فيديو السؤال: استخدام متطابقة مجموع ظل زاويتين أو الفرق بينهما لحل المعادلات المثلثية الرياضيات

أوجد مجموعة حل ‪ﺱ‬‏، علمًا بأن (ظا(ﺱ) − ظا(٦٤°))‏/‏(١ + ظا(ﺱ) ظا(٦٤°)) = ١‬‏؛ حيث ‪٠° ≤ ﺱ ≤ ٣٦٠°‬‏.

٠٧:١٩

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد مجموعة حل ﺱ، علمًا بأن ظا ﺱ ناقص ظا ٦٤ [درجة] على واحد زائد ظا ﺱ في ظا ٦٤ [درجة] يساوي واحدًا؛ حيث تقع ﺱ بين صفر درجة و٣٦٠ درجة.

لنتذكر أولا صيغة ظل الفرق بين زاويتين ظا ﺃ ناقص ﺏ. والصيغة هي ظا ﺃ ناقص ﺏ يساوي ظا ﺃ ناقص ظا ﺏ على واحد زائد ظا ﺃ في ظا ﺏ. وإذا قارنا الطرف الأيسر من هذه الصيغة بالطرف الأيمن من المعادلة الموجودة في رأس المسألة، نلاحظ أنهما متماثلان تمامًا. والآن، يمكننا مقارنة هذين الاثنين. وإذا قلنا إن ﺃ يساوي ﺱ وﺏ يساوي ٦٤، فسنلاحظ أنهما متماثلتان تمامًا.

إذن فلنعوض بـ ﺃ يساوي ﺱ وﺏ يساوي ٦٤ في هذه المعادلة. فنحصل بذلك على ظا ﺱ ناقص ٦٤ يساوي ظا ﺱ ناقص ظا ٦٤ على واحد زائد ظا ﺱ في ظا ٦٤. وبذلك، يكون الطرف الأيسر لهذه المعادلة متطابقًا مع الطرف الأيمن للمعادلة الموجودة في رأس المسألة. وهذا يعني أن هذا أيضًا يساوي واحدًا. وبناء على هذا، نحصل على المعادلة ظا ﺱ ناقص ٦٤ يساوي واحدًا.

الآن، حتى نتمكن من حل هذه المعادلة، علينا إيجاد قيم ﺱ، التي تقع بين صفر درجة و٣٦٠ درجة. ولكن لدينا في المعادلة ظا ﺱ ناقص ٦٤. إذن لإيجاد نطاق قيم ﺱ ناقص ٦٤، يمكننا طرح ٦٤ من كل طرف من طرفي هذه المتباينة. وبذلك، نجد أن ﺱ ناقص ٦٤ يقع بين سالب ٦٤ درجة و٢٩٦ درجة.

ويمكننا الآن كتابة هذا على نحو أكثر تنظيمًا بأن نقول إن 𝜃 تساوي ﺱ ناقص ٦٤. ومن ثم، فإن نطاق قيم 𝜃 يقع ما بين سالب ٦٤ درجة و٢٩٦ درجة. ويمكننا كذلك التعويض بـ 𝜃 في معادلتنا مع ظا. وهكذا يصبح ظا 𝜃 تساوي واحدًا هي المعادلة التي نحاول حلها. إذن نحتاج إلى أن يكون 𝜃 في نطاق بين سالب ٦٤ درجة و٢٩٦ درجة. وبإعادة صياغة هذه المعادلة، نجد أن 𝜃 تساوي الدالة العكسية لـ ظا واحد، وهذا يساوي ٤٥ درجة.

والآن يمكننا التأكد من ذلك باستخدام مثلث قائم الزاوية. فنحن بحاجة إلى مثلث قائم به زاوية ٤٥ درجة. ومن ثم نحصل على مثلث يبلغ طول ضلعين فيه واحدًا ويبلغ طول الوتر الجذر التربيعي لاثنين.

والآن يمكننا استخدام النسب المثلثية للمثلث القائم الزاوية. وبما أننا نحاول إيجاد ظا لإحدى الزوايا، فسنستخدم المقابل والمجاور. وتشير هذه النسبة إلى أن ظا 𝜃 تساوي طول الضلع المقابل لهذه الزاوية على طول الضلع المجاور لها. والزاوية التي تعنينا، والتي نرمز لها بالرمز 𝜃، تساوي ٤٥ درجة. والآن يمكننا كتابة الرموز على الضلع المقابل للزاوية والضلع المجاور لها والوتر في المثلث. ومن هذا، يمكننا ملاحظة أن ظا ٤٥ درجة يساوي واحد على واحد. وعليه، فإن هذا يساوي واحدًا بالتأكيد. وهو ما يتوافق مع الموجود لدينا من معطيات. إذن، فإن الإجابة 𝜃 تساوي ٤٥ درجة إجابة صحيحة.

ولعلنا نذكر الآن أن 𝜃 تقع في نطاق بين سالب ٦٤ درجة و٢٩٦ درجة. لذلك علينا إيجاد كل الحلول المتضمنة في هذا النطاق. وللقيام بذلك، يمكننا تمثيل ظا بيانيًّا. وهذا هو تمثيل ظا البياني. والآن يمكننا كتابة قيمة ظا 𝜃، والتي تساوي واحدًا أيضًا. وستعطينا أي نقطة يتطابق فيها هذا الشكل مع خط ظا 𝜃 حلًّا لقيمة 𝜃.

والنقطة الأولى التي يتقاطع فيها الشكل مع خط ظا 𝜃 هي الزاوية ٤٥ درجة التي أوجدناها. والآن يمكننا رؤية النقطة الثانية، حيث يحدث التقاطع بين ١٨٠ درجة و٢٧٠ درجة. ولمعرفة هذه الزاوية، يمكننا الاستفادة من حقيقة أن التمثيل البياني يتكرر كل ١٨٠ درجة. ومن ثم، فهذا يعني أن المسافة من نقطة الأصل إلى ٤٥ درجة ستكون هي نفسها المسافة من ١٨٠ درجة إلى الزاوية التي نريد معرفتها.

ومن الواضح أن المسافة من نقطة الأصل إلى ٤٥ درجة هي ٤٥ بلا شك. وبالتالي، فإن المسافة من ١٨٠ إلى الزاوية التي نحاول معرفتها هي أيضًا ٤٥ درجة. إذن، فإن الزاوية التي نحاول معرفتها هي ١٨٠ زائد ٤٥، وهذا يساوي ٢٢٥ درجة. والآن أصبح لدينا حلان لقيمة 𝜃. وبما أن الخط المتقطع الأفقي عند الواحد لا يتقاطع مع التمثيل البياني في أي نقطة أخرى بين سالب ٦٤ درجة و٢٩٦ درجة، نكون بذلك قد توصلنا إلى كل الحلول المتضمنة في هذا النطاق.

يمكننا الآن استخدام الحلين ٤٥ درجة و٢٢٥ درجة لإيجاد مجموعة حل ﺱ. ما علينا فعله الآن هو التعويض بالقيمتين ٤٥ و٢٢٥ في المعادلة التي لدينا عن كل من 𝜃 وﺱ. وعليه، فإن 𝜃 تساوي ﺱ ناقص ٦٤.

فلنبدأ بالقيمة ٤٥ درجة. إذن، فإن لدينا ٤٥ يساوي ﺱ ناقص ٦٤. ثم نضف ٦٤ إلى كلا الطرفين لنجعل ﺱ في طرف بمفردها ونوجد قيمتها. فسيصبح لدينا ﺱ يساوي ١٠٩ درجات. والآن بالنسبة إلى القيمة ٢٢٥ درجة، لدينا ٢٢٥ يساوي ﺱ ناقص ٦٤. والآن، نضيف ٦٤ إلى كلا الطرفين. فنحصل بذلك على الحل، وهو ٢٨٩ درجة. ومن ثم، فإن هذين هما الحلان لهذه المسألة. وبذلك نكون قد توصلنا إلى مجموعة الحل ١٠٩ درجات و٢٨٩ درجة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.