فيديو السؤال: إيجاد مربعات الأعداد المركبة في الصورة القطبية الرياضيات

إذا كان ﻉ = ٣(جتا ٤٥°+ ﺕ جا ٤٥°)، فما قيمة ﻉ^٢؟

٠٤:٥٩

‏نسخة الفيديو النصية

إذا كان ﻉ يساوي ثلاثة في جتا ٤٥ درجة زائد ﺕ جا ٤٥ درجة، فما قيمة ﻉ تربيع؟

لدينا هنا عدد مركب ﻉ على الصورة القطبية. الصورة القطبية للعدد المركب هي الصورة ﻝ في جتا 𝜃 زائد ﺕ جا 𝜃، حيث ﻝ هو مقدار العدد المركب أو مقياسه و𝜃 هي سعته. والمطلوب هنا إيجاد قيمة ﻉ تربيع التي هي حاصل ضرب ﻉ في نفسه. لذا علينا تذكر كيفية ضرب عددين مركبين معطيين على الصورة القطبية.

نتذكر أنه إذا كان لدينا عدد مركب ﻉ واحد يساوي ﻝ واحد في جتا 𝜃 واحد زائد ﺕ جا 𝜃 واحد، والعدد المركب الثاني ﻉ اثنين يساوي ﻝ اثنين في جتا 𝜃 اثنين زائد ﺕ جا 𝜃 اثنين، فإن حاصل ضرب هذين العددين المركبين يساوي ﻝ واحد في ﻝ اثنين الكل مضروبًا في جتا 𝜃 واحد زائد 𝜃 اثنين زائد ﺕ جا 𝜃 واحد زائد 𝜃 اثنين.

قد يبدو هذا معقدًا بعض الشيء. لكنه في الواقع يعني أنه علينا ضرب مقياسي العددين المركبين في أحدهما الآخر للحصول على مقياس حاصل الضرب؛ أي ﻝ واحد ﻝ اثنين. وبعد ذلك، علينا جمع سعتي العددين المركبين معًا 𝜃 واحد زائد 𝜃 اثنين للحصول على سعة حاصل الضرب. سنفهم السبب وراء ذلك بعد لحظات.

في العدد المركب الذي لدينا، نعلم أن قيمة ﻝ في كل من ﻉ واحد وﻉ اثنين تساوي ثلاثة لأنهما متساويتان، وقيمة 𝜃 واحد و𝜃 اثنين تساوي ٤٥ درجة. بتطبيق هذا الناتج العام، سنحصل على ﻉ تربيع يساوي ثلاثة في ثلاثة مضروبًا في جتا ٤٥ درجة زائد ٤٥ درجة زائد ﺕ جا ٤٥ درجة زائد ٤٥ درجة. ثلاثة مضروبًا في ثلاثة يساوي تسعة، و٤٥ درجة زائد ٤٥ درجة يساوي ٩٠ درجة.

ومن ثم يبسط حاصل الضرب إلى تسعة في جتا ٩٠ درجة زائد ﺕ جا ٩٠ درجة. يمكننا التبسيط أكثر من ذلك؛ لأن جتا ٩٠ درجة يساوي صفرًا وجا ٩٠ درجة يساوي واحدًا. لكننا سنترك العدد المركب ﻉ تربيع على صورته القطبية. والآن كي نفهم سبب صحة هذا الناتج، علينا التحقق من العددين المركبين ﻉ واحد وﻉ اثنين في صورة مختلفة. علينا التحقق منهما في الصورة الأسية.

إذن، ﻉ واحد يساوي ﻝ واحد ﻫ أس ﺕ𝜃 واحد، وﻉ اثنين يساوي ﻝ اثنين ﻫ أس ﺕ𝜃 اثنين. عند ضرب هذين العددين المركبين في أحدهما الآخر بالصورة الأسية، نحصل على ﻝ واحد ﻫ أس ﺕ𝜃 واحد في ﻝ اثنين ﻫ أس ﺕ𝜃 اثنين. يمكننا إعادة ترتيب الجزأين المختلفين في حاصل الضرب هذا ليصبح ﻝ واحد وﻝ اثنان بجانب أحدهما الآخر في المقدمة. بهذا نحصل على ﻝ واحد ﻝ اثنين في ﻫ أس ﺕ𝜃 واحد، وﻫ أس ﺕ𝜃 اثنين.

لكن أحد قوانين الأسس تنص على أنه عند ضرب أسين لهما نفس الأساس، وهو ﻫ في هذه الحالة، نجمع هذين الأسين معًا. إذن، ﻫ أس ﺕ𝜃 واحد في ﻫ أس ﺕ𝜃 اثنين يساوي ﻫ أس ﺕ𝜃 واحد زائد ﺕ𝜃 اثنين. يمكننا استخراج ﺕ كعامل مشترك من هذا الأس وكتابة الأس على الصورة ﺕ في 𝜃 واحد زائد 𝜃 اثنين. نلاحظ إذن أن حاصل ضرب ﻉ واحد في ﻉ اثنين عبارة عن عدد مركب له مقياس ﻝ واحد ﻝ اثنين. وهذا هو حاصل ضرب مقياس كل عدد مركب على حدة، وسعته 𝜃 واحد زائد 𝜃 اثنين. وهذا هو مجموع سعة كل عدد مركب على حدة.

إذا أردنا تحويل هذا العدد من الصورة الأسية إلى الصورة القطبية، فسنحصل على ﻉ واحد ﻉ اثنين يساوي ﻝ واحد ﻝ اثنين مضروبًا في جتا 𝜃 واحد زائد 𝜃 اثنين زائد ﺕ جا 𝜃 واحد زائد 𝜃 اثنين، وهذا هو الناتج العام الذي كتبناه في بداية السؤال.

إذن باستخدام هذا الناتج، وجدنا أن ﻉ تربيع يساوي تسعة في جتا ٩٠ درجة زائد ﺕ جا ٩٠ درجة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.