فيديو: العزوم في بعدين

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، موضوعنا هو العزوم في بعدين. ورغم أن هذين الشخصين المرسومين أمامنا في بعدين يبدو أن لديهما عزمًا لقضاء وقت ممتع معًا، فإننا بالطبع لن نتحدث في هذا الدرس عن العزم بمعنى الإرادة؛ بل نقصد معنى مختلفًا. فالعزم الذي نقصده يتضمن قوى ومسافات ونقاط دوران أو محاور دوران.

في البداية، لنفترض أن لدينا القوة ﻕ ونقطة هنا تسمى ﻡ. بالنظر إلى هذه القوة، نجد أنها تؤثر في خط معين، أي في اتجاه معين. وهذا يسمى خط عمل القوة. ونلاحظ أن هذا الخط لا يمر بالنقطة ﻡ.

لنفعل إذن شيئًا لتوصيل النقطة ﻡ بالقوة ﻕ. دعونا نرسم قضيبًا، ونفترض أن كتلته صغيرة لا تكاد تذكر. لكن أحد طرفي هذا القضيب مثبت بالنقطة ﻡ، والقوة ﻕ تؤثر على الطرف الآخر. يمكننا الآن تصور ما يمكن للقوة ﻕ فعله بالقضيب حول النقطة ﻡ. ستجعله يدور. وإمكانية إحداث هذه القوة دورانًا حول النقطة يسمى عزم القوة. ونرمز له بحرف ﺝ .

حتى لو كان هذا المصطلح جديدًا علينا، فإن فكرة وجود شيء من هذا القبيل، أو ما نطلق عليه عزم القوة، أمر مألوف بالفعل. على سبيل المثال، تخيل أن النقطة ﻡ هي مفصلة باب والخط البرتقالي يمثل منظورًا علويًا لهذا الباب. في هذه الحالة، سيكون من الطبيعي أن ندفع الطرف الآخر من الباب أو نسحبه لفتحه أو إغلاقه. عند فعل ذلك، ينتج عن القوة التي نبذلها عزم.

توجد طريقتان مختلفتان لحساب عزم القوة. لمعرفة كيفية حسابه، لنتخيل أن لدينا القوة ﻕ تؤثر بزاوية ٤٥ درجة على محور هذا القضيب الرفيع مهمل الكتلة. لإيجاد العزم الناتج عن هذه القوة حول النقطة ﻡ، إحدى الطرق الممكنة لفعل ذلك هي تحليل هذه القوة إلى مركبتيها الرأسية والأفقية ثم ضرب مركبة القوة التي تكون عمودية على القضيب في الطول الكلي للقضيب. إذن، إذا افترضنا أن طول القضيب هو ﻝ، ومقدار مركبة القوة العمودية عليه يساوي ﻕ في جتا ٤٥ درجة، فإن العزم يساوي حاصل ضرب هاتين القيمتين.

وبتذكر أن جتا ٤٥ درجة يساوي الجذر التربيعي لاثنين على اثنين، يمكن تبسيط هذا العزم إلى ﻕ في ﻝ في الجذر التربيعي لاثنين على اثنين. هذه الطريقة المستخدمة لحساب العزوم، التي نحدد فيها المسافة بين النقطة التي ندرس الدوران حولها والقوة المؤثرة، ونضرب هذه المسافة في المركبة العمودية للقوة المؤثرة، هي الطريقة الأكثر شيوعًا لحساب عزم القوة بشكل عام. لكن كما ذكرنا من قبل، هذه ليست الطريقة الوحيدة.

هناك طريقة أخرى يمكننا اتباعها تتمثل في إيجاد المسافة العمودية بين خط عمل القوة والنقطة التي ندرس الدوران حولها. إذا مددنا خط العمل الذي رسمناه ثم رسمنا خطًا عموديًا من خط العمل يتقاطع مع النقطة ﻡ، فثمة طريقة أخرى لحساب عزم هذه القوة، وهي حساب المسافة — التي سنطلق عليها ﻑ — وضربها في القوة ﻕ. ونلاحظ أننا إذا فعلنا ذلك، فسنحسب مرة أخرى ذراع العزم — الذي كان في الأصل الطول ﻝ، وأصبح الآن المسافة ﻑ — ونضربه في قوة عمودية على هذا الذراع. إذن، ما مقدار المسافة ﻑ؟

يمكننا إيجاد هذه المسافة من خلال معرفة أن قياس هذه الزاوية هنا يجب أن يكون ٤٥ درجة حيث إنها مساوية لهذه الزاوية. وبما أن هذه زاوية قائمة قياسها ٩٠ درجة، فالزاوية الداخلية الثالثة في المثلث لا بد أن تساوي ٤٥ درجة أيضًا. وهذا يوضح لنا أنه يمكننا كتابة المسافة ﻑ على الصورة ﻝ في جيب تمام تلك الزاوية. إذن، في هذه الطريقة الثانية لحساب عزم القوة، نضرب المسافة ﻑ في مركبة القوة ﻕ العمودية عليها. وذلك هو مقدار القوة الكلية. المسافة ﻑ، كما رأينا، تساوي ﻝ في جتا ٤٥ درجة. وبكتابة جيب التمام في صورة قيمة دقيقة، نجد أن عزم القوة يساوي ﻕ في ﻝ في الجذر التربيعي لاثنين على اثنين. ونلاحظ الآن أن هذا الناتج يطابق ناتج الطريقة السابقة.

لنكتب إذن معادلة عزم القوة ﺝ هكذا. سنقول إنه يساوي المركبة العمودية للقوة ﻕ، مضروبة في المسافة بين موضع تأثير هذه المركبة العمودية ونقطة الدوران. وبالمناسبة، هذه الكمية التي نسميها عزمًا في هذا السياق تعرف أحيانًا بعزم الدوران. لذا، إذا سمعنا كلمة «عزم الدوران»، فإننا نعلم أنها تشير إلى عزم القوة.

بوجه عام، يمكن أن يكون العزم قيمة موجبة أو قيمة سالبة أو يساوي صفرًا. نلاحظ، على سبيل المثال، أن هذه القوة ﻕ تتسبب في دوران هذا القضيب في اتجاه عكس دوران عقارب الساعة حول النقطة ﻡ التي اخترناها. كما هو متعارف عليه، العزوم في هذا الاتجاه التي تؤدي إلى دوران في اتجاه عكس دوران عقارب الساعة قيمتها موجبة. وهذا يعني أن العزوم التي تؤدي إلى دوران في اتجاه دوران عقارب الساعة قيمتها سالبة. وكما ذكرنا من قبل، من الممكن أيضًا أن يساوي العزم صفرًا.

لنفترض أنه بالإضافة إلى النقطة ﻡ، نختار نقطة ثانية — سنطلق عليها النقطة ﻥ — ونحدد موقعها على خط عمل القوة. بما أن ﻥ تقع على هذا الخط، فلا توجد مسافة بين المركبة العمودية للقوة وهذه النقطة. فعليًا، لن تتسبب القوة في إحداث دوران حول النقطة ﻥ. ولهذا السبب، يمكنها فقط أن تنتج عزمًا يساوي صفرًا. فبينما عزم القوة ﻕ حول النقطة ﻡ يساوي ﻕ في ﻝ في الجذر التربيعي لاثنين على اثنين، فإن عزم القوة ﻕ حول النقطة ﻥ يساوي صفرًا.

ثمة نقطة أخيرة علينا توضيحها عن العزوم، وهي الوحدات التي يمكننا توقع قياس هذه الكميات بها. نلاحظ أن العزم يعطى بواسطة قوة وحدتها الأساسية في النظام الدولي للوحدات هي النيوتن، مضروبة في مسافة وحدتها الأساسية في النظام الدولي للوحدات هي المتر. ومن ثم، يعطى العزم عادة بوحدة النيوتن في المتر. لكن بغض النظر عن وحدتي قياس القوة والمسافة اللتين نستخدمهما، تتكون العزوم دائمًا من وحدة قوة مضروبة في وحدة مسافة.

بعد التعرف على كل ذلك، لنتدرب قليلًا الآن من خلال مثال تدريبي.

إذا كانت هناك قوة مقدارها ٤٩٨ نيوتن تبعد ثمانية سنتيمترات عن النقطة ﺃ، فأوجد معيار عزم القوة حول النقطة ﺃ، بوحدة النيوتن في المتر.

حسنًا، لنفترض أن هذه هي النقطة ﺃ، وعلى مسافة ثمانية سنتيمترات منها لدينا قوة سنطلق عليها ﻕ مقدارها ٤٩٨ نيوتن. بمعلومية ذلك كله، نريد حساب معيار عزم هذه القوة حول النقطة ﺃ.

لبدء الحل، يمكننا تذكر أن عزم القوة حول نقطة ما — سنطلق على هذا العزم ﺝ — يساوي مركبة القوة المؤثرة ﻕ، التي تكون عمودية على خط يبدأ من موضع تأثير القوة إلى النقطة محل الاهتمام، مضروبة في هذه المسافة بين النقطة والقوة المؤثرة. وفي هذه الحالة بالتحديد، نلاحظ أن هذه القوة ﻕ والمسافة التي تساوي ثمانية سنتيمترات متعامدتان إحداهما على الأخرى بالفعل. إذن، عزم هذه القوة حول النقطة ﺃ يساوي ﻕ في ثمانية سنتيمترات.

إذا عوضنا بالقيمة المعطاة للقوة ﻕ، يمكننا إجراء عملية الضرب لحساب قيمة ﺝ. لكن قبل فعل ذلك، لنتذكر أننا نريد كتابة الإجابة بوحدة النيوتن في المتر. نلاحظ أنه إذا أجرينا عملية الضرب كما هي الآن، فسيكون الناتج بوحدة النيوتن في السنتيمتر. إذن، قبل المتابعة، دعونا نحول هذه المسافة من وحدة السنتيمتر إلى المتر. يمكننا فعل ذلك بتذكر أن ١٠٠ سنتيمتر يساوي مترًا واحدًا؛ ما يعني أن ثمانية سنتيمترات يساوي ٠٫٠٨ متر. والآن عند ضرب هاتين القيمتين معًا، نحصل على ناتج يساوي ٣٩٫٨٤ نيوتن متر بالضبط. وهذا هو معيار عزم القوة حول النقطة ﺃ.

والآن لنلق نظرة على مثال يتضمن ذراع عزم أكثر تعقيدًا.

أوجد عزم القوة التي مقدارها ١١ نيوتن حول النقطة ﻭ. اكتب إجابتك بوحدة النيوتن في المتر.

بالنظر إلى الشكل، نرى أن هذه القوة البالغ مقدارها ١١ نيوتن تتجه لأسفل، ونجد أيضًا أن النقطة ﻭ تقع هنا. لتعريف عزم هذه القوة حول النقطة ﻭ، يمكننا تذكر أن العزم الناتج عن قوة ما حول نقطة معينة يساوي مركبة هذه القوة، التي تكون عمودية على الخط الواصل بين موضع تأثير القوة والنقطة محل الاهتمام، مضروبة في المسافة بين هذه النقطة وموضع تأثير القوة. عمليًا، هذا يعني بالنسبة للحالة التي لدينا هنا أننا إذا رسمنا الخط الذي تؤثر في اتجاهه القوة — وهو ما يعرف بخط عمل القوة — فإن عزم هذه القوة حول النقطة ﻭ سيساوي القوة مضروبة في هذه المسافة التي أطلقنا عليها ﻑ.

بالرجوع إلى معادلة عزم القوة، بما أننا نعرف بالفعل أن القوة مقدارها ١١ نيوتن، فإن مهمتنا الأولى هي إيجاد المسافة ﻑ. إذا بدأنا من النقطة ﻭ ثم فكرنا فيما يمكن أن نسميه بالأجزاء الثلاثة لهذا الشكل، وانتقلنا من النقطة ﻭ على طول الجزء الأول ثم لأسفل على طول الجزء الثاني، وأخيرًا على طول الجزء الثالث حتى نصل إلى خط عمل القوة، فإن الإزاحة الأفقية الكلية لهذه الرحلة المكونة من ثلاثة أجزاء ستساوي المسافة ﻑ التي نريد حسابها.

لتعيين هذه المسافة، دعونا نحدد أن الحركة إلى اليمين هي حركة في الاتجاه الموجب والحركة إلى اليسار هي حركة في الاتجاه السالب. يعني هذا أنه في الجزء الأول من الرحلة، قطعنا موجب ٣٦ سنتيمترًا. ثم في الجزء الثاني، تحركنا على طول هذا الجزء الذي يبلغ طوله ٢٩ سنتيمترًا، وبما أن هذا الجزء مائل بمقدار ٦٠ درجة أسفل الأفقي، فإن الإزاحة الأفقية التي نقطعها متحركين على طول هذا الجزء تساوي موجب ٢٩ سنتيمترًا في جتا ٦٠. وأخيرًا، على طول الجزء الثالث، نقطع سالب ٢٦ سنتيمترًا. وذلك لأننا ذكرنا أن الحركة إلى اليسار قيمتها سالبة.

عند جمع هذه القيم الثلاث، فإنها تساوي ﻑ، وهي المسافة التي نريد إيجادها. وبتذكر أن جتا ٦٠ يساوي نصفًا، نجد أن المسافة الكلية التي حصلنا عليها تساوي موجب ٢٤٫٥ سنتيمترًا. هذه إذن القيمة التي سنضربها في القوة ﻕ لإيجاد العزم الذي تنتجه هذه القوة حول النقطة ﻭ. لكن قبل فعل بذلك، بما أننا نريد الإجابة في النهاية بوحدة النيوتن في المتر، هيا نحول هذه المسافة الناتجة بالسنتيمتر إلى مسافة بالمتر. بتذكر أن ١٠٠ سنتيمتر يساوي مترًا واحدًا، يمكننا القول إن ٢٤٫٥ سنتيمترًا يساوي ٠٫٢٤٥ متر.

إذن، العزم الذي سنحسبه يساوي القوة ﻕ مضروبة في هذه المسافة بالمتر. والآن، بعد أن أخذنا في الاعتبار الاتجاهين الموجب والسالب للإزاحة، دعونا نفعل الشيء نفسه مع القوة. يمكننا ملاحظة أن القوة تتجه لأسفل. وبذلك تكون قيمتها سالبة؛ ما يعني أن القوة ﻕ تساوي سالب ١١ نيوتن. وتوجد طريقة أخرى للتفكير في هذا، وهي مراعاة اتجاه العزم الذي تنتجه هذه القوة حول النقطة ﻭ. بناء على موضع هذه القوة واتجاهها بالنسبة إلى النقطة ﻭ، يمكننا معرفة أنها ستنتج عزمًا في اتجاه دوران عقارب الساعة. وكما هو متعارف عليه، تكون العزوم في هذا الاتجاه سالبة. وهذا يعني أن الناتج الذي سنحصل عليه للعزم ﺝ يجب أن يكون قيمة سالبة. وهذا يؤكد اختيارنا أن تكون القوى في هذا الاتجاه لأسفل سالبة.

كل هذا لنوضح أن القوة ﻕ تساوي سالب ١١ نيوتن؛ ما يعني أن العزم الذي تنتجه حول النقطة ﻭ يساوي سالب ٢٫٦٩٥ نيوتن متر. وهذا هو عزم هذه القوة حول النقطة ﻭ.

لننظر الآن إلى مثال علينا فيه جمع العزوم الناتجة عن قوى متعددة.

إذا كان القضيب ﺃﺏ طوله ١١٤ سنتيمترًا ووزنه ضئيلًا لا يكاد يذكر. تؤثر قوى مقاديرها ٨٣ نيوتن و٢٢٥ نيوتن و١٦٣ نيوتن و١٣٦ نيوتن على القضيب كما هو موضح في الشكل التالي. ‏‏ﺟ وﺩ نقطتا تثليث للقضيب ﺃﺏ، والنقطة ﻭ تمثل نقطة منتصف القضيب. أوجد المجموع الجبري لعزوم هذه القوى حول النقطة ﻭ.

حسنًا، بالنظر إلى الشكل، نرى أن هذا القضيب ﺃﺏ يتضمن النقطة ﺃ في الطرف الأيمن والنقطة ﺏ في الطرف الأيسر. نرى أيضًا أربع قوى تؤثر إما رأسيًا لأعلى أو رأسيًا لأسفل على هذا القضيب، بالإضافة إلى نقطتي تثليث القضيب ﺩ وﺟ اللتين تقسمان القضيب إلى ثلاثة أجزاء متساوية الطول، ونقطة المنتصف في القضيب ﻭ.

بالتركيز على نقطة المنتصف هذه، نريد حساب العزم الكلي حول النقطة ﻭ الناتج عن هذه القوى الأربع. وإذ نبدأ في فعل ذلك، دعونا نتذكر حقيقة أن طول القضيب، أي طول القطعة المستقيمة ﺃﺏ، يساوي ١١٤ سنتيمترًا. وسنفترض أيضًا أننا نريد حساب العزم حول النقطة ﻭ. سنسمي هذا ﺝﻭ.

يمكننا الآن حذف نص المسألة. ونتذكر هنا حقيقة أنه عندما يتعلق الأمر بعزوم القوة، فإن العزم ﺝ الذي تنتجه قوة ما حول نقطة معينة يساوي مركبة هذه القوة، التي تكون عمودية على الخط الواصل بين موضع القوة المؤثرة والنقطة محل الاهتمام، مضروبة في المسافة من النقطة محل الاهتمام إلى القوة المؤثرة. إذن، لحساب ﺝﻭ، أي العزم المحصل حول النقطة ﻭ الناتج عن هذه القوى الأربع، سنجمع العزم الذي تنتجه كل قوة على حدة لنحصل على ذلك العزم الكلي.

لاحظ أن لدينا قاعدة إشارات للعزوم الناتجة عن هذه القوى. فإذا تسببت أي قوة في الدوران عكس اتجاه دوران عقارب الساعة حول النقطة ﻭ، يكون ذلك العزم موجبًا. لنفكر، على سبيل المثال، في القوة المؤثرة عند النقطة ﺃ. ستنتج هذه القوة عزمًا يساوي ٨٣ نيوتن مضروبًا في هذه المسافة ﺃﻭ. ونلاحظ أنه نظرًا لأنها تحدث دورانًا في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة حول النقطة ﻭ، فإن هذا العزم وحده سيكون موجبًا.

لمتابعة العزوم التي تنتجها هذه القوى الأربعة، دعونا نوجد قيمة كل منها على حدة. العزم الناتج عن هذه القوة، الذي سنطلق عليه ﺝ٨٣، يساوي القوة البالغ مقدارها ٨٣ نيوتن في طول هذه القطعة المستقيمة ﺃﻭ. نعلم أن النقطة ﻭ هي نقطة المنتصف للقطعة المستقيمة ﺃﺏ التي يبلغ طولها ١١٤ سنتيمترًا. ‏‏١١٤ مقسومًا على اثنين يساوي ٥٧؛ ومن ثم هذه هي قيمة ﺝ٨٣، وهو العزم الناتج عن القوة التي مقدارها ٨٣ نيوتن حول النقطة ﻭ.

بعد ذلك، سنفكر في ﺝ٢٢٥، وهو العزم الناتج عن القوة التي مقدارها ٢٢٥ نيوتن. يساوي هذا تلك القوة في مسافة القطعة المستقيمة ﺟﻭ. إذا تذكرنا أن النقطة ﺟ تقع عند إحدى نقطتي تثليث القطعة المستقيمة ﺃﺏ، فإن ذلك يشير إلى أن هذه المسافة الموجودة هنا تساوي ١١٤ سنتيمترًا مقسومًا على ثلاثة. وهو ما يساوي ٣٨ سنتيمترًا. وإذا طرحنا هذه المسافة من المسافة الممتدة من النقطة ﺃ إلى النقطة ﻭ، أي نصف طول القضيب، فسنجد أن القطعة المستقيمة ﺟﻭ تساوي نصف طول القضيب، وهو ٥٧ سنتيمترًا، ناقص ٣٨ سنتيمترًا. وهذا يساوي ١٩ سنتيمترًا.

نحن على وشك الانتهاء من حساب هذا العزم. لكن لاحظ أن هذه القوة التي مقدارها ٢٢٥ نيوتن تنتج دورانًا في اتجاه دوران عقارب الساعة حول النقطة ﻭ. وبالتالي، سنضيف إشارة سالبة إلى العزم. إذن، على الرغم من أن القوة التي مقدارها ٨٣ نيوتن قد أنتجت عزمًا موجبًا، فإن القوة التي مقدارها ٢٢٥ نيوتن تنتج عزمًا سالبًا حول النقطة ﻭ.

بالانتقال إلى القوة التالية، وهي ١٦٣ نيوتن، نجد أن هذه القوة تنتج عزمًا يساوي مقدار هذه القوة في طول القطعة المستقيمة ﻭﺩ. ويمكننا ملاحظة أن طول هذه القطعة المستقيمة يساوي طول ﺟﻭ. ذلك لأن النقطة ﺩ، بالضبط مثل النقطة ﺟ، هي نقطة تثليث للقطعة المستقيمة ﺃﺏ. إذن، القطعة المستقيمة ﻭﺩ تساوي ١٩ سنتيمترًا أيضًا. ونلاحظ أن هذه القوة تنتج عزمًا في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة حول النقطة ﻭ؛ ومن ثم يكون موجبًا. وأخيرًا، نفكر في العزم الذي تنتجه القوة البالغ مقدارها ١٣٦ نيوتن. يساوي هذا ١٣٦ نيوتن مضروبًا في طول القطعة المستقيمة ﻭﺏ. ويمكننا تذكر أن هذه المسافة تساوي طول ﺃﻭ، وهو ٥٧ سنتيمترًا. وأخيرًا، نفكر في اتجاه الدوران الذي تنتجه هذه القوة حول النقطة ﻭ. نلاحظ أن العزم سيدور في اتجاه دوران عقارب الساعة؛ ومن ثم يكون سالبًا وفق قاعدة الإشارات.

حسنًا، الآن وقد حسبنا كل عزم على حدة، دعونا نجمعها لإيجاد العزم المحصل حول النقطة ﻭ. ‏‏ﺝﻭ يساوي ﺝ٨٣ زائد ﺝ٢٢٥ زائد ﺝ١٦٣ زائد ﺝ١٣٦. وإذا ضربنا كل هذه الحدود ثم جمعناها على الآلة الحاسبة، فسيكون الناتج سالب ٤١٩٩ نيوتن سنتيمتر. هذا هو العزم الكلي أو العزم المحصل حول النقطة ﻭ.

دعونا نختم الفيديو الآن بتلخيص بعض النقاط الأساسية التي تناولناها في هذا الدرس. في هذا الفيديو، عرفنا أن عزم القوة يقيس مدى قدرة القوة على إحداث دوران للجسم حول نقطة محددة. وعرفنا أيضًا أنه إذا مر خط عمل القوة بنقطة ما، فإن القوة لا تنتج أي عزم حول تلك النقطة. وأخيرًا، في حالة القوة التي تنتج عزمًا حول نقطة ما، ذكرنا أننا نرمز لهذا العزم بـ ﺝ، وأنه يساوي مركبة هذه القوة، التي تكون عمودية على الخط الفاصل بين موضع تأثير القوة والنقطة محل الاهتمام، مضروبة في المسافة بين هذين الموقعين.