تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

فيديو الدرس: مماسات الدائرة الرياضيات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نستخدم خواص مماسات الدوائر لإيجاد قياسات زوايا أو أطوال أضلاع مجهولة. وسنبدأ بتذكر ما نعنيه بالمماس.

١٦:٤٨

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نستخدم خواص مماسات الدوائر لإيجاد قياسات زوايا أو أطوال أضلاع مجهولة. وسنبدأ بتذكر ما نعنيه بالمماس.

مماس الدائرة خط مستقيم يلتقي بالدائرة عند نقطة واحدة. وهذا الخط لا يمر داخل الدائرة، بل يمس الدائرة عند نقطة على محيطها. وسنستعرض الآن أول خاصية من الخواص الرئيسية التي سنتناولها. أي مماس للدائرة يكون عموديًّا على نصف قطر الدائرة عند نقطة التماس. هذا يعني أن أي مماس نرسمه للدائرة يكون مثلثًا قائم الزاوية مع نصف قطر الدائرة عند هذه النقطة. ويكون المماس عموديًّا أيضًا على القطر عند نقطة التماس؛ حيث إنه امتداد لنصف قطر الدائرة. لن نتناول تفاصيل إثبات هذه النظرية هنا، لكنها تعتمد فقط على حقيقة أن أقصر مسافة بين خط ونقطة هي المسافة العمودية بين العنصرين.

في المثال الأول، سنستخدم هذه النظرية لإيجاد طول مجهول في شكل يتضمن دائرة ومماسًّا.

الخط المستقيم ﺃﺟ مماس لدائرة مركزها ﻡ عند النقطة ﺃ. إذا كان ﺏﻡ يساوي ٥٥ سنتيمترًا، وﺃﺟ يساوي ٩٦ سنتيمترًا، فما طول ﺏﺟ؟

دعونا نبدأ بكتابة المعطيات التي لدينا في السؤال على الشكل. ‏ﺏﻡ يساوي ٥٥ سنتيمترًا، وﺃﺟ يساوي ٩٦ سنتيمترًا. ومطلوب منا إيجاد طول القطعة المستقيمة ﺏﺟ. حسنًا، نلاحظ هنا أن القطع المستقيمة ﺃﺏ وﺃﺟ وﺏﺟ تكون مثلثًا. يمكننا أيضًا استنتاج أن طول الضلع ﺃﺏ في هذا المثلث يساوي ١١٠ سنتيمترات. وهذا لأن ﻡﺏ وﻡﺃ نصفا قطر في الدائرة؛ ومن ثم فهما متساويان في الطول. نعرف الآن طولي ضلعين في المثلث ﺃﺏﺟ، ونريد حساب طول الضلع الثالث. قد نرغب في استخدام نظرية فيثاغورس، ولكننا لا نستطيع فعل ذلك إلا إذا كان المثلث الذي لدينا مثلثًا قائم الزاوية.

حسنًا، تذكر أن الخط المستقيم ﺃﺟ مماس للدائرة، ومن ثم يمكننا هنا استرجاع خاصية رئيسية. أي مماس للدائرة يكون عموديًّا على نصف قطر الدائرة عند نقطة التماس. وعليه، فإن الخط المستقيم ﺃﺟ عمودي على نصف قطر الدائرة عند النقطة ﺃ. وهذا يمثل القطعة المستقيمة ﺃﻡ. ومن ثم، فإنه يكون عموديًّا أيضًا على القطعة المستقيمة ﺃﺏ. إذن، المثلث ﺃﺏﺟ مثلث قائم الزاوية، ومن ثم يمكننا تطبيق نظرية فيثاغورس. ‏ﺏﺟ هو وتر هذا المثلث، وعليه يكون لدينا: ﺃﺏ تربيع زائد ﺃﺟ تربيع يساوي ﺏﺟ تربيع. بالتعويض بالطولين الموجودين لدينا، نجد أن ١١٠ تربيع زائد ٩٦ تربيع يساوي ﺏﺟ تربيع. بحساب ذلك، نجد أن ﺏﺟ تربيع يساوي ٢١٣١٦. وطول الضلع ﺏﺟ يساوي الجذر التربيعي لهذه القيمة؛ أي ١٤٦.

إذن، بتذكر أن أي مماس للدائرة يكون عموديًّا على نصف قطر الدائرة عند نقطة التماس، ثم تطبيق نظرية فيثاغورس، وجدنا أن طول ﺏﺟ يساوي ١٤٦ سنتيمترًا.

سنتناول الآن الخاصية الرئيسية الثانية ذات الصلة بمماسات الدوائر. إذا كانت هناك نقطة خارج الدائرة، فإن طولي المماسين المرسومين من هذه النقطة للدائرة يكونان متساويين. حسنًا، لدينا في هذا الشكل النقطة ﺃ التي تقع خارج الدائرة التي مركزها ﻡ، ولدينا مماسان مرسومان من هذه النقطة إلى الدائرة. ما نقوله هنا هو أن طول ﺃﺏ يساوي طول ﺃﺟ. يمكننا إثبات ذلك باستخدام تطابق المثلثات والخاصية الأولى لمماسات الدوائر. دعونا نرسم القطعة المستقيمة ﺃﻡ، ونتناول المثلث ﺃﺏﻡ والمثلث ﺃﺟﻡ.

إننا نعلم وفقًا للخاصية الأولى في هذا الدرس أن المماسين ﺃﺏ وﺃﺟ عموديان على نصف قطر الدائرة عند نقطة التماس. ومن ثم، فإن ﺃﺏ عمودي على ﺏﻡ، وﺃﺟ عمودي على ﺟﻡ. إذن، كل من المثلثين ﺃﺏﻡ وﺃﺟﻡ قائم الزاوية. والقطعتان المستقيمتان ﺏﻡ وﺟﻡ هما نصفا قطرين في الدائرة؛ ومن ثم فهما متساويتان في الطول. وأخيرًا، الضلع ﺃﻡ مشترك بين المثلثين. إذن، باستخدام مسلمة التطابق بزاوية قائمة والوتر وأحد ضلعي القائمة، يكون هذان المثلثان متطابقين. ومن ثم، فإن ﺃﺏ وﺃﺟ، وهما الضلعان المتناظران في هذين المثلثين، يكونان متساويين، وبهذا نكون قد أثبتنا هذه النتيجة.

حسنًا، لن نتناول هنا أي أمثلة على هذه الخاصية. لكن قد تتضمن الأسئلة تعبيرات معطاة لطولي مماسين مرسومين من نقطة إلى دائرة، بدلالة مجهول، وسيطلب إيجاد قيمة هذا المجهول. وبالطبع، يمكننا فعل ذلك من خلال معرفة أن المماسين متساويان في الطول، وكذلك بمساواة التعبيرين، ثم حل المعادلة الناتجة لإيجاد قيمة المجهول.

سنتناول الآن نتيجتين مستنبطتين من هذه النظرية. أولاهما هذه النتيجة. الخط المستقيم الذي يربط نقطة خارج الدائرة بمركز الدائرة ينصف كلًّا من الزاوية التي يصنعها مماسان مرسومان من النقطة إلى الدائرة، والزاوية المركزية التي يصنعها نصفا القطرين المتقاطعين مع المماسين كذلك.

دعونا نفهم معنى ذلك على الشكل. لدينا هنا نقطة خارجية، ولدينا مماسان مرسومان من هذه النقطة إلى الدائرة. الزاوية المحصورة بين هذين المماسين تقع هنا، ولدينا بعد ذلك خط مستقيم يربط النقطة الخارجية بمركز الدائرة. تخبرنا النتيجة أن هذا الخط المستقيم ينصف الزاوية المحصورة بين المماسين. لدينا أيضًا نصفا قطرين مرسومان من نقطة تقاطع كل مماس مع الدائرة إلى مركزها. الزاوية المحصورة بين نصفي القطرين هذين تقع هنا، ومرة أخرى تخبرنا النتيجة أن الخط المستقيم المرسوم من النقطة الخارجية إلى مركز الدائرة ينصف هذه الزاوية.

النتيجة الثانية هي الآتية. إذا كانت هناك نقطة خارج الدائرة، وكان هناك مماسان من النقطة إلى الدائرة، فإن الخط المستقيم الذي يربط النقطة الخارجية بمركز الدائرة يكون العمود المنصف للوتر بين نقطتي تماس المماسين. في هذا الشكل، لدينا هنا نقطة خارجية، ولدينا مماسان مرسومان من هذه النقطة إلى الدائرة. يوجد هنا الخط المستقيم الذي يربط النقطة الخارجية بمركز الدائرة. وهذا الخط هو العمود المنصف للوتر الذي يربط نقطتي تماس المماسين.

دعونا الآن نتناول مثالًا نطبق فيه إحدى هاتين النتيجتين.

إذا كان قياس الزاوية ﻡﺃﺟ يساوي ٣٦ درجة، فأوجد قياس الزاوية ﺏﺃﻡ، وقياس الزاوية ﺃﻡﺟ.

سنبدأ بكتابة المعطيات التي لدينا في السؤال على الشكل. قياس الزاوية ﻡﺃﺟ يساوي ٣٦ درجة. وعلينا إيجاد قياسي الزاويتين ﺏﺃﻡ وﺃﻡﺟ. بداية، علينا معرفة أن ﺃ نقطة خارج الدائرة. القطعتان المستقيمتان ﺃﺟ وﺃﺏ مماسان للدائرة، والقطعة المستقيمة ﺃﻡ هي القطعة المستقيمة التي تصل النقطة الخارجية بمركز الدائرة. إننا نعلم أن الخط المستقيم الذي يربط نقطة خارجية بمركز الدائرة ينصف الزاوية التي يكونها مماسان مرسومان من تلك النقطة إلى الدائرة. إذن عند النقطة ﺃ، يكون قياسا الزاويتين ﻡﺃﺏ وﻡﺃﺟ متساويين. إننا نعلم أن قياس الزاوية ﻡﺃﺟ يساوي ٣٦ درجة، وبذلك يكون قياس الزاوية ﻡﺃﺏ أو قياس الزاوية ﺏﺃﻡ يساوي ٣٦ درجة أيضًا.

والآن، سنوجد قياس الزاوية ﺃﻡﺟ، ولفعل ذلك سنتناول المثلث ﺃﻡﺟ. ‏ﺃﺟ مماس للدائرة، وﻡﺟ هو نصف قطر الدائرة. إننا نعلم أن أي مماس للدائرة يكون عموديًّا على نصف قطر الدائرة عند نقطة التماس، وعليه فإن الزاوية ﻡﺟﺃ زاوية قائمة. وباستخدام حقيقة أن مجموع زوايا أي مثلث يساوي ١٨٠ درجة، يمكننا إيجاد قياس الزاوية ﺃﻡﺟ من خلال طرح قياسي الزاويتين الأخريين في المثلث ﺃﻡﺟ من ١٨٠ درجة، وهذا يعطينا ٥٤ درجة. إذن، قياس الزاوية ﺏﺃﻡ يساوي ٣٦ درجة، وقياس الزاوية ﺃﻡﺟ يساوي ٥٤ درجة.

سنتناول الآن تطبيقات مماسات الدائرة في مسائل تتضمن مضلعات. سنتناول أولًا تعريفي الدوائر الداخلية لمضلعات والمضلعات الداخلية لدوائر. تكون الدائرة دائرة داخلية لمضلع، إذا كان كل ضلع من أضلاع المضلع مماسًّا للدائرة. في الشكل هنا، لدينا دائرة داخلية لمثلث، وكل ضلع من أضلاع المثلث مماس للدائرة. ومن ناحية أخرى، يكون المضلع مضلعًا داخليًّا لدائرة إذا كان المضلع يقع داخل الدائرة، ورءوس المضلع جميعها تقع عليها. في هذا الشكل، لدينا شكل رباعي داخلي لدائرة. إنه يقع داخل الدائرة، وكل رأس من رءوسه يقع على محيط الدائرة.

سنتناول الآن مثالًا أخيرًا يتضمن دوائر داخلية لمضلعات ومضلعات داخلية لدوائر.

نصفا قطري الدائرتين المتحدتي المركز الموضحتين ١٦ سنتيمترًا، وثمانية سنتيمترات. أوجد مساحة المثلث لأقرب منزلتين عشريتين.

بالنظر إلى الشكل الموجود لدينا، نلاحظ أن الدائرة الصغرى دائرة داخلية للمثلث ﺃﺏﺟ؛ حيث إن كل ضلع من أضلاع المثلث ﺃﺏﺟ مماس للدائرة الصغرى. والمثلث ﺃﺏﺟ نفسه مثلث داخلي للدائرة الكبرى؛ حيث إن رءوسه تقع على محيط الدائرة الكبرى. إذن، لدينا دائرة داخلية لمضلع، وهو مثلث في الحالة التي لدينا، وهو نفسه مثلث داخلي لدائرة. وعلينا إيجاد مساحة هذا المثلث.

سنبدأ برسم أنصاف أقطار الدائرة الكبرى؛ وهي القطع المستقيمة ﻡﺃ وﻡﺏ وﻡﺟ وطول كل منها ١٦ سنتيمترًا. يمكننا أيضًا رسم أنصاف أقطار الدائرة الصغرى؛ وهي القطع المستقيمة ﻡﺱ وﻡﺹ وﻡﻉ وطول كل منها ثمانية سنتيمترات. حسنًا، بفعل ذلك نجد أننا قد قسمنا المثلث ﺃﺏﺟ إلى ستة مثلثات أصغر. وسيكون مفيدًا بالفعل إذا كانت هذه المثلثات متطابقة. حسنًا، دعونا نر إذا ما كان بإمكاننا إثبات ذلك. كل مثلث به ضلع طوله ثمانية سنتيمترات، وضلع طوله ١٦ سنتيمترًا. وبما أن الدائرة الصغرى دائرة داخلية للمثلث ﺃﺏﺟ، فإن كل ضلع من أضلاع المثلث ﺃﺏﺟ مماس للدائرة الصغرى.

إننا نعلم أن أي مماس للدائرة يكون عموديًّا على نصف قطر الدائرة عند نقطة التماس. وعليه تكون جميع الزوايا ﺟﺹﻡ وﺏﺹﻡ وﺏﺱﻡ وﺃﺱﻡ وﺃﻉﻡ وﺟﻉﻡ زوايا قائمة. وبذلك، نكون قد أوضحنا أن كل هذه المثلثات مثلثات قائمة الزاوية، لها نفس طول الوتر، وبها ضلع آخر له نفس الطول. إذن، باستخدام مسلمة التطابق بزاوية قائمة والوتر وأحد ضلعي القائمة، وجدنا أن هذه المثلثات الستة متطابقة.

دعونا نتناول مثلثًا واحدًا من هذه المثلثات، وليكن المثلث ﻡﺟﺹ. هذا مثلث قائم الزاوية، ومن ثم يمكن إيجاد مساحته باستخدام الصيغة التي تنص على ضرب القاعدة في الارتفاع العمودي ثم القسمة على اثنين. هذا يعني: ﺟﺹ مضروبًا في ﻡﺹ على اثنين. نحن نعرف طول ﻡﺹ. إنه نصف قطر الدائرة الصغرى، إذن فهو يساوي ثمانية سنتيمترات. ولإيجاد طول ﺟﺹ، يمكننا تطبيق نظرية فيثاغورس. ‏ﺟﺹ تربيع زائد ثمانية تربيع يساوي ١٦ تربيع. بحساب ذلك، يكون لدينا ﺟﺹ تربيع يساوي ١٩٢، وﺟﺹ يساوي الجذر التربيعي للعدد ١٩٢، أو في صورة مبسطة ثمانية جذر ثلاثة. إذن، مساحة المثلث ﻡﺟﺹ تساوي ثمانية جذر ثلاثة مضروبًا في ثمانية على اثنين، وهذا يساوي ٦٤ جذر ثلاثة على اثنين؛ أي ٣٢ جذر ثلاثة.

لإيجاد مساحة المثلث ﺃﺏﺟ، علينا ضرب هذه القيمة في ستة؛ حيث إن لدينا ستة مثلثات متطابقة. هذا يعطينا ١٩٢ جذر ثلاثة، أو ٣٣٢٫٥٥٣٧ وهكذا مع توالي الأرقام، في صورة عدد عشري. ولأقرب منزلتين عشريتين، نجد أن مساحة المثلث ﺃﺏﺟ، المرسوم داخل الدائرة الكبرى والمرسومة داخله الدائرة الصغرى، تساوي ٣٣٢٫٥٥ سنتيمترًا مربعًا.

دعونا الآن نلخص النقاط الرئيسية في هذا الفيديو. أي مماس للدائرة يكون عموديًّا على نصف قطر الدائرة عند نقطة التماس. المماسان المرسومان من النقطة الخارجية نفسها إلى محيط الدائرة متساويان في الطول. الخط المستقيم الذي يربط نقطة خارجية بمركز الدائرة ينصف كلًّا من الزاوية التي يصنعها المماسان المرسومان من تلك النقطة إلى الدائرة، والزاوية المركزية التي يصنعها نصفا القطرين المتقاطعين مع المماسين كذلك.

إذا كانت هناك نقطة خارج الدائرة، وكان هناك مماسان مرسومان من تلك النقطة إلى الدائرة، فإن الخط المستقيم الذي يربط النقطة الخارجية بمركز الدائرة يكون العمود المنصف للوتر بين نقطتي تماس المماسين. تكون الدائرة دائرة داخلية لمضلع، إذا كان كل ضلع من أضلاع المضلع مماسًّا للدائرة. وأخيرًا، يكون المضلع مضلعًا داخليًّا لدائرة، إذا كان المضلع يقع داخل الدائرة، وكل رأس من رءوسه يقع على محيط الدائرة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.