فيديو الدرس: قسمة كثيرات الحدود على وحيدات الحد الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سنتعلم كيف نقسم كثيرات الحدود على وحيدات الحد. لنبدأ بتذكر ما نعنيه بكثيرة الحدود ووحيدة الحد.

كثيرة الحدود هي تعبير يتكون من عدد من الحدود مجموعة أو مطروحة. يمكن أن يكون أي من هذه الحدود ثابتًا. وقد تتضمن حدودها متغيرًا مثل ﺱ أو ﺹ. وقد تتضمن أسسًا. لكن هذه الأسس يجب أن تكون أعدادًا كلية موجبة. ولا يمكن أن تتكون من عدد لا نهائي من الحدود.

أما وحيدة الحد فهي تعبير جبري يتكون من حد واحد. وهنا أيضًا، يجب أن تكون الأسس أعدادًا كلية موجبة. إذن، من أمثلة وحيدة الحد: اثنان ﺱ أو ثلاثة ﺱﺹ. ولقسمة كثيرة حدود على حد واحد، كل ما علينا فعله هو قسمة الحدود حدًا حدًا. دعونا نر كيفية فعل ذلك من خلال مثال بسيط للغاية.

بسط سالب ٤٣ﺱ أس سبعة زائد ١٢ﺱ تكعيب ناقص ستة ﺱ تربيع على ﺱ.

لتبسيط هذا الكسر الجبري، لنتذكر معًا ما يعنيه خط الكسر. إنه يخبرنا بأن هذين التعبيرين أحدهما مقسوم على الآخر. وهذا يعني أننا نقسم سالب ٤٣ﺱ أس سبعة زائد ١٢ﺱ تكعيب ناقص ستة ﺱ تربيع على ﺱ. في هذه الحالة، نسمي بسط الكسر هو المقسوم. أما المقام، وهو التعبير الذي سنقسم عليه، فهو المقسوم عليه. ولقسمة المقسوم على ﺱ، نفعل ذلك ببساطة حدًا حدًا.

إحدى طرق تمثيل ذلك هي استخدام طريقة القسمة المختصرة. استخدام طريقة القسمة المختصرة لقسمة التعبيرات الجبرية يشبه استخدام الطريقة نفسها لقسمة الأعداد. لكن بدلًا من أن نقسم عددًا على عدد، نقسم حدًا جبريًا على حد جبري. لذا سنبدأ بقسمة سالب ٤٣ في ﺱ أس سبعة على ﺱ. هذا يماثل قسمة سالب ٤٣ﺱ أس سبعة على واحد ﺱ أس واحد.

سالب ٤٣ مقسومًا على واحد يساوي سالب ٤٣. ونتذكر بعد ذلك أنه عند قسمة الحدود ذات الأسس، فما دام أن لها الأساس نفسه، فإننا نطرح الأسس. إذن، ﺱ أس سبعة مقسومًا على ﺱ أس واحد يساوي ﺱ أس ستة. بمعنى أن سالب ٤٣ﺱ أس سبعة مقسومًا على ﺱ يساوي سالب ٤٣ﺱ أس ستة.

بعد ذلك، نكرر هذه العملية مع ١٢ﺱ تكعيب. سنقسمه على ﺱ. ومرة أخرى، هذا يماثل القسمة على واحد ﺱ أس واحد. ‏‏١٢ مقسومًا على واحد يساوي ١٢. وباستخدام قواعد قسمة الحدود ذات الأسس، نجد أن ﺱ تكعيب مقسومًا على ﺱ أس واحد يساوي ﺱ تربيع. إذن ١٢ﺱ تكعيب مقسومًا على ﺱ يساوي ١٢ﺱ تربيع.

وسنكرر العملية مرة أخرى. سنقسم الآن سالب ستة ﺱ تربيع على ﺱ. سالب ستة مقسومًا على واحد يساوي سالب ستة. بعد ذلك، ﺱ تربيع مقسومًا على ﺱ أس واحد يساوي ﺱ أس واحد. لكننا نعلم أن ﺱ أس واحد يساوي ﺱ. إذن، الحد الأخير في خارج القسمة، أي الناتج الذي نحصل عليه عندما نقسم، هو سالب ستة ﺱ. إذن فعندما نبسط هذا الكسر الجبري، نحصل على سالب ٤٣ﺱ أس ستة زائد ١٢ﺱ تربيع ناقص ستة ﺱ.

لكن بالطبع فهذه ليست الطريقة الوحيدة للإجابة عن السؤال. لنعد إلى بعض خطوات الحل التي أجريناها. في كل مرة، نجري عملية القسمة باعتبار أن لدينا كسرًا. وعليه، فإن الطريقة البديلة التي كان يمكننا استخدامها هي أن نعكس عملية جمع الكسور. وكان يمكننا كتابة هذا الكسر باعتباره سالب ٤٣ﺱ أس سبعة على ﺱ زائد ١٢ﺱ تكعيب على ﺱ ناقص ستة ﺱ تربيع على ﺱ ومن هنا نواصل الحل. الطريقتان صحيحتان تمامًا. ويرجع استخدام أي منهما إلى التفضيل الشخصي.

وهذا جيد ومقبول في حالة القواسم البسيطة مثل ﺱ. ولكن ماذا لو كان لدينا حد متعدد المتغيرات؟ أي حد يحتوي على أكثر من متغير. دعونا نر.

بسط ٢٣ﺱ أس خمسة ﺹ تكعيب زائد ٤٩ﺱ أس أربعة ﺹ تكعيب زائد ٤١ﺱ تكعيب ﺹ تكعيب على سالب ﺱﺹ.

نتذكر أن خط الكسر يعني أن نقسم. ومن ثم، من بين طرق تبسيط هذا الكسر أن نستخدم طريقة القسمة المختصرة ونقسم كل حد على سالب ﺱﺹ. أو يمكننا بدلًا من ذلك أن نعكس عملية جمع الكسور. ويمكننا تجزيء الكسر. ونكتبه باعتباره ٢٣ﺱ أس خمسة ﺹ تكعيب على سالب ﺱﺹ زائد ٤٩ﺱ أس أربعة ﺹ تكعيب على سالب ﺱﺹ زائد ٤١ﺱ تكعيب ﺹ تكعيب على سالب ﺱﺹ.

وبما أننا قد توصلنا بالفعل إلى أن التبسيط يماثل القسمة، فلنفكر في كيفية تبسيط الكسور التي يكون فيها كل من البسط والمقام عددًا. حسنًا، نقسم البسط والمقام على العامل المشترك الأكبر. إذن، لتبسيط كل من هذه الكسور المنفردة، نبدأ بالبحث عن العامل المشترك الأكبر للبسط والمقام.

ولتسهيل ذلك، سنبدأ بإضافة معامل يساوي واحدًا. وبالتالي يصبح سالب ﺱﺹ هو نفسه سالب واحد ﺱﺹ. ثم نبدأ بالبحث عن العامل المشترك الأكبر للمعاملات ثم لقوى ﺱ ثم لقوى ﺹ كل على حدة. لنبدأ إذن بالبحث عن العامل المشترك الأكبر للعددين ٢٣ وواحد. حسنًا، هذان العددان أوليان فيما بينهما. وهذا يعني أن العامل المشترك الوحيد بينهما هو واحد. ومن ثم يمكننا فقط قسمة كل من ٢٣ وواحد على واحد. وبالتالي، فإن الجزء العددي من البسط والمقام يساوي ٢٣ على واحد، ما يساوي ٢٣.

وماذا عن العامل المشترك الأكبر لـ ﺱ أس خمسة وﺱ؟ نسأل أنفسنا، ما أعلى قوة لـ ﺱ يمكن قسمة كل من هذين الحدين عليها دون باق؟ يمكننا فقط أن نقسم كلًا منهما على ﺱ. لذا سنقسم ﺱ أس خمسة على ﺱ وﺱ على ﺱ. إذا بدأنا بالمقام، فسنجد أن ﺱ على ﺱ يساوي واحدًا. ثم يمكننا استخدام أحد قوانين قسمة الأسس لقسمة ﺱ أس خمسة على ﺱ أو ﺱ أس واحد.

لقسمة هذا النوع من الحدود، فما دام أن لها الأساس نفسه، نطرح أسسها ببساطة. إذن، ﺱ أس خمسة مقسومًا على ﺱ أس واحد يساوي ﺱ أس أربعة. سنكرر هذه العملية مرة أخرى، ونوجد هذه المرة العامل المشترك الأكبر لـ ﺹ تكعيب وﺹ. العامل المشترك الأكبر لهما هو ﺹ. ومن ثم، نقسم ﺹ على ﺹ لنحصل على واحد. وعندما نقسم ﺹ تكعيب على ﺹ، نحصل على ﺹ تربيع.

لكننا لم ننته بعد. علينا ملاحظة أننا نقسم قيمة موجبة على قيمة سالبة. وبالتالي، سيكون الناتج حدًا سالبًا. إنه سالب ٢٣ﺱ أس أربعة ﺹ تربيع. تذكر أننا لم نعد بحاجة إلى الواحد في المقام. فلننتقل إذن إلى الكسر الثاني.

مرة أخرى، نجد أن ٤٩ وواحد عددان أوليان فيما بينهما. ثم نوجد العامل المشترك الأكبر لـ ﺱ أس أربعة وﺱ. إنه ﺱ. لذا نقسم المقام على ﺱ لنحصل على واحد، ونقسم البسط على ﺱ لنحصل على ﺱ تكعيب. بعد ذلك، نوجد العامل المشترك الأكبر لكل من ﺹ تكعيب وﺹ، والذي حددنا بالفعل أنه ﺹ. إذن نقسم المقام والبسط على ﺹ. ومرة أخرى، نرى أننا نقسم قيمة موجبة على قيمة سالبة، ونحصل على سالب ٤٩ﺱ تكعيب ﺹ تربيع.

يمكننا تكرار العملية مرة أخرى. ‏‏٤١ وواحد عددان أوليان فيما بينهما. وعلينا إيجاد العامل المشترك الأكبر لـ ﺱ تكعيب وﺱ. إنه ﺱ مرة أخرى. إذن، نقسم كلًا من البسط والمقام على ﺱ. حسبنا العامل المشترك الأكبر لـ ﺹ تكعيب وﺹ، ووجدنا أنه ﺹ. لذا نقسم كلًا من البسط والمقام على ﺹ. وفي الحد الثالث، نقسم أيضًا قيمة موجبة على قيمة سالبة. إذن، سيصبح الحد الثالث سالبًا. إنه سالب ٤١ﺱ تربيع ﺹ تربيع.

إذن، لتبسيط هذا الكسر، قسمنا كثيرة حدود على وحيدة حد. والناتج هو سالب ٢٣ﺱ أس أربعة ﺹ تربيع ناقص ٤٩ﺱ تكعيب ﺹ تربيع ناقص ٤١ﺱ تربيع ﺹ تربيع. ونعرف أيضًا أنه يمكننا إجراء هذه العملية باستخدام طريقة القسمة المختصرة. ومرة أخرى، من المهم أن ندرك أن الطريقتين صحيحتان تمامًا. ويرجع استخدام أي منهما إلى التفضيل الشخصي.

سنتناول الآن مثالًا حيث يمكننا التبسيط قبل قسمة الحدود حدًا حدًا.

بسط ١٢ﺃ أس خمسة في ١١ﺃ أس ١٣ في ﺏ أس ١٣ ناقص ١٢ﺃ أس خمسة ﺏ أس ١٣ على اثنين ﺃ أس سبعة ﺏ تربيع.

تذكر أن خط الكسر هذا يعني أن نقسم. إذن، في هذه الحالة نقسم كثيرة حدود على وحيدة حد. قد نفكر أولًا في توزيع الأقواس في البسط. لكن، يمكننا توفير بعض الوقت. سنبدأ بالبحث عن العامل المشترك الأكبر لـ ١٢ﺃ أس خمسة واثنين ﺃ أس سبعة ﺏ تربيع.

نستطيع فعل ذلك والقسمة على هذا العامل المشترك الأكبر؛ لأنه يمكننا أن نلاحظ أن أي عامل من عوامل ١٢ﺃ أس خمسة لا بد أنه أحد عوامل البسط ككل. لذا دعونا نوجد العامل المشترك الأكبر لهذين الحدين. يمكننا فعل ذلك بالنظر إلى المعاملات أولًا، ثم النظر إلى قوى ﺃ ثم قوى ﺏ. العامل المشترك الأكبر لـ ١٢ واثنين هو اثنان. العدد اثنان هو العدد الأكبر الذي يقبل كل من ١٢ واثنين القسمة عليه دون باق.

بعد ذلك، العامل المشترك الأكبر لـ ﺃ أس خمسة وﺃ أس سبعة هو ﺃ أس خمسة. لا يوجد ﺏ في ١٢ﺃ أس خمسة. إذن، فقد أوجدنا العامل المشترك الأكبر. وقبل أن نفعل أي شيء، سنقسم بسط الكسر ومقامه على اثنين ﺃ أس خمسة.

لكي نقسم ١٢ﺃ أس خمسة على اثنين ﺃ أس خمسة، علينا أولًا أن نقسم ١٢ على اثنين. وهذا يعطينا ستة. ثم ﺃ أس خمسة مقسومًا على ﺃ أس خمسة يساوي واحدًا. إذن ١٢ﺃ أس خمسة مقسومًا على اثنين ﺃ أس خمسة يساوي ستة. وبالمثل، نقسم اثنين ﺃ أس سبعة ﺏ تربيع على اثنين ﺃ أس خمسة. اثنان مقسومًا على اثنين يساوي واحدًا. ثم، ﺃ أس سبعة على ﺃ أس خمسة يساوي ﺃ تربيع. ‏‏ﺏ تربيع مقسومًا على واحد يساوي ﺏ تربيع. إذن، اثنان ﺃ أس سبعة ﺏ تربيع مقسومًا على اثنين ﺃ أس خمسة يساوي ﺃ تربيع ﺏ تربيع.

هذا يعني أنه يمكننا إعادة كتابة الكسر ليصبح ستة في ١١ﺃ أس ١٣ في ﺏ أس ١٣ ناقص ١٢ﺃ أس خمسة ﺏ أس ١٣ على ﺃ تربيع ﺏ تربيع. الآن، أصبحنا مستعدين لتوزيع الأقواس. ونفعل ذلك عن طريق ضرب ستة في الحد الأول، ثم ضرب ستة في الحد الثاني. ستة في ١١ﺃ أس ١٣ في ﺏ أس ١٣ يساوي ٦٦ﺃ أس ١٣ في ﺏ أس ١٣. وستة في سالب ١٢ﺃ أس خمسة ﺏ أس ١٣ يساوي سالب ٧٢ﺃ أس خمسة ﺏ أس ١٣. والكل على ﺃ تربيع ﺏ تربيع.

والآن، هناك عدة طرق يمكننا بها حساب خارج القسمة عند هذه المرحلة. وبما أن خط الكسر يعني أن نقسم، يمكننا استخدام عملية القسمة المختصرة أو عكس عملية جمع الكسور. ويمكننا تجزيء ذلك إلى كسرين منفردين. ثم، كما فعلنا سابقًا، سنقسم على العامل المشترك الأكبر للبسط والمقام. وإذا أردنا، يمكننا أن نفعل ذلك مع المعاملات، ثم مع قوى ﺃ، ثم مع قوى ﺏ، كل على حدة.

لنجعل المقام واحد ﺃ تربيع ﺏ تربيع. العامل المشترك الأكبر لـ ٦٦ وواحد هو واحد. إذن، نتركهما كما هما الآن. ماذا إذن عن العامل المشترك الأكبر لـ ﺃ أس ١٣ وﺃ تربيع؟ إنه ﺃ تربيع. إذن، نقسم كلًا من البسط والمقام على ﺃ تربيع. ويتبقى لنا ﺃ أس ١١ في البسط، وواحد فقط في المقام.

وبالمثل، العامل المشترك الأكبر لـ ﺏ تربيع وﺏ أس ١٣ هو ﺏ تربيع. إذن عند قسمة البسط والمقام على ﺏ تربيع، يتبقى لنا ﺏ أس ١١ في البسط. وبالتالي يصبح الحد الأول ٦٦ﺃ أس ١١ في ﺏ أس ١١ على واحد، أو ببساطة ٦٦ﺃ أس ١١ في ﺏ أس ١١.

لنكرر هذه العملية مع الكسر الثاني. العامل المشترك الأكبر لـ ٧٢ وواحد هو واحد، لذا نتركهما كما هما. بعد ذلك، العامل المشترك الأكبر لـ ﺃ أس خمسة وﺃ تربيع هو ﺃ تربيع. وبقسمة البسط والمقام، يتبقى لنا ﺃ تكعيب في البسط. بعد ذلك، العامل المشترك الأكبر لـ ﺏ تربيع وﺏ أس ١٣ هو ﺏ تربيع. وكما فعلنا من قبل، يتبقى لنا ﺏ أس ١١. وهكذا نجد أن لدينا ٦٦ﺃ أس ١١ في ﺏ أس ١١ ناقص ٧٢ﺃ تكعيب ﺏ أس ١١.

في المثال الأخير، سنرى كيف يمكننا ربط قسمة كثيرات الحدود على وحيدات الحد بأسئلة هندسية.

مثلث مساحته ١٢ﺱ تربيع زائد أربعة ﺱ سنتيمترًا مربعًا، وطول قاعدته أربعة ﺱ سنتيمترًا. اكتب تعبيرًا يمثل ارتفاعه.

لنبدأ بتذكر كيفية إيجاد مساحة المثلث. في المثلث الذي طول قاعدته ﺏ وحدة وارتفاعه العمودي ﻉ وحدة، فإن مساحته تساوي نصف طول قاعدته مضروبًا في ارتفاعه. وسيكون قياس المساحة الناتجة بالوحدات المربعة. لا يهم الآن أننا نتعامل مع تعبيرات جبرية. فما زال بإمكاننا التعويض بالمعطيات في هذه الصيغة.

لنفترض أن الارتفاع يساوي ﻉ أو ﻉ سنتيمتر. نعلم أن مساحة المثلث تساوي ١٢ﺱ تربيع زائد أربعة ﺱ وأن طول قاعدته يساوي أربعة ﺱ. يمكننا إذن أن نكتب ١٢ﺱ تربيع زائد أربعة ﺱ يساوي نصفًا في أربعة ﺱ في ﻉ. ولأنه يمكننا إيجاد نصف أربعة ﺱ بسهولة، فعلينا أن نفعل ذلك. وهذا سيسهل الخطوة التالية إلى حد ما. لكن إذا لم نستطع، يمكننا ضرب الطرفين في اثنين.

ولكننا لن نفعل ذلك. سنكتب الطرف الأيسر اثنين ﺱ في ﻉ. وبما أننا نريد إيجاد قيمة ﻉ، أو بالأحرى إيجاد تعبير يمثل ﻉ، فإننا نوجد قيمة ﻉ بقسمة الطرفين على اثنين ﺱ. إذن ﻉ يساوي ١٢ﺱ تربيع زائد أربعة ﺱ الكل على اثنين ﺱ.

هناك عدة طرق يمكننا استخدامها لتبسيط هذا الكسر أو قسمة البسط على المقام. ومنها طريقة القسمة المختصرة. لننظر إذن كيف سنفعل ذلك. بما أننا نقسم على وحيدة حد، فلن نحتاج إلى استخدام القسمة المطولة. سنقسم ببساطة كل حد من المقسوم، أي هذا التعبير التربيعي، على المقسوم عليه، وهو اثنان ﺱ. إذن، ١٢ مقسومًا على اثنين يساوي ستة، وﺱ تربيع مقسومًا على ﺱ يساوي ﺱ. نجد إذن أن ١٢ﺱ تربيع مقسومًا على اثنين ﺱ يساوي ستة ﺱ. ثم نقسم أربعة ﺱ على اثنين ﺱ. حسنًا، أربعة مقسومًا على اثنين يساوي اثنين، وﺱ مقسومًا على ﺱ يساوي واحدًا. إذن، عندما نقسم ١٢ﺱ تربيع زائد أربعة ﺱ على اثنين ﺱ، نحصل على ستة ﺱ زائد اثنين. إذن ها هو التعبير الذي يمثل ﻉ.

جدير بالملاحظة بالطبع أننا نستخدم وحدات السنتيمتر والسنتيمتر المربع. وعليه، فإن وحدة الارتفاع ﻉ ستكون سنتيمترًا أيضًا. الارتفاع يساوي ستة ﺱ زائد اثنين سنتيمترًا.

في هذا الفيديو، رأينا أنه لقسمة كثيرة حدود على وحيدة حد، نقسم الحدود حدًا حدًا. وإحدى الطرق لفعل ذلك هي طريقة القسمة المختصرة. وهناك طريقة أخرى وهي تجزيء المسألة إلى كسور بسط كل منها وحيدة حد أيضًا. بعدها نبسط بقسمة كل من البسط والمقام على العامل المشترك الأكبر لهما.