فيديو الدرس: مبدأ الشغل والطاقة الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نستخدم مبدأ الشغل والطاقة لحل مسائل متعلقة بحركة جسيم. علينا أن نبدأ أولًا بتعريف مبدأ الشغل والطاقة.

ينص مبدأ الشغل والطاقة على أن التغير في طاقة حركة جسم ما يساوي الشغل الكلي المبذول على هذا الجسم. بصياغة ذلك في صورة معادلة، يمكننا القول إن ﺵ، أي الشغل الكلي، يساوي Δﻁ الذي يمثل التغير في طاقة الحركة. بتذكر أن طاقة الحركة تساوي نصف ﻙﻉ تربيع، حيث ﻙ هي الكتلة وﻉ هي سرعة الجسم، يمكننا كتابة التغير في طاقة الحركة بحيث يصبح نصف ﻙﻉ النهائية تربيع ناقص نصف ﻙﻉ الابتدائية تربيع. وبتذكر أن الشغل يساوي ﻕﻑ، حيث ﻕ هي القوة الموازية للإزاحة وﻑ هي الإزاحة، نحصل على معادلة تحليلية لمبدأ الشغل والطاقة.

نحن بصدد إيجاد الشغل أو التغير في طاقة الحركة. ويمكننا أيضًا إيجاد القوة والإزاحة والكتلة والسرعة الابتدائية والسرعة النهائية. يمكن تطبيق هذا المبدأ على المسائل لتحليل حركة جسيم، مثل المسائل التي تتناول صندوقًا موضوعًا على مستوى خشن. دعونا نطبق الآن مبدأ الشغل والطاقة على بعض الأمثلة، ونبدأ بإيجاد طاقة حركة جسم سقط رأسيًّا لأسفل قبل اصطدامه بالأرض.

جسم كتلته ٤٠٠ جرام سقط رأسيًّا لأسفل بسرعة أربعة أمتار لكل ثانية من نقطة ارتفاعها خمسة أمتار فوق سطح الأرض. استخدم مبدأ الشغل والطاقة لحساب طاقة حركة الجسم قبل اصطدامه بالأرض. ‏ﺩ تساوي ٩٫٨ أمتار لكل ثانية مربعة.

يمكننا رسم شكل توضيحي بالمعلومات المذكورة عن الجسم في المسألة. كتلة الجسم ٤٠٠ جرام. وسقط رأسيًّا لأسفل بسرعة أربعة أمتار لكل ثانية من ارتفاع خمسة أمتار. نريد إيجاد طاقة الحركة قبل اصطدام الجسم بالأرض. ومطلوب منا استخدام مبدأ الشغل والطاقة. في صورة معادلة، ينص هذا المبدأ على أن الشغل الكلي المبذول على جسم يساوي التغير في طاقة حركة هذا الجسم. والشغل الكلي المبذول على الجسم يساوي محصلة القوى المؤثرة على هذا الجسم مضروبة في الإزاحة. إذن يمكننا التعويض عن ﺵ بـ ﻕ في ﻑ. التغير في طاقة الحركة يعني طاقة الحركة النهائية ناقص طاقة الحركة الابتدائية. وعلينا أن نتذكر أن طاقة الحركة للجسم تساوي نصف ﻙﻉ تربيع، حيث ﻙ هي كتلة الجسم مقيسة بالكيلوجرامات، وﻉ هي سرعة الجسم مقيسة بالأمتار لكل ثانية.

بما أننا نريد إيجاد طاقة الحركة النهائية، فليس علينا تغيير هذا المتغير. لكن المسألة لم تعطنا طاقة الحركة الابتدائية، ومن ثم علينا التعويض عن هذا المتغير بصيغة مكافئة، وهي نصف ﻙﻉ الابتدائية تربيع. محصلة القوى ﻕ المؤثرة على الجسم هي القوة الناتجة عن الجاذبية، حيث تسحب الجسم إلى الأرض. وعلينا أن نتذكر أن القوة الناتجة عن الجاذبية تساوي كتلة الجسم مقيسة بالكيلوجرامات مضروبة في عجلة الجاذبية، والتي عرفنا من المعطيات أنها تساوي ٩٫٨ أمتار لكل ثانية مربعة. يمكننا الآن المتابعة والتعويض عن القوة المحصلة في المعادلة بـ ﻙﺩ. إذا أضفنا طاقة الحركة الابتدائية، وهي نصف ﻙﻉ الابتدائية تربيع، إلى كلا الطرفين، فسنحصل على مقدار يعبر عن طاقة الحركة النهائية. طاقة الحركة النهائية للجسم تساوي ﻙﺩﻑ زائد نصف ﻙﻉ الابتدائية تربيع.

قبل التعويض بأي قيمة في المسألة، علينا التأكد أولًا أنها بالوحدات الصحيحة. عند النظر إلى القيم، نجد أن المتغير الوحيد الذي يجب تحويله هو الكتلة، حيث سنحولها من جرامات إلى كيلوجرامات. الكيلوجرام الواحد يساوي ١٠٠٠ جرام. وعند قسمة ٤٠٠ جرام على ١٠٠٠، نجد أن كتلة الجسم تساوي ٠٫٤٠٠ كيلوجرام. نعوض عن كتلة الجسم بـ ٠٫٤٠٠، وعن ﺩبـ ٩٫٨، وعن ﻑ بخمسة، وعن السرعة الابتدائية بأربعة. عند حساب حاصل الضرب في الحد الأول، نحصل على ١٩٫٦. وعند حساب حاصل الضرب في الحد الثاني، نحصل على ٣٫٢. بجمع هذين الحدين معًا، نجد أن طاقة الحركة النهائية تساوي ٢٢٫٨ جول، حيث وحدة الجول هي الوحدة القياسية للطاقة ويرمز إليها بحرف J كبير. إذن باستخدام مبدأ الشغل والطاقة، نجد أن طاقة الحركة النهائية للجسم قبل اصطدامه بالأرض تساوي ٢٢٫٨ جول.

في المثال التالي، سنستخدم مبدأ الشغل والطاقة لإيجاد مقدار القوة.

يتحرك جسم كتلته ٩٦ كيلوجرامًا في خط مستقيم بسرعة ١٧ مترًا لكل ثانية. بدأت تؤثر عليه قوة في اتجاه معاكس لحركته. نتيجة لذلك، أثناء تحركه لمسافة ٩٦ مترًا، تباطأت سرعته إلى ١١ مترًا لكل ثانية. باستخدام مبدأ الشغل والطاقة، أوجد مقدار هذه القوة.

مطلوب منا في المسألة استخدام مبدأ الشغل والطاقة. في صورة معادلة، ينص هذا المبدأ على أن الشغل الكلي المبذول على جسم يساوي التغير في طاقة حركة هذا الجسم. وبتذكر أن الشغل يساوي القوة مضروبة في الإزاحة، حيث تكون القوة موازية للإزاحة، يمكننا فك هذه الصيغة من خلال التعويض عن ﺵ بـ ﻕ في ﻑ. التغير في طاقة الحركة يساوي طاقة الحركة النهائية ناقص طاقة الحركة الابتدائية. وعلينا أن نتذكر أن طاقة الحركة للجسم تساوي نصف ﻙﻉ تربيع، حيث ﻙ هي كتلة الجسم وﻉ هي سرعة الجسم. يمكننا التعويض عن طاقة الحركة النهائية بنصف ﻙﻉ النهائية تربيع، وعن طاقة الحركة الابتدائية بنصف ﻙﻉ الابتدائية تربيع. ولعزل القوة في طرف وحدها، يمكننا قسمة طرفي المعادلة على ﻑ، وهو ما يلغي الإزاحة في الطرف الأيمن.

والآن بعد أن أصبح لدينا مقدار يعبر عن القوة، يمكننا التعويض بالقيم في المسألة. نستخدم القيمة ٩٦ للكتلة، و١١ للسرعة النهائية، و١٧ للسرعة الابتدائية، و٩٦ للإزاحة. عند حساب حاصل الضرب في الحد الأول، وهو نصف في ٩٦ في ١١ تربيع، نحصل على ٥٨٠٨. وعند حساب حاصل الضرب في الحد الثاني، وهو نصف في ٩٦ في ١٧ تربيع، نحصل على ١٣٨٧٢. وعند إجراء عملية الطرح في البسط ثم قسمة الناتج على المقام، نحصل على سالب ٨٤ نيوتن. مطلوب منا إيجاد مقدار القوة، ومن ثم لا نحتاج إلى الإشارة السالبة لأنها توضح لنا الاتجاه. إذن باستخدام مبدأ الشغل والطاقة، مقدار القوة المؤثرة على الجسم هو ٨٤ نيوتن.

في المثال التالي، سنوجد الفقد في طاقة الحركة بعد اصطدام كرتين تتحركان في اتجاهين متضادين.

تتحرك كرتان في اتجاهين متضادين في خط أفقي. كتلة الكرة الأولى ستة كيلوجرامات، وكانت سرعتها ٧٥ سنتيمترًا لكل ثانية عند اصطدامها بالكرة الثانية التي كانت تتحرك بسرعة ٨٠ سنتيمترًا لكل ثانية. نتيجة لهذا الاصطدام، ارتدت الكرة الأولى بسرعة ١٥ سنتيمترًا لكل ثانية على طول الخط نفسه في الاتجاه المعاكس، وتوقفت الكرة الثانية. أوجد الفقد في طاقة الحركة نتيجة للاصطدام.

يمكننا رسم مخطط للمسألة بالأسفل. تمثل الدائرة الزرقاء الكرة الأولى، وتمثل الدائرة الوردية الكرة الثانية. قبل الاصطدام، كانت كتلة الكرة الأولى ستة كيلوجرامات، وكانت تتحرك بسرعة ٧٥ سنتيمترًا لكل ثانية. وبعد الاصطدام، صارت هذه الكرة تتحرك بسرعة ١٥ سنتيمترًا لكل ثانية في الاتجاه المعاكس. قبل الاصطدام، كانت الكرة الثانية تتحرك نحو الكرة الأولى بسرعة ٨٠ سنتيمترًا لكل ثانية. وبعد الاصطدام، توقفت الكرة الثانية عن الحركة، ما يعني أن سرعتها أصبحت صفر سنتيمتر لكل ثانية. مطلوب منا إيجاد مقدار الفقد في طاقة الحركة، علمًا بأن طاقة الحركة للجسم تساوي نصف ﻙﻉ تربيع، حيث ﻙ هي الكتلة، وﻉ هي سرعة الجسم. لذا فإننا نحتاج إلى كتلة كلا الجسمين لإيجاد الفقد في طاقة الحركة. لكن ليس لدينا كتلة الكرة الثانية.

يمكننا استخدام مبدأ حفظ كمية الحركة لإيجاد الكتلة المجهولة. تذكر أن مبدأ حفظ كمية الحركة ينص على أن كمية الحركة الابتدائية لنظام ما تساوي كمية الحركة النهائية للنظام. بتذكر أن كمية حركة جسم تساوي كتلة الجسم مضروبة في سرعته، يمكننا فك معادلة مبدأ حفظ كمية الحركة. عندما نعوض بالقيم عن كمية حركة كل كرة قبل الاصطدام وبعده، نحصل على المقدار الموضح بالأسفل. لكن قبل أن نجري أي عملية حسابية، علينا تحويل الوحدات. السرعات معطاة لنا بالسنتيمتر لكل ثانية، لكن علينا تحويلها إلى متر لكل ثانية. المتر الواحد يساوي ١٠٠ سنتيمتر، لذا يمكننا قسمة السرعات على ١٠٠ لتحويلها من سنتيمتر لكل ثانية إلى متر لكل ثانية. أصبح لدينا الآن السرعات ٠٫٧٥ و٠٫٨٠ وسالب ٠٫١٥ وصفر.

يمكننا الآن حساب حاصل ضرب كل حد من حدود المعادلة. نحصل على ٤٫٥٠ ناقص ٠٫٨٠ في ﻙ يساوي سالب ٠٫٩٠ زائد صفر. لعزل ﻙ في طرف بمفردها، يمكننا إضافة ٠٫٨٠ﻙ إلى طرفي المعادلة، وأيضًا إضافة ٠٫٩٠ إلى طرفي المعادلة. الخطوة الأخيرة لإيجاد الكتلة هي قسمة الطرفين على ٠٫٨٠، فنحصل على كتلة الكرة الثانية وهي ٦٫٧٥ كيلوجرامات. يمكننا الآن إيجاد الفقد في طاقة الحركة. لإيجاد الفقد في طاقة الحركة، علينا طرح طاقة الحركة الابتدائية من طاقة الحركة النهائية. باستخدام معادلة طاقة الحركة، يمكننا فك معادلة الفقد في طاقة الحركة. بعد الاصطدام، يصبح للكرة الأولى فقط طاقة حركة، بينما تصل الكرة الثانية إلى وضع السكون. ومن ثم، يوجد جسم واحد فقط له طاقة حركة نهائية، وهي ما يمكن التعبير عنها بالمقدار نصف في ستة في ٠٫١٥ تربيع.

لدينا طاقتا حركة ابتدائيتان، لأن كلًّا من الكرة الأولى والكرة الثانية كانتا تتحركان قبل الاصطدام. لاحظ أننا حولنا السرعات مرة أخرى إلى متر لكل ثانية قبل التعويض بها في المعادلة. بحساب حاصل ضرب الحدود، نحصل على ٠٫٠٦٧٥ في الحد الأول، و١٫٦٨٧٥ في الحد الثاني، و٢٫١٦ في الحد الثالث. عندما نطرح طاقتي الحركة الابتدائيتين من طاقة الحركة النهائية، نحصل على فقد في الطاقة يساوي سالب ٣٫٧٨ جول، حيث توضح الإشارة السالبة أن لدينا طاقة مفقودة. إذن الفقد في طاقة الحركة نتيجة الاصطدام يساوي ٣٫٧٨ جول.

في المسألة التالية، سنستخدم مبدأ الشغل والطاقة لحساب نسبة المقاومة.

أطلقت رصاصتان لهما نفس الكتلة بسرعتين متساويتين وفي اتجاهين متضادين على هدف. يتكون الهدف من طبقتين معدنيتين مختلفتين وملتصقتين معًا. سمك الطبقة الأولى تسعة سنتيمترات، وسمك الطبقة الثانية ١٢ سنتيمترًا. عندما اخترقت الرصاصتان الهدف، اخترقت الرصاصة الأولى الطبقة الأولى واستقرت داخل الطبقة الثانية بعد أن اخترقتها بعمق أربعة سنتيمترات، بينما اخترقت الرصاصة الثانية الطبقة الثانية واستقرت داخل الطبقة الأولى بعد أن اخترقتها بعمق خمسة سنتيمترات. احسب النسبة بين مقاومة الطبقة المعدنية الأولى ومقاومة الطبقة المعدنية الثانية باستخدام مبدأ الشغل والطاقة.

يوضح الشكل التالي تصورًا لهذه المسألة، حيث يمثل الإطار الأصفر الطبقة الأولى التي سمكها تسعة سنتيمترات، ويمثل الإطار الوردي الطبقة الثانية التي سمكها ١٢ سنتيمترًا. يمثل الخط المتقطع الأزرق الموجود في الأعلى الرصاصة الأولى التي اخترقت الطبقة الثانية بعمق أربعة سنتيمترات. ويمثل الخط المتقطع الأزرق الموجود بالأسفل الرصاصة الثانية التي اخترقت الطبقة الأولى بعمق خمسة سنتيمترات.

مطلوب منا في المسألة استخدام مبدأ الشغل والطاقة. في صورة معادلة، ينص هذا المبدأ على أن الشغل الكلي المبذول على جسم يساوي التغير في طاقة حركة الجسم. يمكننا تطبيق هذه المعادلة على كلتا الرصاصتين. تذكر أن الشغل الكلي المبذول على جسم يساوي القوة مضروبة في الإزاحة. الشغل الكلي المبذول على الرصاصة الأولى يساوي ﻕ واحد في تسعة زائد ﻕ اثنين في أربعة. يمثل ﻕ واحد مقاومة الطبقة الأولى، والعدد تسعة هو سمك الطبقة الأولى التي اخترقتها الرصاصة. ويمثل ﻕ اثنان قوة مقاومة الطبقة الثانية، والعدد أربعة هو المسافة؛ حيث اخترقت الرصاصة الطبقة الثانية بعمق أربعة سنتيمترات. يمكننا ترك التغير في طاقة الحركة على الصورة Δﻁ كما هو، حيث إن الرصاصتين لهما نفس الكتلة ونفس السرعة الابتدائية، ووصلتا في النهاية إلى وضع السكون.

إذن المعادلة التحليلية للرصاصة الثانية هي ﻕ واحد في خمسة زائد ﻕ اثنين في ١٢ يساوي Δﻁ. مرة أخرى، يمثل ﻕ واحد وﻕ اثنان قوة مقاومة كل من الطبقة الأولى والطبقة الثانية. يمثل العدد خمسة المسافة التي قطعتها الرصاصة الثانية داخل الطبقة الأولى، وهي خمسة سنتيمترات. ويشير العدد ١٢ إلى حقيقة أن الرصاصة مرت عبر الطبقة الثانية كلها التي يبلغ سمكها ١٢ سنتيمترًا. نريد إيجاد النسبة بين ﻕ واحد وﻕ اثنين، أو مقاومة الطبقة المعدنية الأولى إلى مقاومة الطبقة الثانية. لفعل ذلك، يمكننا طرح المعادلتين. ‏ﻕ واحد في تسعة ناقص ﻕ واحد في خمسة يساوي ﻕ واحد في أربعة. وﻕ اثنان في أربعة ناقص ﻕ اثنين في ١٢ يساوي سالب ﻕ اثنين في ثمانية. عندما نطرح التغيرين في طاقتي الحركة، نحصل على صفر، حيث إن الرصاصتين لهما نفس الكتلة والسرعة الابتدائية، ووصلتا في النهاية إلى وضع السكون.

الخطوة التالية هي إضافة ﻕ اثنين في ثمانية إلى طرفي المعادلة. لإعادة ترتيب المعادلة كي نحصل على نسبة، يمكننا قسمة طرفي المعادلة على ﻕ اثنين وقسمتهما أيضًا على أربعة. نسبة ﻕ واحد إلى ﻕ اثنين تساوي اثنين إلى واحد، وتكتب عادة بهذه الصورة. إذن النسبة بين مقاومة الطبقة المعدنية الأولى ومقاومة الطبقة الثانية هي اثنان إلى واحد.

والآن بعد أن تحدثنا عن مبدأ الشغل والطاقة وتناولنا أربعة أمثلة، دعونا نستعرض النقاط الرئيسية في هذا الدرس.

النقاط الرئيسية

الشغل الكلي المبذول على جسم ما يساوي التغير في طاقة حركة الجسم. في صورة معادلة، ﺵ يساوي Δﻁ، وهو ما يعرف أيضًا بمبدأ الشغل والطاقة. يمكن استخدام مبدأ الشغل والطاقة لحل المسائل التي تتناول جسيمًا يتحرك تحت تأثير قوة ثابتة.