لدينا ثلاثة أزواج مرتبة، وهي: سالب واحد، صفر؛ وأربعة، ١٠؛ وخمسة، ١٢. يمكننا إذن القول إن العلاقة ﻉ هي مجموعة الأزواج المرتبة الثلاثة هذه. ومطلوب منا إيجاد المعادلة الصحيحة التي تحققها أي قيمة من ﺱ، أي ﺃ، والقيمة المقابلة لها من ﺹ، أي ﺏ أسهل طريقة لفعل ذلك هي التعويض بالقيم في كل معادلة من المعادلات. لنبدأ بالزوج المرتب سالب واحد، صفر.
سنعتبر أن ﺃ يساوي سالب واحد وﺏ يساوي صفرًا. صفر يساوي سالب واحد زائد واحد. هذا يعني أن المعادلة (أ) يحققها الزوج المرتب الأول. وبالمثل، اثنان في سالب واحد زائد اثنين يساوي صفرًا أيضًا. هذا يعني أن المعادلة (ب) يحققها أيضًا الزوج المرتب الأول. في الخيار (ج)، اثنان في سالب واحد ناقص اثنين يساوي سالب أربعة وليس صفرًا. هذا يعني أن المعادلة (ج) ليست الإجابة الصحيحة. هذا ينطبق أيضًا على الخيارين (د) و(هـ)؛ لأن سالب واحد لا يساوي اثنين في صفر زائد اثنين أو اثنين في صفر ناقص اثنين. يمكننا إذن استبعاد هذين الخيارين.
سنتناول الآن الزوج المرتب الثاني، وهو أربعة، ١٠، وسنعوض به في المعادلة (أ) والمعادلة (ب). هذه المرة، ﺃ يساوي أربعة وﺏ يساوي ١٠. ١٠ لا يساوي أربعة زائد واحد. هذا يعني أن المعادلة (أ) غير صحيحة أيضًا. ١٠ يساوي اثنين في أربعة زائد اثنين. هذا يعني أن المعادلة (ب) يحققها الزوجان المرتبان الأول والثاني. يمكننا الآن الانتقال إلى الزوج المرتب الثالث، وهو خمسة، ١٢. اثنان مضروبًا في خمسة زائد اثنين يساوي ١٢. وبما أن المعادلة (ب) يحققها جميع الأزواج المرتبة الثلاثة، فهي الإجابة الصحيحة. إذن المعادلة التي تعبر عن العلاقة ﻉ بشكل صحيح، هي ﺏ يساوي اثنين ﺃ زائد اثنين.
إذا كانت ﺱ هي مجموعة الأعداد ٢٠ وواحد وثلاثة، وﻉ علاقة على ﺱ، حيث ﺃﻉﺏ تعني أن ﺃ زائد اثنين ﺏ يساوي عددًا زوجيًّا لكل ﺃ ينتمي إلى ﺱ وﺏ ينتمي إلى ﺱ، فأوجد بيان العلاقة ﻉ.
يخبرنا السؤال بأن المجموعة ﺱ تحتوي على ثلاثة أعداد، وهي: ٢٠ وواحد وثلاثة. قيم ﺃ وﺏ تنتمي للمجموعة ﺱ. وبالتالي، لا بد أن تكون كل منها من هذه الأعداد الثلاثة. ومعلوم لنا أيضًا أن ﻉ هي علاقة على ﺱ. وأي علاقة هي مجموعة من الأزواج المرتبة ﺱ، ﺹ. وبالتالي، فيجب أن يحقق كل زوج من الأزواج المعادلة ﺃ زائد اثنين ﺏ يساوي عددًا زوجيًّا، حيث ﺃ هو القيمة ﺱ وﺏ هو القيمة ﺹ. يمكننا كتابة الأزواج التسعة المرتبة الممكنة كما هو موضح: واحدًا، واحدًا؛ وواحدًا، ثلاثة؛ وواحدًا، ٢٠؛ وثلاثة، واحدًا؛ وهكذا. يمكننا بعد ذلك التعويض بكل زوج من هذه الأزواج في المقدار ﺃ زائد اثنين ﺏ لتحديد أي منها ينتج عنه قيم زوجية أو فردية.
لكن قد يستغرق هذا وقتًا طويلًا، لذا سنبحث عن طريقة أسرع تعتمد على المعادلة الموجودة في السؤال. إن ضرب أي عدد صحيح في اثنين يعطينا عددًا زوجيًّا. هذا يعني أن حاصل ضرب اثنين ﺏ سيكون دائمًا عددًا زوجيًّا. نتذكر أن إضافة عدد زوجي إلى عدد زوجي آخر يعطينا عددًا زوجيًّا، بينما ينتج عن إضافة عدد فردي إلى عدد زوجي عدد فردي. ولكي يكون ناتج ﺃ زائد اثنين ﺏ عددًا زوجيًّا، لا بد أن يكون ﺃ عددًا زوجيًّا. العدد الزوجي الوحيد في القيم الثلاث الموجودة في المجموعة ﺱ هو ٢٠. هذا يعني أن ﺃ يجب أن يساوي ٢٠. أما ﺏ، فقد يكون أيًّا من القيم الثلاثة؛ لأن حاصل ضرب أي منها في اثنين سيكون عددًا زوجيًّا. إذن، العلاقة ﻉ هي مجموعة الأزواج المرتبة الثلاثة: ٢٠، واحد؛ و٢٠، ثلاثة؛ و٢٠، ٢٠.
سنلخص الآن النقاط الأساسية في هذا الفيديو. تناولنا أسئلة في هذا الفيديو تعرض العلاقة في صورة جدول أو مخطط سهمي أو تمثيل بياني. في كل حالة تناولناها، كانت العلاقة تكتب على صورة مجموعة من الأزواج المرتبة. هذه القاعدة موضحة أمامنا بهذا الشكل. مجموعة قيم ﺱ في الأزواج المرتبة هي المجال، ومجموعة قيم ﺹ هي المدى. يمكن كتابة العلاقة عادة على صورة دالة تربط القيم المدخلة ﺱ بالقيم المخرجة ﺹ.
