نسخة الفيديو النصية
هل المعادلة اثنان ﺱ تربيع زائد اثنين ﺹ تربيع زائد اثنين ﻉ تربيع زائد أربعة ﺱ زائد أربعة ﺹ زائد أربعة ﻉ ناقص ٤٤ يساوي صفرًا تصف كرة أم لا؟ وإذا كانت كذلك، فأوجد نصف قطرها ومركزها.
في هذا السؤال، لدينا معادلة، ومطلوب منا تحديد إذا ما كانت تصف كرة أم لا. ونعرف أن الكرة هي شكل في ثلاثة أبعاد يمثل جميع النقاط التي تبعد عن مركزها مسافة محددة. نسمي هذه المسافة نصف قطر الكرة. إذا كانت هذه المعادلة تمثل بالفعل كرة، فعلينا تحديد نصف القطر والمركز من هذه المعادلة.
لمساعدتنا في الإجابة عن هذا السؤال، دعونا نتذكر كيف يمكننا تمثيل كرة باستخدام معادلتها. نعلم أن الكرة التي مركزها النقطة ﺃ، ﺏ، ﺟ، ونصف قطرها نق، والذي لا بد أن يكون قيمة موجبة، معادلتها هي ﺱ ناقص ﺃ الكل تربيع زائد ﺹ ناقص ﺏ الكل تربيع زائد ﻉ ناقص ﺟ الكل تربيع يساوي نق تربيع. ويعرف هذا بالصورة القياسية لمعادلة الكرة. يمكن تمثيل جميع الكرات باستخدام الصورة القياسية. ويمكننا إيجاد كل من مركز الكرة ونصف قطرها من معادلتها المعطاة في الصورة القياسية.
وبما أنه يمكن تمثيل جميع الكرات باستخدام الصورة القياسية، فللإجابة عن هذا السؤال، علينا أن نحدد إذا ما كان يمكننا إعادة كتابة المعادلة المعطاة لنا في السؤال على هذه الصورة القياسية. لمحاولة إعادة كتابة هذه المعادلة على الصورة القياسية، نلاحظ في الصورة القياسية لمعادلة الكرة، أن لدينا ثلاثة مقادير ذات حدين تتضمن المتغيرات ﺱ وﺹ وﻉ على الترتيب. هذا يعني أنه علينا إعادة كتابة هذه المعادلة بدلالة المقادير الثلاثة ذوات الحدين.
ولكن، هذا يضعنا على الفور أمام مشكلة. إذا حاولنا فك الحد ﺱ ناقص ﺃ الكل تربيع باستخدام طريقة ضرب حدي القوس الأول في حدي القوس الثاني، أو مفكوك المقادير ذوات الحدين، فسنحصل على ﺱ تربيع ناقص اثنين ﺃﺱ زائد ﺃ تربيع. يمكننا أن نرى أن معامل ﺱ تربيع يساوي واحدًا. ولكن، في المعادلة المعطاة في السؤال، نجد أن معامل ﺱ تربيع يساوي اثنين. نستنتج من ذلك أنه في الصورة القياسية لمعادلة الكرة، تكون معاملات ﺱ تربيع وﺹ تربيع وﻉ تربيع مساوية لواحد. إذن، سنعيد كتابة المعادلة المعطاة بحيث تكون معاملات هذه الحدود الثلاثة مساوية لواحد. سنفعل ذلك بقسمة الطرفين على اثنين.
وضرب طرفي هذه المعادلة في نصف، يعني أن علينا ضرب كل حد في نصف. وهذا يماثل قسمة كل حد على اثنين. وبذلك نحصل على المعادلة ﺱ تربيع زائد ﺹ تربيع زائد ﻉ تربيع زائد اثنين ﺱ زائد اثنين ﺹ زائد اثنين ﻉ ناقص ٢٢ يساوي صفرًا. نريد الآن كتابة هذه المعادلة على الصورة القياسية لمعادلة الكرة.
في الصورة القياسية لمعادلة الكرة، توجد جميع الحدود التي تتضمن المتغير ﺱ داخل مربع المقدار ذي الحدين، أي ﺱ ناقص ﺃ الكل تربيع. ومن ثم، في هذه المعادلة، سنحتاج إلى تجميع الحدين ﺱ تربيع واثنين ﺱ بحيث يكونا على الصورة نفسها في المعادلة القياسية. تتمثل إحدى طرق إجراء ذلك في إكمال المربع للحدين ﺱ تربيع واثنين ﺱ. تذكر أنه لإكمال المربع عندما يساوي معامل ﺱ تربيع واحدًا، نبدأ بقسمة معامل ﺱ على اثنين، وهو اثنان في هذه الحالة، لنحصل على واحد.
إذا أردنا إذن تربيع ﺱ زائد واحد، يمكننا توزيع الأس باستخدام طريقة ضرب حدي القوس الأول في حدي القوس الثاني أو مفكوك ذات الحدين، وسنحصل على ﺱ تربيع زائد اثنين ﺱ زائد واحد. وهذا بالضبط ما بدأنا به نفسه، ﺱ تربيع زائد اثنين ﺱ. لكننا، أضفنا ثابتًا إضافيًّا يساوي واحدًا. لذا، إذا طرحنا واحدًا من ﺱ زائد واحد الكل تربيع، فسنحصل على ﺱ تربيع زائد اثنين ﺱ. هذا يعني أننا أوضحنا باستخدام طريقة إكمال المربع أن ﺱ تربيع زائد اثنين ﺱ يساوي ﺱ زائد واحد الكل تربيع ناقص واحد.
يمكننا استخدام ذلك لإعادة كتابة الحدين ﺱ تربيع زائد اثنين ﺱ في المعادلة. يمكننا التعويض عن ﺱ تربيع زائد اثنين ﺱ بـ ﺱ زائد واحد الكل تربيع ناقص واحد. لكتابة هذه المعادلة على الصورة القياسية لمعادلة الكرة، علينا أن نفعل الشيء نفسه مع الحدود التي تتضمن المتغيرين ﺹ وﻉ. لنفعل الأمر نفسه مع ﺹ تربيع زائد اثنين ﺹ.
عادة، علينا إكمال المربع باستخدام هذين الحدين مرة أخرى. مع ذلك، نلاحظ أن هذا هو التعبير نفسه الذي تضمن حدي ﺱ تمامًا. لكننا الآن، نستخدم المتغير ﺹ. بعبارة أخرى، يمكننا ببساطة استبدال ﺱ في هذا التعبير بـ ﺹ لإكمال المربع باستخدام ﺹ. ﺹ تربيع زائد اثنين ﺹ يساوي ﺹ زائد واحد الكل تربيع ناقص واحد. يمكننا إذن استخدام ذلك لإعادة كتابة الحدين ﺹ تربيع زائد اثنين ﺹ في المعادلة. نعوض عن ﺹ تربيع زائد اثنين ﺹ بـ ﺹ زائد واحد الكل تربيع ناقص واحد.
وأخيرًا، علينا أن نفعل الشيء نفسه مع الحدود التي تتضمن المتغير ﻉ. ويمكننا ملاحظة أن هذا يساوي ﻉ تربيع زائد اثنين ﻉ. مرة أخرى، لكتابة ذلك على الصورة القياسية لمعادلة الكرة، يمكننا استخدام طريقة إكمال المربع. ولكن، يمكننا أيضًا ملاحظة أن هذا التعبير مماثل للتعبيرين اللذين أوجدناهما بالفعل. كل ما علينا فعله هو استبدال ﺱ أو ﺹ بـ ﻉ. نعلم أن ﻉ تربيع زائد اثنين ﻉ يساوي ﻉ زائد واحد الكل تربيع ناقص واحد. ومن ثم، يمكننا التعويض عن ﻉ تربيع زائد اثنين ﻉ في المعادلة بـ ﻉ زائد واحد الكل تربيع ناقص واحد.
وأخيرًا، تخبرنا المعادلة المعطاة أنه إذا طرحنا ٢٢ من هذا، فلا بد أن يساوي صفرًا. وبهذا أصبحت المعادلة الآن تقريبًا على الصورة القياسية لمعادلة الكرة. كل ما علينا فعله هو كتابة الثابت في الطرف الأيسر من المعادلة. للقيام بذلك، نلاحظ أن سالب واحد ناقص واحد ناقص واحد ناقص ٢٢ يساوي سالب ٢٥. إذن نضيف ٢٥ إلى كلا طرفي المعادلة. بإجراء ذلك، نحصل على المعادلة ﺱ زائد واحد الكل تربيع زائد ﺹ زائد واحد الكل تربيع زائد ﻉ زائد واحد الكل تربيع يساوي ٢٥.
وأخيرًا، في الصورة القياسية لمعادلة الكرة، عادة ما نكتب الثابت على الصورة نق تربيع، حيث نق يساوي قيمة موجبة لأنه يمثل نصف قطر الكرة. يمكننا فعل ذلك في هذه الحالة بتذكر أن ٢٥ يساوي خمسة تربيع. ومن ثم، نكون قد أوضحنا أن المعادلة المعطاة في السؤال تكافئ المعادلة ﺱ زائد واحد الكل تربيع زائد ﺹ زائد واحد الكل تربيع زائد ﻉ زائد واحد الكل تربيع يساوي خمسة تربيع. وهي الآن على الصورة القياسية لمعادلة الكرة التي نصف قطرها خمسة.
لكن تذكر، مطلوب في السؤال أيضًا إيجاد مركز الكرة. نقوم بذلك عن طريق حل كل مقدار من المقادير ذات الحدين التي تساوي صفرًا. عند حل المقدار الأول ذي الحدين الذي يساوي صفرًا، نحصل على ﺱ زائد واحد يساوي صفرًا. نحن نعلم أن هذا يكون صحيحًا عندما يكون ﺱ يساوي سالب واحد. هذا يعني أن الإحداثي ﺱ لمركز الكرة يساوي سالب واحد. يمكننا فعل الأمر نفسه مع المقدارين ذوي الحدين الآخرين. نجد أن ﺹ يساوي سالب واحد وﻉ يساوي سالب واحد.
وبذلك، نكون قد أثبتنا أن مركز الكرة هو النقطة سالب واحد، سالب واحد، سالب واحد. ومن ثم، نكون قد أجبنا عن السؤال: هل المعادلة اثنان ﺱ تربيع زائد اثنين ﺹ تربيع زائد اثنين ﻉ تربيع زائد أربعة ﺱ زائد أربعة ﺹ زائد أربعة ﻉ ناقص ٤٤ يساوي صفرًا تصف كرة أم لا؟ فقد أوضحنا أن الإجابة هي نعم؛ هي تصف كرة بالفعل. ونصف قطرها يساوي خمسة، ومركزها يساوي سالب واحد، سالب واحد، سالب واحد.
