فيديو: إيجاد المشتقة الأولى لدالة معرفة بالمعادلات البارامترية

إذا كانت 𝑥 = 4𝑡² + 1، 𝑦 = 4𝑡² + 5𝑡، فأوجد d𝑦/d𝑥.

٠٢:٣٥

‏نسخة الفيديو النصية

إذا كانت 𝑥 يساوي أربعة 𝑡 تربيع زائد واحد، و𝑦 يساوي أربعة 𝑡 تربيع زائد خمسة 𝑡، فأوجد d𝑦 على d𝑥.

ما أمامنا هنا هو زوج من المعادلات البارامترية. ولكي نجري عملية الاشتقاق لهما لإيجاد d𝑦 على d𝑥، فما يمكننا فعله هو استخدام قاعدة السلسلة، التي تسمح لنا باشتقاق كل منهما على حدة. ثم استخدامهما معًا. ولاستخدام قاعدة السلسلة في هذه المسألة، يمكننا القول إن d𝑦 على d𝑥 يساوي d𝑦 على d𝑡 في d𝑡 على d𝑥. وكما قلنا، ما تفعله القاعدة هو أنها تسمح لنا باشتقاق كل من المعادلتين البارامتريتين على نحو منفصل. ثم استخدامهما معًا لإيجاد d𝑦 على d𝑥.

ما سأفعله هنا أنني سأبدأ باشتقاق كل من المعادلتين. وسأبدأ بالمعادلة 𝑦 يساوي أربعة 𝑡 تربيع زائد خمسة 𝑡. وسأجري عملية الاشتقاق لإيجاد d𝑦 على d𝑡، وهو ما يعطينا ثمانية 𝑡 زائد خمسة. وللتذكير سريعًا بطريقة فعل ذلك، ننظر إلى الحد الأول. ما قمنا به هنا هو ضرب المعامل في الأس، أي، أربعة في اثنين، وهو ما يعطينا ثمانية 𝑡. ثم طرحنا واحدًا من الأس؛ إذن، اثنان ناقص واحد. يعطينا ذلك 𝑡 أس واحد، أو 𝑡. حسنًا، هذا رائع. فقد استطعنا اشتقاق المعادلة 𝑦 يساوي أربعة 𝑡 تربيع زائد خمسة 𝑡. والآن، فلننظر إلى المعادلة الأخرى.

المعادلة الأخرى هي 𝑥 يساوي أربعة 𝑡 تربيع زائد واحد. إذا اشتققنا هذه المعادلة، فسنحصل على d𝑥 على d𝑡. وسيساوي ذلك ثمانية 𝑡. وليس لدينا أي شيء آخر نضيفه. لأننا إذا اشتققنا العدد واحدًا، فسنحصل على صفر.

حسنًا، فقد حصلنا الآن على d𝑦 على d𝑡 وd𝑥 على d𝑡. لكن إذا نظرنا إلى قاعدة السلسلة، فسنجدها تقول إن d𝑦 على d𝑥 يساوي d𝑦 على d𝑡 مضروبًا في d𝑡 على d𝑥. ويمكننا أن نقول: «حسنًا، سيكون هذا هو معكوس ما أوجدناه، وهو d𝑥 على d𝑡». لذا، إذا أردنا إيجاد d𝑡 على d𝑥، فعلينا أن نوجد مقلوب d𝑥 على d𝑡. وهكذا يتضح أن d𝑡 على d𝑥 يساوي واحدًا على ثمانية 𝑡. حسنًا، رائع. لدينا كل ما نحتاجه.

وما يمكننا فعله الآن هو أن نوجد d𝑦 على d𝑥 عن طريق تطبيق قاعدة السلسلة. لذا، d𝑦 على d𝑥 يساوي ثمانية 𝑡 زائد خمسة في واحد على ثمانية 𝑡. وذلك لأنه d𝑦 على d𝑡 مضروبًا في d𝑡 على d𝑥. بالتالي، يمكننا القول في النهاية إنه إذا كان 𝑥 يساوي أربعة 𝑡 تربيع زائد واحد، و𝑦 يساوي أربعة 𝑡 تربيع زائد خمسة 𝑡، فإن d𝑦 على d𝑥 يساوي ثمانية 𝑡 زائد خمسة على ثمانية 𝑡.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.