فيديو الدرس: دوال القيمة المطلقة الرياضيات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحسب قيم دوال القيمة المطلقة، ونمثلها بيانيًا، ونحدد مجالها ومداها.

١٥:٠٧

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحسب قيم دوال القيمة المطلقة، ونمثلها بيانيًا، ونحدد مجالها ومداها. سنبدأ بتذكر معنى دالة القيمة المطلقة. تحتوي دالة القيمة المطلقة على دالة جبرية تقع داخل رمز القيمة المطلقة. القيمة المطلقة لأي عدد هي المسافة التي يبعدها هذا العدد عن الصفر على خط الأعداد.

دعونا نتناول الدالة ﺩ ﺱ التي تساوي القيمة المطلقة، التي تعرف أحيانًا بالمقياس، لـ ﺱ. لتمثيل هذه الدالة بيانيًا، سنختار بعض القيم الصحيحة لـ ﺱ، ونوجد بعض الأزواج المرتبة. القيمة المطلقة لسالب اثنين تساوي اثنين لأن سالب اثنين يبعد عن الصفر بمقدار اثنين على خط الأعداد. القيمة المطلقة لسالب واحد تساوي واحدًا لأن سالب واحد يبعد عن الصفر بمقدار واحد على خط الأعداد. يقودنا ذلك إلى حقيقة أن القيمة المطلقة لأي عدد لا يمكن أن تكون سالبة. لا نهتم بالإشارة، وإنما فقط بالمسافة التي يبعدها العدد عن الصفر. القيمة المطلقة لصفر، وواحد، واثنين؛ هي: صفر، وواحد، واثنان، على الترتيب.

بعد ذلك، يمكننا تمثيل هذه الدالة بيانيًا على المستوى الإحداثي؛ حيث ﺹ يساوي ﺩ ﺱ. الإحداثي أو الزوج المرتب الأول هو: سالب اثنين، اثنان. ثم لدينا سالب واحد، واحد. النقاط الثلاث الأخرى هي: صفر، صفر؛ وواحد، واحد؛ واثنان، اثنان. بتوصيل هذه النقاط، نرسم تمثيلًا بيانيًا على شكل حرف V. ينطبق هذا على القيمة المطلقة لأي دالة خطية على الصورة: ﻡﺱ زائد ﺏ . دعونا الآن نستخلص بعض النقاط أو المعلومات الأساسية من هذا التمثيل البياني. إحداثيا رأس المنحنى هما: صفر، وصفر. وهذه هي نقطة القيمة الصغرى لدالة القيمة المطلقة لـ ﺱ. يمثل المحور ﺹ خط التماثل. هذا يعني أن معادلة خط التماثل هي: ﺱ يساوي صفرًا.

نعلم أن مجال أي دالة هو القيم التي يمكن إدخالها في هذه الدالة. وبما أنه يمكننا التعويض بأي قيمة لـ ﺱ في هذه الدالة، فإن مجالها هو مجموعة الأعداد الحقيقية كلها. يمكن كتابة ذلك أيضًا على صورة الفترة المفتوحة من سالب ∞ لـ ∞. المدى هو مخرجات الدالة. وهو يساوي جميع قيم ﺹ أو ﺩ ﺱ. تقع كل هذه القيم فوق المحور ﺱ أو أعلاه. ومن ثم، فإن ﺩ ﺱ أكبر من أو تساوي صفرًا. مرة أخرى، يمكن كتابة ذلك على صورة فترة، وهي الفترة المغلقة عند صفر والمفتوحة عند ∞. وأخيرًا، نرى أن الجزأين المقطوعين من المحور ﺹ والمحور ﺱ يساويان صفرًا.

سنتناول الآن سؤالين مطلوب منا فيهما إيجاد مجال دالة القيمة المطلقة ومداها من تمثيلها البياني.

أوجد مدى الدالة ﺩ ﺱ تساوي القيمة المطلقة لسالب اثنين ﺱ ناقص اثنين.

مدى الدالة ﺹ تساوي ﺩ ﺱ هو مجموعة قيم ﺹ المقابلة لجميع قيم ﺱ التي تقع داخل مجال ﺩ. وبالنسبة لأي تمثيل بياني على المستوى الإحداثي، المدى أو القيمة المخرجة هي كل مجموعة قيم ﺹ. وفيما يخص الدالة ﺩ ﺱ التي تساوي القيمة المطلقة لسالب اثنين ﺱ ناقص اثنين، جميع قيم ﺹ تقع فوق المحور ﺱ أو أعلاه. يمكننا إذن القول إن ﺹ أو ﺩ ﺱ لا بد أن تكون أكبر من أو تساوي صفرًا. يمكن كتابة ذلك باستخدام رمز الفترة المغلقة من اليمين عند صفر، والمفتوحة من اليسار عند ∞. لدينا فترة مغلقة عند صفر، ما يعني أن قيمة الدالة يمكن أن تساوي صفرًا. يشار إلى ذلك بدائرة مصمتة أو نقطة عند سالب واحد، صفر. وبما أن قيمة ﺩ ﺱ لا يمكن أن تصل أبدًا إلى ∞، فإننا نستخدم الفترة المفتوحة للحد العلوي.

أوجد مجال ومدى الدالة ﺩ ﺱ تساوي القيمة المطلقة لسالب ﺱ ناقص واحد زائد واحد.

مجال أي دالة هو مجموعة القيم المدخلة الممكنة كلها. وعند رسم التمثيل البياني على المستوى الإحداثي، يشار إلى المجال بجميع قيم ﺱ التي يمكن التعويض بها في الدالة. وبما أننا يمكننا التعويض بأي قيمة لـ ﺱ في هذه الدالة، فإن مجالها هو مجموعة القيم الحقيقية كلها. يمكن كتابة هذا أيضًا على صورة مجموعة القيم التي تقع في الفترة المفتوحة من سالب ∞ إلى ∞. مدى الدالة هو مجموعة القيم المخرجة الممكنة كلها. على المستوى الإحداثي، مدى الدالة هو جميع قيم ﺹ أو ﺩ ﺱ الممكنة. من التمثيل البياني، يمكننا رؤية أن الرأس أو نقطة القيمة الصغرى تقع عند سالب واحد، واحد. إذن، مدى الدالة ﺩ يقع في الفترة المغلقة من اليمين عند واحد والمفتوحة من اليسار عند ∞.

الدائرة المصمتة أو النقطة الموجودة عند سالب واحد، واحد تعني أننا سنستخدم الفترة المغلقة لأن المدى يشمل القيمة واحدًا. ومن ثم فإن الدالة ﺩ ﺱ، التي تساوي القيمة المطلقة لسالب ﺱ ناقص واحد زائد واحد، مجالها هو القيم الحقيقية كلها ومداها من واحد إلى ∞.

في السؤالين التاليين، سنحسب المجال والمدى دون تمثيل بياني.

إذا كان ﺃ ثابتًا، فما مجال الدالة ﺩ ﺱ تساوي القيمة المطلقة لـ ﺱ زائد ﺃ؟

دعونا نبدأ بتذكر شكل التمثيل البياني لدالة القيمة المطلقة لـ ﺱ. إنه تمثيل بياني على شكل حرف V له نقطة قيمة صغرى أو رأس عند صفر، صفر. لعلنا نتذكر أن المجال هو مجموعة القيم المدخلة أو قيم ﺱ. هذا يعني أن مجال ﺭ ﺱ، أي القيمة المطلقة لـ ﺱ، هو القيم الحقيقية كلها. وبالرغم من عدم ذكر ذلك في هذا السؤال، فإن المدى هو مجموعة قيم ﺹ أو القيم المخرجة. وبما أن قيم ﺹ لـ ﺭ ﺱ أكبر من أو تساوي صفرًا، فإن مدى ﺭ ﺱ ينتمي إلى الفترة المغلقة من اليمين عند صفر والمفتوحة من اليسار عند ∞.

لننظر الآن إلى الدالة ﺩ ﺱ التي تساوي القيمة المطلقة لـ ﺱ زائد ﺃ. الدالة ﺩ ﺱ هي انتقال أفقي لـ ﺭ ﺱ عدد ﺃ من الوحدات إلى اليسار. إذا كان ﺃ عددًا موجبًا، فسيتحرك أو ينتقل التمثيل البياني ﺃ من الوحدات إلى اليسار. أما إذا كان ﺃ عددًا سالبًا، فسيتحرك أو ينتقل التمثيل البياني إلى اليمين. وبما أن التمثيل البياني قد تحرك أفقيًا فقط، فإن المدى والمجال لم يتغيرا. مجال الدالة ﺩ ﺱ التي تساوي القيمة المطلقة لـ ﺱ زائد ﺃ هو مجموعة القيم الحقيقية كلها. ويمكن كتابة ذلك أيضًا في صورة مجموعة القيم من سالب ∞ إلى ∞.

أوجد مجال ومدى الدالة ﺩ ﺱ تساوي سالب أربعة مضروبًا في القيمة المطلقة لـ ﺱ ناقص خمسة ناقص واحد.

لنبدأ بالنظر إلى شكل الدالة العامة التي تساوي القيمة المطلقة لـ ﺱ. إنه تمثيل بياني على شكل حرف V له نقطة قيمة صغرى أو رأس عند صفر، صفر. سنفكر الآن في التحويلات التي أجريت للحصول على الدالة ﺩ ﺱ. لنبدأ بالنظر إلى القيمة المطلقة لـ ﺱ ناقص خمسة. هذا انتقال بمقدار خمس وحدات إلى اليمين. إذن، ستكون لهذه الدالة نقطة قيمة صغرى أو رأس عند خمسة، صفر. ضرب القيمة المطلقة لـ ﺱ ناقص خمسة في سالب أربعة يؤدي إلى التمدد بمعامل قياس سالب أربعة. هذا يعني أن التمثيل البياني سيكون أكثر انحدارًا بمقدار أربعة أمثال، وسينعكس أيضًا حول المحور ﺱ.

وأخيرًا، علينا طرح واحد من هذه الدالة. ينتج عن ذلك انتقال بمقدار وحدة واحدة لأسفل في اتجاه المحور ﺹ. الدالة ﺩ ﺱ، التي تساوي سالب أربعة مضروبًا في القيمة المطلقة لـ ﺱ ناقص خمسة ناقص واحد، موضحة باللون الأخضر. سنحذف الآن بعض التمثيلات البيانية الأخرى من المستوى الإحداثي. يقع رأس ﺩ ﺱ أو نقطة القيمة العظمى لها عند الإحداثيين خمسة وسالب واحد. نعلم أن مجال أي دالة هو مجموعة قيم ﺱ أو القيم المدخلة. ونظرًا لإمكانية إدخال أي قيمة في الدالة ﺩ ﺱ التي لدينا، فإن مجالها هو مجموعة القيم الحقيقية كلها من سالب ∞ إلى ∞.

المدى هو مجموعة القيم المخرجة كلها أو قيم ﺹ. وبالنظر إلى هذا التمثيل البياني، يمكننا رؤية أن هذه القيم كلها أقل من أو تساوي سالب واحد. إذن، مدى ﺩ ﺱ يساوي مجموعة القيم الواقعة في الفترة المفتوحة من اليمين عند سالب ∞ والمغلقة من اليسار عند سالب واحد.

في السؤال الأخير في هذا الفيديو، سنحسب دالة القيمة المطلقة بالتعويض المباشر.

يتحرك جسم بسرعة منتظمة قدرها خمسة سنتيمترات في الثانية من النقطة ﺃ إلى النقطة ﺟ مرورًا بالنقطة ﺏ دون توقف. تحدد المسافة بين الجسم والنقطة ﺏ بالعلاقة ﻑ ﻥ يساوي خمسة مضروبًا في القيمة المطلقة لثمانية ناقص ﻥ، حيث ﻥ الزمن مقيس بالثواني، وﻑ المسافة مقيسة بالسنتيمتر. احسب المسافة بين الجسم والنقطة ﺏ بعد خمس ثوان وبعد ١١ ثانية.

لدينا شكل يوضح الجسم الذي على وشك التحرك من النقطة ﺃ إلى النقطة ﺟ مرورًا بالنقطة ﺏ بسرعة خمسة سنتيمترات في الثانية. بالرغم من وجود الكثير من المعلومات في هذا السؤال، فإن النقطة الأساسية هي أن الدالة ﻑ ﻥ تساوي خمسة مضروبًا في ثمانية ناقص ﻥ. ‏‏ﻑ ﻥ هي المسافة التي يبعدها الجسم عن النقطة ﺏ بعد زمن معين. علينا حساب هذه المسافة بعد خمس ثوان، وأيضًا بعد ١١ ثانية. بعد مرور خمس ثوان، ﻥ يساوي خمسة. لذا، علينا حساب ﻑ لخمسة.

هذا يساوي خمسة مضروبًا في القيمة المطلقة لثمانية ناقص خمسة. ثمانية ناقص خمسة يساوي ثلاثة، لذا علينا ضرب خمسة في القيمة المطلقة لثلاثة. وبما أن القيمة المطلقة لأي عدد هي المسافة التي يبعدها عن الصفر، فإن القيمة المطلقة لثلاثة هي ثلاثة. وبما أن خمسة مضروبًا في ثلاثة يساوي ١٥، فإن المسافة بين الجسم والنقطة ﺏ بعد خمس ثوان تساوي ١٥ سنتيمترًا.

علينا تكرار هذه العملية عند ﻥ يساوي ١١. هذا يعني أن علينا حساب قيمة ﻑ لـ ١١. وهذا يساوي خمسة مضروبًا في القيمة المطلقة لثمانية ناقص ١١. ثمانية ناقص ١١ يساوي سالب ثلاثة. وبما أن القيمة المطلقة لأي عدد هي المسافة التي يبعدها عن الصفر، فإن القيمة المطلقة لسالب ثلاثة تساوي ثلاثة أيضًا. في الواقع، القيمة المطلقة لأي عدد تكون دائمًا موجبة. بضرب خمسة في ثلاثة مرة أخرى، نجد أن المسافة بين الجسم والنقطة ﺏ بعد مرور ١١ ثانية تساوي ١٥ سنتيمترًا أيضًا.

بالنسبة إلى الشكل الموضح، نلاحظ أنه بعد خمس ثوان و١١ ثانية، يبعد الجسم المسافة نفسها عن النقطة ﺏ . بعد مرور خمس ثوان، يكون الجسم لا يزال يقترب من النقطة ﺏ متحركًا من النقطة ﺃ. وبعد ١١ ثانية، يتجاوز النقطة ﺏ ويتجه نحو النقطة ﺟ.

سنلخص الآن النقاط الأساسية المستخلصة من هذا الفيديو. في هذا الفيديو، رأينا أن القيمة المطلقة لأي عدد هي المسافة التي يبعدها عن الصفر. هذا يعني أن القيمة المطلقة لأي عدد لا يمكن أن تكون سالبة أبدًا. مجال أي دالة هو مجموعة قيم ﺱ أو القيم المدخلة. وعرفنا أنه عند التعامل مع القيمة المطلقة للدوال الخطية التي تكون على الصورة ﻡﺱ زائد ﺏ ، يساوي المجال جميع القيم الحقيقية في الفترة المفتوحة من سالب ∞ لـ ∞. مدى الدالة هو مجموعة قيم ﺹ أو القيم المخرجة. إذا كانت ﺩ ﺱ تساوي القيمة المطلقة لـ ﻡﺱ زائد ﺏ ، فإن المدى يساوي الفترة المغلقة عند صفر والمفتوحة عند ∞. يحتوي المدى على قيم ﺹ كلها الأكبر من أو تساوي صفرًا.

رأينا أيضًا في هذا الفيديو أن تحويلات القيمة المطلقة للدوال الخطية تغير أحيانًا المدى لكنها لا تغير أبدًا المجال. وعرفنا أن الدالة ﺭ ﺱ، التي تساوي ﺩ ﺱ ناقص ﻫ، تنقل الدالة ﺩ ﺱ تساوي القيمة المطلقة لـ ﺱ نقلًا أفقيًا. فهي تزيح التمثيل البياني عدد ﻫ من الوحدات إلى اليمين. وﺩ ﺱ زائد ﻫ تحرك التمثيل البياني عدد ﻫ من الوحدات إلى اليسار. وبالمثل، فإن الدالة ﺭ ﺱ، التي تساوي ﺩ ﺱ زائد ﻙ، تنقل الدالة ﺩ ﺱ تساوي القيمة المطلقة لـ ﺱ نقلًا رأسيًا. هذا النقل يحرك التمثيل البياني عدد ﻙ من الوحدات إلى أعلى. وكما في المثال السابق، الدالة ﺩ ﺱ ناقص ﻙ تحرك هذه المرة التمثيل البياني عدد ﻙ من الوحدات إلى أسفل.

وأخيرًا، عرفنا أن الدالة ﺭ ﺱ، التي تساوي ﺃ مضروبًا في ﺩ ﺱ، تحدث تمددًا للدالة ﺩ ﺱ تساوي القيمة المطلقة لـ ﺱ. قيمة ﺃ هي معامل القياس. وإذا كان ﺃ عددًا سالبًا، ينعكس التمثيل البياني حول المحور ﺱ. هذا يعني أنه يكون مفتوحًا لأسفل وليس لأعلى. المنحنى الذي على شكل حرف V يصبح مقلوبًا. يؤثر التحويلان الأخيران على مدى دالة القيمة المطلقة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.