فيديو: إيجاد المشتقة الأولى لدالة معرفة بالمعادلات البارامترية

إذا كانت ‪𝑥 = 4𝑡² + 1‬‏، ‪𝑦 = 4𝑡² + 5𝑡‬‏، فأوجد ‪d𝑦/d𝑥‬‏.

٠٢:٣٥

‏نسخة الفيديو النصية

إذا كانت 𝑥 يساوي أربعة 𝑡 تربيع زائد واحد، و𝑦 يساوي أربعة 𝑡 تربيع زائد خمسة 𝑡، فأوجد d𝑦 d𝑥.

ما أمامنا هنا هو زوج من المعادلات البارامترية. ولكي نجري عملية الاشتقاق لهما لإيجاد d𝑦 d𝑥، فما يمكننا فعله هو استخدام قاعدة السلسلة، التي تسمح لنا باشتقاق كل منهما على حدة. ثم الجمع بينهما. ولاستخدام قاعدة السلسلة في هذه المسألة، يمكننا القول إن d𝑦 d𝑥 يساوي d𝑦 d𝑡 في d𝑡 d𝑥. وكما قلنا، ما تفعله القاعدة هو أنها تسمح لنا باشتقاق كل من المعادلتين البارامتريتين على نحو منفصل. ثم الجمع بينهما لإيجاد d𝑦 d𝑥.

ما سأفعله هنا أنني سأبدأ باشتقاق كل من المعادلتين. وسأبدأ بالمعادلة 𝑦 يساوي أربعة 𝑡 تربيع زائد خمسة 𝑡. وسأجري عملية الاشتقاق لإيجاد d𝑦 d𝑡، وهو ما يعطينا ثمانية 𝑡 زائد خمسة. وللتذكير سريعًا بطريقة فعل ذلك، ننظر إلى الحد الأول. ما قمنا به هنا هو ضرب المعامل في الأس، أي، أربعة في اثنين، وهو ما يعطينا ثمانية 𝑡. ثم طرحنا واحدًا من الأس؛ إذن، اثنان ناقص واحد. يعطينا ذلك 𝑡 أس واحد، أو 𝑡. حسنًا، هذا رائع. فقد استطعنا اشتقاق المعادلة 𝑦 يساوي أربعة 𝑡 تربيع زائد خمسة 𝑡. والآن، فلننظر إلى المعادلة الأخرى.

المعادلة الأخرى هي 𝑥 يساوي أربعة 𝑡 تربيع زائد واحد. إذا اشتققنا هذه المعادلة، فسنحصل على d𝑥 d𝑡. وسيساوي ذلك ثمانية 𝑡. وليس لدينا أي شيء آخر نضيفه. لأننا إذا اشتققنا العدد واحدًا، فسنحصل على صفر.

حسنًا، فقد حصلنا الآن على d𝑦 d𝑡 وd𝑥 d𝑡. لكن إذا نظرنا إلى قاعدة السلسلة، فسنجدها تقول إن d𝑦 d𝑥 يساوي d𝑦 d𝑡 مضروبًا في d𝑡 d𝑥. ويمكننا أن نقول: «حسنًا، سيكون هذا هو معكوس ما أوجدناه، وهو d𝑥 d𝑡». لذا، إذا أردنا إيجاد d𝑡 d𝑥، فعلينا أن نوجد معكوس d𝑥 d𝑡. وهكذا يتضح أن d𝑡 d𝑥 يساوي واحدًا على ثمانية 𝑡. حسنًا، رائع. لدينا كل ما نحتاجه.

وما يمكننا فعله الآن هو أن نوجد d𝑦 d𝑥 عن طريق تطبيق قاعدة السلسلة. لذا، d𝑦 d𝑥 يساوي ثمانية 𝑡 زائد خمسة في واحد على ثمانية 𝑡. وذلك لأنه d𝑦 d𝑡 مضروبًا في d𝑡 d𝑥. بالتالي، يمكننا القول في النهاية إنه إذا كان 𝑥 يساوي أربعة 𝑡 تربيع زائد واحد، و𝑦 يساوي أربعة 𝑡 تربيع زائد خمسة 𝑡، فإن d𝑦 d𝑥 يساوي ثمانية 𝑡 زائد خمسة على ثمانية 𝑡.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.