فيديو السؤال: استخدام المتطابقات الدورية لإيجاد قيمة تعبير يحتوي على دوال مثلثية تتضمن زوايا خاصة الرياضيات

أوجد قيمة جتا ١٣٥° + ظا ١٣٥° + قا ٢٢٥° + جتا ٢٢٥°.

٠٤:٣٥

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد قيمة جتا ١٣٥ درجة زائد ظا ١٣٥ درجة زائد قا ٢٢٥ درجة زائد جتا ٢٢٥ درجة.

للإجابة عن هذا السؤال، علينا أن نتذكر بعض خواص الزوايا الخاصة. ‏جا ٤٥ درجة يساوي جذر اثنين على اثنين. وبالمثل، جتا ٤٥ درجة يساوي جذر اثنين على اثنين. وظا ٤٥ درجة يساوي واحدًا.

بعد ذلك، علينا التفكير في أجزاء المنحنى التي تقع بين صفر درجة و٣٦٠ درجة. التمثيل البياني لدالة الجيب لـ ‪𝜃‬‏ له قيمة عظمى تساوي واحدًا، وقيمة صغرى تساوي سالب واحد. ويبدأ عند صفر وينتهي عند صفر. يكون جزء المنحنى بين صفر و١٨٠ درجة متماثلًا حول الخط المستقيم ‪𝜃‬‏ يساوي ٩٠ درجة. تقع الزاوية ٤٥ درجة في المنتصف بين صفر و٩٠ درجة. وتقع الزاوية ٢٢٥ درجة في المنتصف بين ١٨٠ درجة و٢٧٠ درجة.

هذا يعني أن جا ٢٢٥ درجة يساوي سالب جا ٤٥ درجة. إذن، جا ٢٢٥ درجة يساوي سالب جذر اثنين على اثنين. ويمكننا استخدام هذا لحساب قا ٢٢٥ درجة، لأن ‪قا 𝜃‬‏ يساوي واحدًا على ‪جا 𝜃‬‏.

منحنى دالة جيب التمام أيضًا له قيمة عظمى تساوي واحدًا وقيمة صغرى تساوي سالب واحد. ‏‪جتا‬‏ صفر يساوي واحدًا. و جتا ٣٦٠ يساوي واحدًا. يكون جزء المنحنى الموضح متماثلًا حول الخط المستقيم ‪𝜃‬‏ يساوي ١٨٠ درجة. ومرة أخرى، لدينا قيمتان تقعان في المنتصف بين ٩٠ و١٨٠، وبين ١٨٠ و٢٧٠. ويمكننا ملاحظة أن قيمة جتا ١٣٥ درجة تساوي جتا ٢٢٥ درجة. وهذا يساوي سالب جتا ٤٥ درجة. وأيضًا كلتا هاتين القيمتين تساوي سالب جذر اثنين على اثنين.

وأخيرًا، علينا النظر إلى التمثيل البياني لدالة الظل لـ ‪𝜃‬‏، الذي له خطا تقارب عند ‪𝜃‬‏ تساوي ٩٠ و‪𝜃‬‏ تساوي ٢٧٠ درجة. لا توجد قيم عظمى أو صغرى لدالة الظل لـ ‪𝜃‬‏. ونجد التمثيل البياني لدالة الظل لـ ‪𝜃‬‏ كما هو موضح. مرة أخرى، بسبب التماثل، يمكننا ملاحظة أن ظا ١٣٥ درجة يساوي سالب ظا ٤٥ درجة. بما أن ظا ٤٥ يساوي واحدًا، فإن سالب ظا ٤٥ يجب أن يساوي سالب واحد.

ذكرنا سابقًا أن ‪قا 𝜃‬‏ يساوي واحدًا على ‪جا 𝜃‬‏. ومن ثم، قا ٢٢٥ درجة لا بد أن يساوي واحدًا على جا ٢٢٥ درجة. ‏قا ٢٢٥ يساوي واحدًا مقسومًا على سالب جذر اثنين على اثنين. وهذا يساوي سالب اثنين على جذر اثنين. يمكننا إنطاق هذا الكسر بضرب البسط والمقام في جذر اثنين. وهذا يساوي سالب اثنين جذر اثنين على اثنين، وهو ما يبسط إلى سالب جذر اثنين.

سنفرغ الآن بعض المساحة ونلخص الإجابات. ‏جتا ١٣٥ درجة يساوي سالب جذر اثنين على اثنين. و ظا ١٣٥ درجة يساوي سالب واحد. وقا ٢٢٥ درجة يساوي سالب جذر اثنين. وأخيرًا، جيب تمام الزاوية ٢٢٥ درجة أو جتا٢٢٥ درجة يساوي سالب جذر اثنين على اثنين. علينا جمع جميع هذه الإجابات الأربع.

وهذا يعطينا سالب جذر اثنين على اثنين ناقص واحد ناقص جذر اثنين ناقص جذر اثنين على اثنين. نبسط الحدين سالب جذر اثنين على اثنين إلى سالب جذر اثنين. وهذا يعطينا سالب جذر اثنين ناقص واحد ناقص جذر اثنين. سالب جذر اثنين ناقص جذر اثنين يساوي سالب اثنين جذر اثنين. وبذلك، يكون الناتج النهائي هو سالب اثنين جذر اثنين ناقص واحد. إذن، قيمة جتا ١٣٥ زائد ظا ١٣٥ زائد قا ٢٢٥ زائد جتا ٢٢٥ تساوي سالب اثنين جذر اثنين ناقص واحد.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.