فيديو الدرس: نظريات القطعة المستقيمة الواصلة بين منتصفي ضلعين في مثلث الرياضيات • الصف الأول الإعدادي

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نستخدم نظرية القطعة المستقيمة الواصلة بين منتصفي ضلعين في مثلث لإثبات توازي مستقيمات، أو إيجاد طول ضلع ناقص في مثلث.

دعونا نبدأ بتناول أولى نظريات القطعة المستقيمة الواصلة بين منتصفي ضلعين في مثلث. تنص هذه النظرية على أن القطعة المستقيمة التي تمر بمنتصف ضلع في مثلث وتوازي ضلعًا آخر في المثلث، تنصف الضلع الثالث للمثلث. لكي نمثل هذا على الرسم، دعونا نرسم المثلث ﺃﺟﺩ هذا. بتحديد نقطة منتصف أحد الأضلاع، ولتكن نقطة المنتصف ﺏ على القطعة المستقيمة ﺃﺩ، وبرسم خط يوازي القاعدة، ولتكن القاعدة هي القطعة المستقيمة ﺩﺟ، يكون لدينا هذا الخط؛ وهو القطعة المستقيمة ﺏﻫ.

تنص هذه النظرية على أن القطعة المستقيمة ﺏﻫ هذه، التي تبدأ من نقطة منتصف أحد أضلاع المثلث وتوازي ضلعًا آخر، تنصف الضلع الثالث. يعني هذا أن النقطة ﻫ هذه لا بد أنها نقطة منتصف القطعة المستقيمة ﺃﺟ. دعونا نعرف الآن كيف يمكن إثبات هذه النظرية.

سنتناول نفس المثلث لدينا، ﺃﺟﺩ، ولدينا القطعة المستقيمة ﺏﻫ مرسومة من نقطة المنتصف ﺏ، وتوازي القطعة المستقيمة ﺟﺩ. وبما أننا نحاول إثبات النظرية؛ إذن لا نعلم حتى الآن أي معلومة عن الضلع الثالث؛ وهو القطعة المستقيمة ﺃﺟ. يمكننا رسم المستقيم ﺃﺹ؛ بحيث يوازي ﺃﺹ القطعتين المستقيمتين ﺏﻫ، وﺩﺟ. وسيتضح سبب فعل ذلك لاحقًا. إذا نظرنا إلى القطعتين المستقيمتين ﺃﺩ، وﺃﺟ، فسنجد أنهما قاطعتان للمستقيمات الثلاثة المتوازية.

تذكر أنه إذا قسم عدد من المستقيمات المتوازية قاطعًا إلى قطع متساوية في الطول، فإن هذا العدد من المستقيمات يقسم أي قاطع آخر إلى قطع متساوية في الطول أيضًا. وبما أن القطعة المستقيمة ﺃﺩ قسمت إلى نصفين متطابقين، إذن نعلم أن الأمر نفسه سيحدث مع القطعة المستقيمة ﺃﺟ. ستنقسم إلى نصفين متطابقين أيضًا. بعبارة أخرى نقول إن هذا الضلع الثالث للمثلث قد نصف، وهذا يثبت نظرية القطعة المستقيمة الواصلة بين منتصفي ضلعين في مثلث.

عكس هذه النظرية صحيح أيضًا. وينص على أن القطعة المستقيمة التي تربط بين منتصفي ضلعين في مثلث، توازي الضلع الثالث. إذن إذا تناولنا المثلث ﺃﺟﺩ هذه المرة ووصلنا نقطتي المنتصف ﺏ، وﻫ الموجودتين على القطعتين المستقيمتين ﺃﺩ، وﺃﺟ على الترتيب، عندئذ وبعكس أولى نظريات القطعة المستقيمة الواصلة بين منتصفي ضلعين في مثلث؛ نجد أن القطعتين المستقيمتين ﺏﻫ، وﺩﺟ متوازيتان. سنتناول الآن آخر نظريات القطعة المستقيمة الواصلة بين منتصفي ضلعين في مثلث. الجزء الثاني من نظرية القطعة المستقيمة الواصلة بين منتصفي ضلعين في مثلث يتعلق بطولي قطعتين مستقيمتين مهمتين.

قبل ذكر هذه النظرية، دعونا نبحث في بعض الأمور لإثبات النتيجة. سنتناول المثلث ﻡﻥﺭ هذا ونرسم القطعة المستقيمة ﻙﻝ؛ حيث ﻙ نقطة منتصف القطعة المستقيمة ﻡﺭ، وﻝ نقطة منتصف القطعة المستقيمة ﻡﻥ. سنحاول إيجاد علاقة بين طولي القطعتين المستقيمتين ﻙﻝ، وﺭﻥ. لفعل هذا، دعونا نضف الشعاع ﻙﺹ؛ بحيث توازي القطعة المستقيمة ﻙﺹ القطعة المستقيمة ﻡﻥ. حسنًا، لقد تناولنا بالفعل الخاصية التي تنص على أن القطعة المستقيمة التي تربط بين منتصفي ضلعين في مثلث توازي الضلع الثالث، وهذا عكس الجزء الأول من النظرية. وبناء على ذلك، فإن القطعة المستقيمة ﻙﻝ توازي القطعة المستقيمة ﺭﻥ.

نظرًا لأننا رسمنا القطعة المستقيمة ﻙﺹ موازية للقطعة المستقيمة ﻡﻥ، يمكننا تطبيق أولى نظريات القطعة المستقيمة الواصلة بين منتصفي ضلعين في مثلث. وتنص على أن القطعة المستقيمة التي تمر بمنتصف ضلع في مثلث وتوازي ضلعًا آخر في المثلث، تنصف الضلع الثالث للمثلث. ‏ﻙﺹ قطعة مستقيمة تبدأ من نقطة المنتصف ﻙ وتوازي القطعة المستقيمة ﻡﻥ. وهذا يعني أن القطعة المستقيمة ﺭﻥ نصفت. قد يصعب تصور هذا قليلًا في البداية، لكنه يوضح أيضًا فكرة أنه لا داعي دائمًا لأن تكون القطع المستقيمة المتوازية في وضع أفقي بحيث يقع الضلعان اللذان ينصفان بالأعلى. هذا يعني أننا نعرف الآن أن طول كل من القطعتين المستقيمتين ﺭﺹ، وﺹﻥ يساوي نصف طول القطعة المستقيمة ﺭﻥ.

دعونا نأخذ خطوة إضافية لنعرف كيف يمكننا إيجاد طول القطعة المستقيمة ﻙﻝ. لاحظ أنه داخل هذا المثلث، لدينا الشكل الرباعي ﻙﻝﻥﺹ. يحتوي الشكل ﻙﻝﻥﺹ على زوجين من الأضلاع المتوازية، ومن ثم فهو، حسب التعريف، متوازي أضلاع. الأضلاع المتقابلة في متوازيات الأضلاع تكون متطابقة. إذن طول القطعة المستقيمة ﻙﻝ يساوي أيضًا نصف طول ﺭﻥ. نستنتج من ذلك هذه العلاقة: طول القطعة المستقيمة ﻙﻝ يساوي نصف طول القطعة المستقيمة ﺭﻥ. يمكننا الآن تعريف الجزء الثاني من نظرية القطعة المستقيمة الواصلة بين منتصفي ضلعين في مثلث. إنه ينص على أن طول القطعة المستقيمة التي تربط بين منتصفي ضلعين في مثلث يساوي نصف طول الضلع الثالث.

قبل تناول بعض الأسئلة، يمكننا ملاحظة أنه أحيانًا ما يدمج عكسا النظريتين الأولى والثانية من نظريات القطعة المستقيمة الواصلة بين منتصفي ضلعين في مثلث في نظرية واحدة. وعادة ما يشار إليها بأنها نظرية القطعة المستقيمة الواصلة بين منتصفي ضلعين في مثلث، وتنص على أن القطعة المستقيمة التي تربط بين منتصفي ضلعين في مثلث توازي الضلع الثالث، وطولها يساوي نصف طوله. سنتناول الآن سؤالًا نطبق فيه نظريات القطعة المستقيمة الواصلة بين منتصفي ضلعين في مثلث لحساب محيط شكل.

إذا كانت ﺩ وﻫ نقطتي منتصف القطعتين المستقيمتين ﺃﺏ وﺃﺟ على الترتيب، وﺃﺩ يساوي ٣٢ سنتيمترًا، وﺃﻫ يساوي ١٩ سنتيمترًا، وﺩﻫ يساوي ٣٩ سنتيمترًا، فأوجد محيط ﺩﺏﺟﻫ.

يمكننا البدء بكتابة معلومات الأطوال المعطاة على الشكل لدينا؛ حيث نكتب ٣٢ سنتيمترًا على ﺃﺩ، و١٩ سنتيمترًا على ﺃﻫ، و٣٩ سنتيمترًا على ﺩﻫ. يمكننا أيضًا تحديد أن كلًّا من ﺩ، وﻫ نقطة منتصف للقطعة المستقيمة التي تقع عليها كل نقطة منهما. إذن طول ﻫﺟ يساوي أيضًا ١٩ سنتيمترًا، وطول ﺩﺏ يساوي ٣٢ سنتيمترًا. نحن نعلم أن علينا إيجاد محيط الشكل الرباعي ﺩﺏﺟﻫ هذا. لقد أوجدنا ثلاثة من أطوال هذه الأضلاع الأربعة، وما زال علينا إيجاد طول القطعة المستقيمة ﺟﺏ. ولفعل ذلك، دعونا نستخدم نظرية القطعة المستقيمة الواصلة بين منتصفي ضلعين في مثلث.

تنص هذه النظرية على أن القطعة المستقيمة التي تربط بين منتصفي ضلعين في مثلث توازي الضلع الثالث، وطولها يساوي نصف طوله. يعني هذا أنه يمكننا قول إن القطعة المستقيمة ﺟﺏ لا بد أن توازي القطعة المستقيمة ﺩﻫ، ونحن نعلم شيئًا يتعلق بطول القطعة المستقيمة ﺟﺏ. بما أن طول ﺩﻫ يساوي نصف طول ﺟﺏ؛ إذن يمكننا كتابة أن طول ﺟﺏ يساوي ضعف طول ﺩﻫ. نعلم أن طول ﺩﻫ يساوي ٣٩ سنتيمترًا، وبمضاعفته، نجد أن طول ﺟﺏ يساوي ٧٨ سنتيمترًا.

أصبحت لدينا الآن معلومات كافية لحساب محيط الشكل ﺩﺏﺟﻫ. تذكر أن محيط الشكل هو المسافة المحيطة بالحافة الخارجية له. هذا يعني أن علينا جمع الأطوال الأربعة؛ ٣٩ و٣٢ و٧٨ و١٩ سنتيمترًا، وهذا يعطينا الإجابة النهائية؛ وهي أن محيط الشكل ﺩﺏﺟﻫ يساوي ١٦٨ سنتيمترًا.

في المثال الآتي، سنطبق نظرية القطعة المستقيمة الواصلة بين منتصفي ضلعين في مثلث عدة مرات في الشكل نفسه. وعند حل مسألة كهذه، يمكن حقًّا أن يفيدنا تحديد القطع المستقيمة حتى نتمكن بسهولة من معرفة الأجزاء الأساسية التي نتعامل معها.

في الشكل الموضح، ﻫ وﻭ وﺩ نقاط منتصف القطع المستقيمة ﺏﺟ وﺃﺏ وﺃﺟ على الترتيب. أوجد محيط المثلث ﻫﻭﺩ.

نلاحظ من المعلومات المعطاة والعلامات الموضحة على الشكل أن لدينا ثلاث نقاط منتصف للقطع المستقيمة هنا. تنصف كل من النقاط ﻫ، وﻭ، وﺩ القطعة المستقيمة التي تقع عليها كل نقطة. إذن لإيجاد محيط المثلث ﻫﻭﺩ، وهو المسافة المحيطة بالحافة الخارجية، علينا حساب أطوال القطع المستقيمة الثلاثة ﻭﺩ، وﺩﻫ، وﻫﻭ.

بما أن لدينا نقاط منتصف للمستقيمات؛ إذن هذا يجعلنا نتساءل عن إمكانية تطبيق إحدى نظريات القطعة المستقيمة الواصلة بين منتصفي ضلعين في مثلث. نحن نعلم أن طول القطعة المستقيمة التي تربط بين منتصفي ضلعين في مثلث يساوي نصف طول الضلع الثالث. دعونا نلق نظرة على القطعة المستقيمة ﻭﺩ. القطعة المستقيمة ﻭﺩ قطعة مستقيمة تربط بين نقطتي منتصف ضلعين في المثلث. ومن ثم فإن طولها يساوي نصف طول الضلع الثالث؛ وهو القطعة المستقيمة ﺏﺟ. ونعلم أن طول ﺏﺟ يساوي ٤٫٦ سنتيمترات، ومن ثم نصف طولها يساوي ٢٫٣ سنتيمتر.

دعونا الآن نر إذا ما كان بإمكاننا فعل الأمر نفسه لحساب طولي الضلعين الآخرين في المثلث ﻫﻭﺩ. سنتناول القطعة المستقيمة ﺩﻫ. تربط القطعة المستقيمة ﺩﻫ بين نقطتي منتصف ضلعين في المثلث؛ لأنها تربط بين ﺩ، نقطة منتصف القطعة المستقيمة ﺃﺟ، وﻫ، نقطة منتصف القطعة المستقيمة ﺏﺟ. إذن طولها يساوي نصف طول القطعة المستقيمة ﺃﺏ، وهي الضلع الثالث من أضلاع المثلث. نصف ٥٫٥ سنتيمترات يساوي ٢٫٧٥ سنتيمتر. يمكننا فعل الأمر نفسه لإيجاد طول القطعة المستقيمة ﻫﻭ. إنها تربط بين نقطتي المنتصف ﻫ، وﻭ. لذلك طول ﻫﻭ يساوي نصف طول القطعة المستقيمة ﺃﺟ، ونصف ٦٫٢ سنتيمترات يساوي ٣٫١ سنتيمترات.

لإيجاد محيط المثلث ﻫﻭﺩ، نجمع الأطوال الثلاثة التي حسبناها. ‏٢٫٣ زائد ٢٫٧٥ زائد ٣٫١ يساوي ٨٫١٥ سنتيمترات. إذن بتطبيق نظرية القطعة المستقيمة الواصلة بين منتصفي ضلعين في مثلث ثلاث مرات، وجدنا أن محيط المثلث ﻫﻭﺩ يساوي ٨٫١٥ سنتيمترات.

دعونا الآن نستعرض كيف يمكننا تطبيق عكس نظرية القطعة المستقيمة الواصلة بين منتصفي ضلعين في مثلث لحساب طول مجهول.

محيط المربع ﺃﺏﺟﺩ يساوي ٣٥٢. أوجد الطول ﺃﻭ.

في هذا السؤال، علينا إيجاد طول القطعة المستقيمة ﺃﻭ؛ وهي جزء من القطعة المستقيمة ﺃﺏ وتقع على أحد أضلاع المربع. ليس لدينا أي معلومات عن الطول على الشكل، لكننا نعلم أن محيط المربع يساوي ٣٥٢ وحدة طول.

بمعلومية أن المحيط هو المسافة المحيطة بالحافة الخارجية للشكل، وأن الشكل لدينا مربع، يمكننا إيجاد طول أحد الأضلاع. نظرًا لأن أربعة أمثال طول الضلع الواحد تعطينا محيط المربع؛ فإنه لإيجاد طول أحد أضلاع هذا المربع، نقسم المحيط الذي يساوي ٣٥٢ على أربعة. هذا يعطينا ٨٨ وحدة طول. إذن طول كل ضلع من أضلاع هذا المربع يساوي ٨٨ وحدة طول.

بما أننا نريد إيجاد طول ﺃﻭ، يمكننا هنا تخمين الحل، لكن من المهم أن نطبق علم الهندسة في أسئلة كهذه حتى نثبت صحة الطول الذي نحسبه. إذن دعونا نفكر فيما نعرفه عن الخواص الهندسية للمربع. على وجه التحديد، نحن نعلم أن القطرين ينصف بعضهما بعضًا في أي مربع. ومن ثم فإن القطرين لدينا، وهما القطعتان المستقيمتان ﺃﺟ، وﺩﺏ، ينصفان بعضهما بعضًا عند النقطة ﻡ. لكن دعونا نركز على القطعة المستقيمة ﺃﺟ.

باستخدام المثلث ﺃﺏﺟ، نلاحظ أنه يمكننا هنا تطبيق إحدى نظريات القطعة المستقيمة الواصلة بين منتصفي ضلعين في مثلث. تنص هذه النظرية على أن القطعة المستقيمة التي تمر بمنتصف ضلع في مثلث وتوازي ضلعًا آخر في المثلث، تنصف الضلع الثالث في المثلث. لدينا هنا القطعة المستقيمة ﻡﻭ تمر بنقطة منتصف أحد أضلاع المثلث؛ لأننا نعلم أن ﻡ نقطة منتصف القطعة المستقيمة ﺃﺟ. نعلم أيضًا أن القطعة المستقيمة ﻡﻭ توازي ضلعًا آخر من أضلاع المربع، كما هو موضح من خلال العلامتين على الشكل. ويعني ذلك أن الضلع الثالث للمثلث لا بد أنه منصف.

القطعة المستقيمة ﺃﺏ، التي وجدنا أن طولها يساوي ٨٨ وحدة طول، مقسومة إلى نصفين متساويين. ‏٨٨ مقسومًا على اثنين يساوي ٤٤. إذن بتطبيق نظرية القطعة المستقيمة الواصلة بين منتصفي ضلعين في مثلث، وجدنا أن طول القطعة المستقيمة ﺃﻭ يساوي ٤٤ وحدة طول.

يمكننا الآن تلخيص النقاط الرئيسية الواردة في هذا الفيديو. لقد تناولنا وأثبتنا الجزء الأول من نظرية القطعة المستقيمة الواصلة بين منتصفي ضلعين في مثلث. وينص على أن القطعة المستقيمة التي تمر بمنتصف ضلع في مثلث وتوازي ضلعًا آخر في المثلث تنصف الضلع الثالث للمثلث.

تناولنا كذلك صحة عكس النظرية الأولى. وينص على أن القطعة المستقيمة التي تربط بين منتصفي ضلعين في مثلث توازي الضلع الثالث. علمنا أيضًا أن طول القطعة المستقيمة التي تربط بين منتصفي ضلعين في مثلث يساوي نصف طول الضلع الثالث.

يمكننا غالبًا دمج النظريتين الثانية والثالثة هنا لنحصل على النظرية التي تنص على أن القطعة المستقيمة التي تربط بين منتصفي ضلعين في مثلث توازي الضلع الثالث، وطولها يساوي نصف طوله. إذن كما يتضح في هذا الشكل، نلاحظ أن هذه النظريات تربط بين نقطتي منتصف ضلعي المثلث، وبين توازي القطعة المستقيمة الواصلة بين منتصفي الضلعين والضلع المقابل لها في المثلث والعلاقة بين طوليهما.