نسخة الفيديو النصية
تتحرك نقطة على منحنى الدالة ﺩﺱ تساوي الجذر التربيعي لـ ﺱ تربيع زائد اثنين. إذا كان الإحداثي ﺱ يزيد بمعدل تسعة في الجذر التربيعي لـ ١٥ سنتيمترًا لكل ثانية، فأوجد معدل تغير المسافة بين هذه النقطة والنقطة واحد، صفر عند ﺱ يساوي ثلاثة.
يخبرنا السؤال أنه توجد نقطة تتحرك على منحنى الدالة ﺩﺱ تساوي الجذر التربيعي لـ ﺱ تربيع زائد اثنين. كما يخبرنا أن إحداثي ﺱ لهذه النقطة يزيد بمعدل تسعة في الجذر التربيعي لـ ١٥ سنتيمترًا كل ثانية. ويريد السؤال منا أن نوجد معدل تغير المسافة بين هذه النقطة والنقطة واحد، صفر، عند ﺱ يساوي ثلاثة. بما أن السؤال يطلب منا إيجاد معدل تغير المسافة بين هذه النقطة والنقطة واحد، صفر، دعونا نوجد صيغة للمسافة بين هاتين النقطتين. بما أن النقطة التي لدينا تقع على منحنى الدالة ﺩﺱ تساوي الجذر التربيعي لـ ﺱ تربيع زائد اثنين، فإن إحداثي ﺹ لها يساوي القيمة المخرجة لهذه الدالة. بعبارة أخرى: الإحداثيان الكارتيزيان للنقطة هما: ﺱ، الجذر التربيعي لـ ﺱ تربيع زائد اثنين.
إذن علينا إيجاد مقدار يعبر عن المسافة بين النقطة واحد، صفر والنقطة ﺱ، الجذر التربيعي لـ ﺱ تربيع زائد اثنين. يمكننا فعل ذلك بتكوين مثلث قائم الزاوية ثم استخدام نظرية فيثاغورس. بما أن ما يهمنا هو إيجاد معدل التغير عند النقطة ﺱ يساوي ثلاثة، فإننا نعلم أن ﺱ أكبر من واحد، وأن الجذر التربيعي لـ ﺱ تربيع زائد اثنين أكبر من صفر عند هذه النقطة. سنرسم النقطة ﺱ، الجذر التربيعي لـ ﺱ تربيع زائد اثنين أعلى النقطة واحد، صفر من ناحية اليمين. يمكننا بعد ذلك طرح إحداثيي ﺱ لهاتين النقطتين لإيجاد قاعدة المثلث القائم الزاوية. كما يمكننا طرح إحداثيي ﺹ لإيجاد ارتفاع هذا المثلث القائم الزاوية. ويعطينا هذا قاعدة طولها ﺱ ناقص واحد، وارتفاعًا يساوي الجذر التربيعي لـ ﺱ تربيع زائد اثنين.
باستخدام نظرية فيثاغورس، نعرف أن مربع المسافة يساوي ﺱ ناقص واحد تربيع زائد الجذر التربيعي لـ ﺱ تربيع زائد اثنين تربيع. وبتوزيع الأس على ما بين الأقواس، نحصل على ﺱ تربيع ناقص اثنين ﺱ زائد واحد. والجذر التربيعي لـ ﺱ تربيع زائد اثنين الكل تربيع يساوي ﺱ تربيع زائد اثنين. يمكننا تبسيط ذلك بجمع الحدين ﺱ تربيع معًا ثم جمع الثابتين معًا. وهذا يعطينا اثنين ﺱ تربيع ناقص اثنين ﺱ زائد ثلاثة. وأخيرًا: نأخذ الجذر التربيعي لطرفي هذه المعادلة. بما أن المسافة موجبة، نحصل على ﻑ يساوي الجذر التربيعي لاثنين ﺱ تربيع ناقص اثنين ﺱ زائد ثلاثة. وبذلك نكون قد توصلنا إلى معادلة دالة المسافة على صورة دالة في المتغير ﺱ.
يطلب منا السؤال إيجاد معدل تغير المسافة بالنسبة إلى الزمن عند ﺱ يساوي ثلاثة. لكننا لدينا دالة في المتغير ﺱ؛ لذا علينا تطبيق قاعدة السلسلة. تخبرنا قاعدة السلسلة أنه إذا كانت ﺹ دالة في ﻉ، وﻉ دالة في ﺱ، فإنه يمكننا حساب مشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﺱ. وذلك بحساب مشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﻉ أولًا، ثم ضربها في مشتقة ﻉ بالنسبة إلى ﺱ. وباستخدام قاعدة السلسلة هنا، نجد أنه يمكننا حساب مشتقة دالة المسافة بالنسبة إلى الزمن. حيث نحسب مشتقة دالة المسافة بالنسبة إلى ﺱ أولًا، ثم نضربها في مشتقة ﺱ بالنسبة إلى الزمن.
يخبرنا السؤال أن إحداثي ﺱ يزيد بمعدل تسعة في جذر ١٥ سنتيمترًا لكل ثانية. وهذا يماثل قولنا: إن المشتقة ﺱ بالنسبة إلى الزمن تساوي تسعة في جذر ١٥. وبذلك نكون قد وجدنا ﺩﺱ على ﺩﻥ. وهذا يعني أن كل ما علينا فعله الآن هو إيجاد مشتقة دالة المسافة بالنسبة إلى ﺱ. علينا إذن أن نوجد مشتقة اثنين ﺱ تربيع ناقص اثنين ﺱ زائد ثلاثة الكل مرفوع لأس نصف بالنسبة إلى ﺱ. نحن الآن نحاول اشتقاق تركيب دالتين، ويمكننا فعل ذلك باستخدام قاعدة السلسلة مرة أخرى. إذا افترضنا أن ﻉ يساوي اثنين ﺱ تربيع ناقص اثنين ﺱ زائد ثلاثة، وهي الدالة الداخلية، فإن ﻑ ستساوي ﻉ أس نصف. لكن ﻉ دالة لـ ﺱ.
إذن باستخدام قاعدة السلسلة، يمكننا حساب مشتقة دالة المسافة بالنسبة إلى ﺱ، وذلك بحساب مشتقة دالة المسافة بالنسبة إلى ﻉ أولًا، ثم ضربها في مشتقة ﻉ بالنسبة إلى ﺱ. لحساب مشتقة دالة المسافة بالنسبة إلى ﻉ، كل ما علينا فعله هو حساب مشتقة ﻉ أس نصف بالنسبة إلى ﻉ. يمكننا فعل ذلك باستخدام قاعدة القوة للمشتقات. نضرب في الأس نصف ثم نطرح واحدًا من الأس. ويعطينا هذا نصف ﻉ أس سالب نصف.
والآن، لحساب ﺩﻉ على ﺩﺱ، علينا اشتقاق ﻉ يساوي اثنين ﺱ تربيع ناقص اثنين ﺱ زائد ثلاثة بالنسبة إلى ﺱ. سنستخدم قاعدة القوة للاشتقاق مرة أخرى. مشتقة اثنين ﺱ تربيع تساوي أربعة ﺱ، ثم نطرح مشتقة اثنين ﺱ، وهو ما يساوي اثنين. وأخيرًا: مشتقة الثابت ثلاثة تساوي صفرًا. وأخيرًا: سنعوض بـ ﻉ يساوي اثنين ﺱ تربيع ناقص اثنين ﺱ زائد ثلاثة. وبنقل الأس السالب إلى المقام، نحصل على مشتقة دالة المسافة بالنسبة إلى ﺱ تساوي أربعة ﺱ ناقص اثنين مقسومًا على اثنين مضروبًا في الجذر التربيعي لاثنين ﺱ تربيع ناقص اثنين ﺱ زائد ثلاثة.
والآن أصبحنا مستعدين لاستخدام قاعدة السلسلة لإيجاد تعبير لمشتقة دالة المسافة بالنسبة إلى الزمن. نحن وجدنا بالفعل مشتقة دالة المسافة بالنسبة إلى ﺱ، ووجدنا مشتقة ﺱ بالنسبة إلى ﻥ. ويعطينا هذا مشتقة دالة المسافة بالنسبة إلى الزمن تساوي أربعة ﺱ ناقص اثنين مضروبًا في تسعة في جذر ١٥ الكل مقسوم على اثنين مضروب في الجذر التربيعي لاثنين ﺱ تربيع ناقص اثنين ﺱ زائد ثلاثة.
وأخيرًا: يطلب منا السؤال إيجاد معدل تغير دالة المسافة بالنسبة إلى الزمن عند ﺱ يساوي ثلاثة. إذن نعوض عن ﺱ بثلاثة في هذا التعبير. ويعطينا هذا أربعة في ثلاثة ناقص اثنين مضروبًا في تسعة جذر ١٥ الكل مقسوم على اثنين في الجذر التربيعي لاثنين في ثلاثة تربيع ناقص اثنين في ثلاثة زائد ثلاثة. لدينا أربعة في ثلاثة ناقص اثنين يساوي ١٠، وبضرب هذا في تسعة جذر ١٥ نحصل على البسط ٩٠ في الجذر التربيعي لـ ١٥. بالمثل يمكننا إيجاد المقام لنحصل على اثنين مضروبًا في الجذر التربيعي لـ ١٥. إذن يصبح لدينا ٩٠ جذر ١٥ مقسومًا على اثنين جذر ١٥، وهو ما يمكننا حسابه لنحصل على ٤٥. وبما أن السؤال يخبرنا أن هذه الوحدات بالسنتيمتر لكل ثانية، يمكننا إضافة الوحدة إلى هذه الإجابة.
وبذلك نكون وجدنا أن معدل تغير المسافة بين النقطة التي لدينا والنقطة واحد، صفر، عند ﺱ يساوي ثلاثة، يساوي ٤٥ سنتيمترًا لكل ثانية.
